第1章 1.4 基本不等式（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 聚焦基本不等式的系统性应用，通过分级训练提炼“一正二定三相等”核心方法，构建从定义到综合变形的逻辑链条，培养数学思维的推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|10题|基本不等式应用条件（正、定、等）、直接求最值|从定义到简单应用，强化概念生成| |能力提升|4题|配凑/换元/常数代换技巧、恒成立问题转化|结合函数与方程，拓展应用场景| |拓广探索|2题|多变量问题转化、条件不等式证明|综合多知识点，深化逻辑推导|

[对应学生用书P301] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共82分． A级　基础过关 1．已知a>0，则m＝a＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　因为a>0，所以m＝a＋≥2＝4.所以m＝a＋的最小值为4. 答案　C 2．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．>ab C．≥2 D．a2＋b2>2ab 解析　因为和同号，所以＝＋≥2＝2. 答案　C 3．下列选项中正确的是(　　) A．＋≥2 B．x＋≥4 C．＋的最小值为2 D．x2＋的最小值为 解析　对于A，当与为负数时，＋≥2显然不成立，A不正确； 对于B，当x为负数时，x＋≥4显然不成立，B不正确； 对于C，令t＝∈(0，1]，所以t＋的最小值为3，当且仅当＝1时，取到最小值，C不正确； 对于D，x2＋＝x2＋2＋－2，令u＝x2＋2≥2，函数y＝u＋－2在[2，＋∞)上单调递增，因此当u＝2，即x＝0时，x2＋取得最小值，D正确． 答案　D 4．设实数x满足x>0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　) A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6 解析　因为x>0，所以x＋1>0，所以y＝2＋3x＋＝3(x＋1)＋－1≥ 2－1＝4－1， 当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1. 答案　A 5．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 解析　因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，所以ab＝a＋4b≥2＝4，所以ab≥16，当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立． 答案　A 6．已知x>1，y>0，x＋y＝2，则(x－1)·y的最大值是(　　) A． B． C． D．1 解析　因为x>1，y>0，x＋y＝2，则x－1>0，(x－1)＋y＝1，可得(x－1)·y≤＝，当且仅当x－1＝y，即x＝，y＝时，等号成立，所以(x－1)·y的最大值是. 答案　A 7．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若a，b∈R，且ab>0，a＋b≥2 B．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为 C．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4 D．若x＝(x－2)y，x>0，y>0，则x＋2y的最小值是9 解析　对于选项A，若a，b均为负数，不等式不成立，所以A错误； 对于选项B，因为x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，则2＝[x＋(1＋y)] ＝＋＋5≥2＋5＝9， 所以＋≥，当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C，因为x>0，3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，所以2－3x－≤2－4，故C正确； 对于选项D，因为x＝(x－2)y，所以＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝＋＋4≥ 2＋4＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时，等号成立，所以x＋2y的最小值是8，故D错误． 答案　BC 8．(多选)已知a>0，b>0且4a＋b＝2，则(　　) A．ab的最大值为 B．2＋的最大值为2 C．＋的最小值为6 D．4a＋2b的最小值为4 解析　对于A，因为2＝4a＋b≥2＝4，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，故A错误； 对于B，因为4a＋b≥4，所以8a＋2b≥4＋4a＋b＝(2＋)2，即(2＋)2≤4，2＋≤2，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，故B正确； 对于C，由4a＋b＝2得a＝－，所以＋＝＋－. 因为＋＝(4a＋b)＝≥＝，所以＋＝＋－≥－＝6，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C正确； 对于D，令a＝，b＝，则4a＋2b＝4＋2＝2×4<4，所以4a＋2b的最小值不是4，D错误． 答案　BC 9．函数y＝(x>－1)的最小值为____________． 解析　因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立． 所以y＝(x>－1)的最小值为0. 答案　0 10．已知x>0，y>0，xy＝x＋4y＋12，则xy的最小值为____________． 解析　方法一　由xy＝x＋4y＋12， 移项得(x－4)y＝x＋12，显然x≠4， 所以y＝，由y>0，得x>4， 所以xy＝x·＝＝＝x－4＋＋20≥2＋20＝36， 当且仅当x＝12，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为36. 方法二　因为xy＝x＋4y＋12≥2＋12， 所以()2－4－12≥0， 解得≥6，即xy≥36，当且仅当x＝4y，即x＝12，y＝3时，等号成立，所以xy的最小值为36. 答案　36 B级　能力提升 11．(2025·山东齐鲁名校大联考)设正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为(　　) A． B．17 C．8＋4 D．16 解析　由题意知 ＝＝＝＋＋8≥2＋8＝8＋4， 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． 因此，的最小值为8＋4. 答案　C 12．已知a>0，b>0，且a＋2b＝2，若3t2－t≤＋恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　已知a>0，b>0，则>0，>0，因为＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．故＋的最小值为4. 因为3t2－t≤＋恒成立，所以3t2－t≤4，即(3t－4)(t＋1)≤0， 解得－1≤t≤，即t的取值范围为. 答案　D 13．(2025·河南郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为____________． 解析　设AE＝x，AF＝y，则EF＝， 因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋＝4， 因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅当x＝y时等号成立， 故≤＝4－2，则xy≤24－16，则△AEF面积满足xy≤12－8. 故△AEF面积的最大值为12－8. 答案　12－8 14．若不等式＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为____________． 解析　不等式＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，即x≤对任意正数a，b恒成立． 又a2＋b2≥2ab，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b时，等号成立， 则≥＝＋≥2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以的最小值为， 故x≤，即实数x的最大值为. 答案　 C级　拓广探索 15．(2025·重庆万州二中期末)已知a，b，c均为正实数，ab＋ac＝4，则＋＋的最小值是____________． 解析　设a＝x，b＋c＝y，问题转化为已知x>0，y>0，xy＝4，求＋＋的最小值． ＋＋＝＋＝(x＋y)＋≥2＝4，当且仅当(x＋y)＝，即x＝y＝2时等号成立， 所以＋＋的最小值为4. 答案　4 16．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，记＋的最小值为M，记的最小值为N，则M＋N＝____________． 解析　a>0，b>0，a＋b＝1，故＋＝＋＝＋－4，其中＋＝·(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故＋＝＋－4≥5，即M＝5； ＝＝＝＝－1＋， 因为a>0，b>0，故b＝1－a>0，所以0<a<1，令a＋1＝t，则1<t<2， 故＝＝＝，其中t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝时，等号成立，故＝≥＝3＋2，故＝－1＋≥2＋2，即N＝2＋2； 所以M＋N＝5＋2＋2＝7＋2. 答案　7＋2 学科网（北京）股份有限公司 $