第2单元 01 第6讲 函数的概念及其表示（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数概念及表示，以题构建从定义域、值域到分段函数、特殊函数的知识网络，强化数学思维与符号意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数定义域与值域|3题|含对数/根式定义域，分式值域求法|从基本概念到运算推理，构建定义域到值域的逻辑链条| |分段函数综合应用|8题|求值、方程根、不等式（含参数）|由简单分段到含参数综合，体现从具体到抽象的思维进阶| |函数概念辨析|2题|同一函数判断、定义域迁移|通过辨析深化函数三要素理解，培养理性精神| |抽象与特殊函数|2题|狄利克雷函数、符号函数应用|结合特殊函数模型，发展数学抽象与创新意识|

第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 1.[2026·湖南永州联考] 函数f(x)=log2(x2-1)+的定义域是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-∞,-2)∪(-2,1)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(1,+∞) C.[-2,-1)∪(1,+∞) D.(-2,-1)∪(1,+∞) 2.已知函数f(x)=则f[f(100)]=(　 ) A.1010 B.100 C.2 D.1 3.[2025·山东泰安模拟] 已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|y=},则A∩B的子集个数为 (　 ) A.3 B.4 C.8 D.9 4.函数y=的值域为 (　 ) A.[0,4] B.[-4,0] C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,-4]∪[0,+∞) 5.(多选题)已知f(x)=若f(m)=3,则m的值可以是 (　 ) A.-2 B.-1 C.4 D.8 6.(多选题)[2026·广东东莞联考] 下列说法正确的是 (　 ) A.y=·与y=表示同一个函数 B.已知函数f(x)的定义域为[-3,1],则函数f(2x-1)的定义域为[-1,1] C.函数y=x+的值域为[0,+∞) D.已知函数f(x)满足f(x)+2f=x,则f(x)=-+(x≠0) 7.[2025·安徽黄山二模] 已知函数f(x)=则f(-5)=　　　　.  8.[2025·上海华东师范大学第三附属中学月考] 设m∈R,已知f(x)=若f(m)<1,则m的取值范围为　　　　.  9.[2025·南昌一模] 已知f(x)=则方程f(x)=8所有的根之和为 (　 ) A.1 B.2 C.5 D.7 10.[2025·重庆南开中学月考] 已知函数f(x)的定义域为R,2f(x+2)+f(1-x)=x2,则f(1)= (　 ) A. B. C. D. 11.[2025·河北正定中学期中] 已知函数f(x)=若f(a)+f(-a)=29,则正实数a的值为 (　 ) A.1 B. C.5 D.6 12.(多选题)德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一,他提出了著名的狄利克雷函数:D(x)=以下对D(x)的说法正确的是 (　 ) A.D[D(x)]=1 B.D(x)的值域为{0,1} C.存在x是无理数,使得D(x+1)=D(x)+1 D.对任意x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1) 13.已知函数f(x)=若存在m使得关于x的方程f(x)=m有两个不同的根,则t的取值范围为 (　 ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 14.已知函数f(x)=则不等式f(1+x)+f(1-x)≥3的解集为　　　　　　.  15.[2025·辽宁五校期末] 已知符号函数sgn(x)=f(x)=[x-sgn(x)·(2x2+x)],若f[f(a)]≤2,则实数a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 1.B　[解析] ∵函数f(x)=log2(x2-1)+,∴ ∴∴f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(1,+∞).故选B. 2.B　[解析] 由题得f(100)=lg 100=2,f(2)=102=100,故f[f(100)]=100.故选B. 3.C　[解析] 由不等式x2-x-6=(x-3)(x+2)≥0,解得x≤-2或x≥3,所以集合B={x|x≤-2或x≥3}.因为集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以A∩B={-3,-2,3},所以A∩B的子集个数为23=8.故选C. 4.D　[解析] 当x≥0时,≥0;当x<0时,-x>0,则x+=-≤-4,当且仅当-x=,即x=-2时,等号成立,故函数的值域为(-∞,-4]∪[0,+∞),故选D. 5.AD　[解析] f(x)= 若f(m)=3, 则或即或 所以m=-2或m=8.