主题2 第2章 第1节 函数的概念及其表示（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数概念及表示，通过基础辨析与综合应用，构建从定义域、分段函数到新定义的知识逻辑链，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练|12题|定义域求解、分段函数求值、函数性质辨析|从概念（定义域）到性质（单调性、奇偶性），层层递进| |能力提升|4题|综合函数不等式、新定义函数应用|结合图象与分类讨论，实现知识迁移与创新应用|

[必修第一册]　主题二　函　数 第二章　函　数 课时冲关6　函数的概念及其表示 [基础训练组] 1．函数y＝的定义域为(　　) A．(－1,3]　　　　 B．(－1,0)∪(0,3] C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3] 解析：B　[要使函数有意义，x需满足 解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．] 2．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A．2　　 B．4 C．6　　 D．8 解析：C　[由已知得0<a<1，则f(a)＝，f(a＋1)＝2a， 所以＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)， 所以f ＝f(4)＝2(4－1)＝6.] 3．在平面直角坐标系xOy中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是(　　) A．x2＋2y2＝4 B．x2－y2＝4 C．x2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4 解析：B　[对于A项，因为x2＋2y2＝4，所以＋＝1，所以方程对应的曲线为椭圆，所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立；对于B项，因为x2－y2＝4，所以－＝1， 所以方程对应的曲线为双曲线， 其渐近线为y＝±x，所以当其绕原点旋转后，其一定是函数图象，故B项成立；对于C项，因为x2＋y2＝4，所以方程对应的曲线为圆，所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立；对于D项，因为(x－1)2＋(y－2)2＝4，所以方程对应的曲线为圆，所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立．] 4．已知函数f(x)＝则f(log212)＝(　　) A. B．－6 C. D．－3 解析：A　[因为log23∈(1,2)， 则log212＝2＋log23∈(3,4)， 所以f(log212)＝f(2＋log23)＝f(log23) ] 5．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f＝1，f(1)＝0，则f(3)＝(　　) A. B. C．2 D．3 解析：B　[令f(x)＋＝t，即有f(t)＝1，因函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则t为常数，因此f(x)＝－＋t，从而解得a＝t＝2，于是得f(x)＝－＋2，显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3)＝－＋2＝.] 6．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：D　[当a＝0时，显然不成立． 当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2. 当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得a<－2. 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．] 7．(多选)已知f(x)＝，则f(x)满足的关系有(　　) A．f(－x)＝－f(x) B．f＝－f(x) C．f＝f(x) D．f＝－f(x) 解析：BD　[因为f(x)＝， 所以f(－x)＝＝＝f(x)，即不满足A选项； f＝＝，f＝－f(x)，即满足B选项，不满足C选项， f＝＝，f＝－f(x)，即满足D选项．] 8．(多选)已知函数g(x)＝f(ex)，h(x)＝ef(x)(　　) A．若f(x)＝0，则g(x)＝h(x)＝0 B．若f(x)＝|x|，则g(x)＝h(x) C．对于g(x)＝h(x)，若f(x)＝xα，则α＝1 D．对于g(x)＝h(x)，若f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，则a＝e 解析：CD　[若f(x)＝0，则g(x)＝f(ex)＝0，h(x)＝ef(x)＝e0＝1，故A错误；若f(x)＝|x|，则g(x)＝f(ex)＝|ex|＝ex，h(x)＝ef(x)＝e|x|，g(x)≠h(x)，故B错误；若f(x)＝xα，则g(x)＝f(ex)＝(ex)α＝eαx，h(x)＝ef(x)＝， 又因为g(x)＝h(x)，故eαx＝，故αx＝xα，即ln α＋ln x＝αln x，即(α－1)ln x＝ln α恒成立，故α＝1，故C正确；若f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，则g(x)＝f(ex)＝logaex＝xlogae，h(x)＝ef(x)＝， 又因为g(x)＝h(x)，故xlogae＝恒成立， ，故ln x＋ln＝·ln x， 即·ln x＝ln恒成立，故＝1， 即a＝e，故D正确．] 9．已知函数f(x)＝若f[f(a)]＝0，则实数a的值为________． 