主题1 第1章 第3节 第2课时 基本不等式（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦基本不等式的概念理解与应用，通过基础到综合的题型设计，系统覆盖求最值、恒成立、几何与实际应用等核心考法，突出数学思维的推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|单选/多选，直接应用基本不等式判断或求最值|从基本不等式概念出发，结合“一正二定三相等”条件，训练代数变形能力| |综合变形|9-15题|填空/几何背景题，涉及条件最值与恒成立|通过换元、配凑等技巧，建立基本不等式与函数、几何的联系，深化推理意识| |实际应用|16题|解答题，新能源电池利润问题|以实际问题为载体，构建数学模型，培养应用意识与数据观念|

课时冲关4　基本不等式 [基础训练组] 1．已知实数a，b满足条件3a＋3b＝()a＋b，则a2＋b2的最小值为(　　) A．8　　　 B．6 C．4　　　 D．2 解析：D　[因为3a＋3b＝()a＋b≥2，当且仅当3a＝3b，即a＝b时取等号， 所以6a＋b≥4·3a＋b，所以2a＋b≥4，a＋b≥2， a2＋b2≥(a＋b)2＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以a2＋b2的最小值为2.] 2．已知x，y都是正数，且x≠y，则下列选项不恒成立的是(　　) A.＞ B.＋＞2 C.＜ D．xy＋＞2 解析：D　[x，y都是正数，由基本不等式，≥，＋≥2，≤＝，这三个不等式都是当且仅当x＝y时等号成立，而题中x≠y，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；xy＋≥2中当且仅当xy＝1时取等号，如x＝，y＝2即可取等号，D中不等式不恒成立．] 3．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg＞lg x(x＞0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.≥1(x∈R) 解析：C　[当x＝时，有x2＋＝x，故不等式不一定成立，故A错误；当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，有sin x＋＝－2＜2，故不等式不一定成立，故B错误；x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0恒成立，故C正确；当x＝1时，有＝＜1，故不等式不一定成立，故D错误．] 4．已知a，b为非负数，且满足2a＋b＝6，则(1＋a2)(4＋b2)的最大值为(　　) A．40 B. C．42 D. 解析：D　[(1＋a2)(4＋b2)＝4＋4a2＋b2＋a2b2＝4a2＋b2＋4ab－4ab＋a2b2＋4 ＝(2a＋b)2＋(ab－2)2＝36＋(ab－2)2， 又0≤ab＝·2a·b≤2＝，当且仅当a＝，b＝3时取“＝”，则36＋(ab－2)2≤36＋2＝， 所以当a＝，b＝3时，(1＋a2)(4＋b2)的最大值为.] 5．函数f(x)＝16x＋＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C．3 D．4 解析：A　[因为16x＋≥2＝2×2x，当且仅当16x＝，即x＝0时等号成立， 2×2x＋＝2×2x＋≥2＝4， 当且仅当2×2x＝，即x＝0时等号成立， 所以f(x)的最小值为4.] 6．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　) A．16 B．25 C．36 D．49 解析：A　[因为a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋4×2＝36，当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．所以＋≥36－20＝16.] 7．(多选)下列函数中最小值为6的是(　　) A．y＝ln x＋ B．y＝6|sin x|＋ C．y＝3x＋32－x D．y＝ 解析：BC　[对于A选项，当x∈(0,1)时，ln x＜0，此时ln x＋＜0，故A不正确；对于B选项，y＝6|sin x|＋≥2＝6，当且仅当6|sin x|＝，即|sin x|＝时取“＝”，故B正确；对于C选项，y＝3x＋32－x≥2＝6，当且仅当3x＝32－x，即x＝1时取“＝”，故C正确；对于D选项，y＝＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x2＝－7无解，故D不正确．] 