故选AD. 6.ABD　[解析] 对于A,由解得-1≤x≤1,所以y=·的定义域为[-1,1];由1-x2≥0,解得-1≤x≤1,所以y=的定义域为[-1,1].又y=·=,所以两个函数有相同的定义域及对应关系,表示同一个函数,选项A正确. 对于B,因为函数f(x)的定义域为[-3,1],所以-3≤2x-1≤1,解得-1≤x≤1,所以函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],选项B正确. 对于C,由x-1≥0,可得函数y=x+的定义域为[1,+∞). 又函数y=x+在[1,+∞)上单调递增,所以y=x+≥1+=1,所以函数y=x+的值域为[1,+∞),选项C错误. 对于D,因为f(x)+2f=x①,所以f+2f(x)=②,由②×2-①得3f(x)=-x,解得f(x)=-+(x≠0),选项D正确.故选ABD. 7.0　[解析] 由f(x)= 可得f(-5)=f(-5+3)=f(-2)=f(-2+3)=f(1)=log31=0. 8.(-1,1)　[解析] 若m<1,则m2<1,解得-1<m<1,所以-1<m<1;若m≥1,则m+1<1,解得m<0,所以无解.综上,m的取值范围为(-1,1). 9.A　[解析] 若x<0,由x2-2x=8,得(x+2)(x-4)=0,所以x=-2;若x>0,由2x=8,得x=3.因为-2+3=1,所以方程f(x)=8的所有根之和为1.故选A. 10.A　[解析] 方法一:令x=0,则2f(2)+f(1)=0,令x=-1,则2f(1)+f(2)=1,所以 解得即f(1)=.故选A. 方法二:用-1-x代替x得方程2f(1-x)+f(2+x)=(-1-x)2,与已知联立得f(x+2)=,用x-2代替x可得f(x)=,令x=1,得f(1)==. 11.C　[解析] 因为a>0,所以f(-a)=a2+1,当a≥2时,f(a)=log2(a+3),则log2(a+3)+a2+1=29,故log2(a+3)+a2=28,因为g(a)=log2(a+3)+a2在[2,+∞)上单调递增,且g(5)=28,所以a=5.当0<a<2时,f(a)=a2+1,则2(a2+1)=29,又2(a2+1)<10,所以2(a2+1)=29对a∈(0,2)无解.故正实数a的值为5,故选C. 12.ABD　[解析] 由D(x)= 可得D(x)的值域为{0,1},所以D[D(x)]=1,故选项A,B正确.因为当x是无理数时,D(x)=0且x+1是无理数,所以D(x+1)=0,所以D(x+1)≠D(x)+1,故选项C错误.当x是无理数时,x+1,-x-1均为无理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=0;当x是有理数时,x+1,-x-1均为有理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=1.所以对任意x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1),故选项D正确.故选ABD. 13.B　[解析] 由函数f(x)= 可得函数y=f(x)在(-∞,t),[t,+∞)上单调递增,当x<t时,f(x)max→t3,当x≥t时,f(x)min=t.若存在m使得关于x的方程f(x)=m有两个不同的根,只需t3>t,解得-1<t<0或t>1,所以t的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).故选B. 14.(-∞,-2]∪[2,+∞)　[解析] 函数f(x)=当x>0时,可得x+1>1且1-x<1,则f(1+x)=log2(x+2),f(1-x)=x-1,此时不等式f(1+x)+f(1-x)≥3即为log2(x+2)+x-1≥3,即log2(x+2)+x-4≥0,令g(x)=log2(x+2)+x-4,x>0,因为函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(2)=0,所以f(1+x)+f(1-x)≥3的解集为[2,+∞);当x=0时,不等式f(1)+f(1)≥3即为2log22≥3,此时不等式不成立;当x<0时,可得x+1<1且1-x>1,则f(1+x)=-(1+x),f(1-x)=log2(2-x),此时不等式f(1+x)+f(1-x)≥3即为log2(2-x)-(1+x)≥3,即log2(2-x)-x-4≥0,令h(x)=log2(2-x)-x-4,x<0,因为函数h(x)在(-∞,0)上单调递减,且h(-2)=0,所以f(1+x)+f(1-x)≥3的解集为(-∞,-2].综上可得,不等式f(1+x)+f(1-x)≥3的解集为(-∞,-2]∪[2,+∞). 15.(-∞,] [解析] 由sgn(x)=得f(x)=[x-sgn(x)·(2x2+x)]=所以f(x)的图象如图所示.若f[f(a)]≤2(*),由分段函数可知当f(a)<0时,由(*)可得[f(a)]2+f(a)≤2,即[f(a)+2][f(a)-1]≤0,可得-2≤f(a)<0;当f(a)=0时,由(*)可得0≤2恒成立;当f(a)>0时,由(*)可得-[f(a)]2≤2恒成立.综上可得f(a)≥-2.若a<0,则a2+a≥-2,即≥-恒成立;若a=0,则0≥-2恒成立;若a>0,则-a2≥-2,可得0<a≤.综上,实数a的取值范围是(-∞,]. 学科网（北京）股份有限公司 $