解析：①当a＞－1，即a＋1＞0时，f(a)＝＞－1，则f＝＝0⇒a＝－1(舍)， ②当a≤－1，即a＋1≤0时，f(a)＝－2a－6， Ⅰ：当－2a－6≤－1，即－≤a≤－1时，有f(－2a－6)＝－2(－2a－6)－6＝0⇒a＝－； Ⅱ：当－2a－6＞－1时，即a＜－时，有f(－2a－6)＝＝0⇒a无解， 综上，a＝－. 答案：－ 10．设函数f(x)＝则f＝____________，方程f(f(x))＝1的解集为________________． 解析：∵f＝ln＜0， ∴f＝f＝＝. ∵x＜0时，0＜ex＜1，x＝0时，ex＝1， ∴当f(x)≤0时， 由方程f(f(x))＝1，可得f(x)＝0， 即ln x＝0，解得x＝1. 当f(x)＞0时，由方程f(f(x))＝1， 可得ln f(x)＝1，f(x)＝e， 即ln x＝e，解得x＝ee. 答案：　{1，ee} 11．已知函数f(x)＝则f(f(x))＝____________，的最大值是________． 解析：因为f(x)＝ 当x＞－1时，f(x)＝－1， 则f(f(x))＝f(－1)＝－2， 当x≤－1时，f(x)＝－2， 则f(f(x))＝f(－2)＝－2， 综上，f(f(x))＝－2；当x≥0时，＝＝－x≤0, 当－1＜x＜0时，＝＝x＜0， 当x≤－1时，＝＝≤－， 综上，的最大值是0. 答案：－2　0 12．已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f(m)＝f([m])，则称函数f(x)是Ω函数． (1)判断函数f(x)＝x2－x，g(x)＝sin πx是否是Ω函数(只需写出结论)； (2)已知f(x)＝x＋，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明． 解：(1)f(x)＝x2－x是Ω函数，g(x)＝sin πx不是Ω函数． (2)法一：取a＝∈(1,2)，则令[m]＝1，m＝＝，此时f＝f＝f(1)， 所以f(x)是Ω函数． 证明如下：设k∈N＋，取a∈(k2，k2＋k)，令[m]＝k，m＝，则一定有m－[m]＝－k＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数． 法二：取a＝∈(0,1)，则令[m]＝－1，m＝－，此时f＝f＝f(－1)， 所以f(x)是Ω函数． 证明如下：设k∈N＋，取a∈(k2－k，k2)，令[m]＝－k，m＝－，则一定有m－[m]＝－－(－k)＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数． [能力提升组] 13．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(－|a|)，则实数a的取值范围是(　　) A.∪ B．(－2，－1)∪(1,2) C．(－2,0)∪(0,2) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：A　[作出函数f(x)＝的图象如图， 因为－|a|≤0，若2－a2≤0，由f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(2－a2)＞f(－|a|)， 则2－a2＞－|a|，解得≤|a|＜2； 若2－a2＞0，则－(2－a2)＞－2|a|－a2， 解得＜|a|＜； 综上，＜|a|＜2， 解得－2＜a＜－或＜a＜2. 所以实数a的取值范围是∪.] 14．设f(x)＝则f(f(1))＝________，不等式f(x)>2的解集为______． 解析：f(f(1))＝f(2)＝log3(4－1)＝1. 若f(x)>2，则2ex－1>2(x<2)或log3(x2－1)>2(x≥2)，即ex－1>1＝e0，或x2－1>9，解得1<x<2或x>. 答案：1　(1,2)∪(，＋∞) 15．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的增函数，且任意x＞0，均有f＝，则f(1)＝________. 解析：设f(1)＝a，令x＝1，得f[f(1)＋1]＝⇒f(a＋1)＝； 令x＝a＋1，得f＝⇒f＝a＝f(1)， 因为f(x)为定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以＋＝1⇒a＝， 当f(1)＝a＝时，由1＋a＞1⇒f(1＋a)＞f(1)⇒＞a⇒a＜－1或0＜a＜1矛盾． 故f(1)＝a＝. 答案： 16．已知函数f(x)＝ (1)若对于任意的x∈R，都有f(x)≥f(0)成立，求实数a的取值范围； (2)记函数f(x)的最小值为M(a)，解关于实数a的不等式M(a－2)＜M(a)． 解：(1)当x≤0时，f(x)＝(x－a)2＋1， 因为f(x)≥f(0)，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以a≥0， 当x＞0时，f′(x)＝2x－， 令2x－＝0，得x＝1， 所以当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝3－a， 因为f(x)≥f(0)＝a2＋1， 所以3－a≥a2＋1，解得－2≤a≤1. 又a≥0，所以实数a的取值范围是[0,1]． (2)由(1)可知当a≥0时，f(x)在(－∞，0]上的最小值为f(0)＝a2＋1， 当a＜0时，f(x)在(－∞，0]上的最小值为f(a)＝1， f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(1)＝3－a， 解不等式组得0≤a≤1， 解不等式组得a＜0， 所以M(a)＝ 所以M(a)在(－∞，0)上为常数函数，在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， 作出M(a)的函数图象如图所示： 令3－a＝1，得a＝2，因为M(a－2)＜M(a)，所以0＜a＜2. 学科网（北京）股份有限公司 $