8．(多选)已知正数a，b满足a(a＋b)＝1，下列结论中正确的是(　　) A．a2＋b2的最小值为2－2 B．2a＋b的最小值为2 C.＋的最小值为 D.－的最大值为1 解析：AC　[由a(a＋b)＝1，可得－a＝b， a2＋b2＝a2＋2＝2a2＋－2≥ 2－2，当且仅当2a2＝时，即a＝， b＝－时取等号，故A正确； 2a＋b＝2a＋－a＝a＋≥2，当且仅当a＝时，即a＝1时等号成立，但此时b＝0，故等号取不到，故B错误；＋＝＋＝，记f(a)＝a(1－a2)(1＞a＞0)， f′(a)＝(1－a2)－2a2＝1－3a2， 当0＜a＜，f′(a)＞0，f(a)单调递增， 当＜a＜1，f′(a)＜0，f(a)单调递减， 故f(a)max＝f＝， 故＋＝的最小值为＝，故C正确；由于－a＝b＞0⇒0＜a＜1，b＞0， －＜1，故－的最大值不可能为1，故D错误．] 9．(多选)十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a＞0，b＞0，则下面结论正确的是(　　) A．若a＞b，则＜ B．若＋＝4，则a＋b有最小值 C．若ab＋b2＝2，则a＋b≥4 D．若a＋b＝2，则ab有最大值1 解析：ABD　[对于A，a＞b＞0， 则＞，即＜，A正确； 对于B，a＞0，b＞0，＋＝4，则 a＋b＝(a＋b)＝≥＝， 当且仅当＝，即b＝2a＝时取等号，B正确； 对于C，a＞0，b＞0，由ab＋b2＝2得：a＝－b＞0，有0＜b＜，则a＋b＝＞，C不正确； 对于D，a＞0，b＞0，a＋b＝2，则ab≤2＝1， 当且仅当a＝b＝1时取等号，D正确．] 10．若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为________． 解析：由题意得f(x)＝ ＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6，即a＝. 答案： 11．已知函数f(x)＝2 026x－2 026－x，若m＞0，n＞0，且f(m－2)＋f(n)＝f(0)，则＋的最小值为________． 解析：函数f(x)＝2 026x－2 026－x的定义域为R，f(－x)＝2 026－x－2 026x＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，又因为函数y＝2 026x，y＝－2 026－x都是R上的增函数，则f(x)在R上递增，由f(m－2)＋f(n)＝f(0)，得f(m－2)＝0－f(n)＝f(－n)，于是m－2＝－n， 即m＋n＝2， 则(m＋1)＋(n＋1)＝4，而m＞0，n＞0， 即有m＋1＞1，n＋1＞1， 因此＋＝[(m＋1)＋(n＋1)]＝≥ ＝1＋，当且仅当＝，即m＋1＝(n＋1)＝2(3－)时取等号，所以当m＝5－2，n＝2－3时，＋取得最小值1＋. 答案：1＋ 12．设m＞n＞0，那么的最小值是________． 解析：∵m＞n＞0，所以(m－n)n≤2＝，当且仅当m－n＝n，即m＝2n时取等号； 所以≥，所以≥(1＋m4)×＝＋4m2≥2＝8，当且仅当＝4m2，即m＝1时取等号，所以≥8，当且仅当m＝1，n＝时取等号． 答案：8 [能力提升组] 13．《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OF⊥AB，点C在直径AB上运动．作CD⊥AB交半圆O于点D.设AC＝a，BC＝b，则由FC≥CD可以直接证明的不等式为(　　) A.≥(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) C.≤ (a＞0，b＞0) D.≤ (a＞0，b＞0) 解析：D　[连接AD，BD，由题图知CD⊥AB，AD⊥DB， 所以∠ADC＋∠CDB＝∠CDB＋∠CBD，即∠ADC＝∠CBD， 因为∠ACD＝∠DCB＝90°， 所以△ACD∽△DCB， 所以＝，即CD＝， 因为AC＝a，BC＝b， 所以OF＝，OC＝a－＝， 所以FC＝＝， 所以由FC≥CD可以证明≤ (a＞0，b＞0)．] 14．中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中∠AOB＝，OA＝OB＝2千米．现需要在OA，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若DF⊥OA，EF⊥OB，则DE＋EF＋FD的最大值为________千米． 解析：在四边形DOEF中，∠AOB＝，∠FDO＝，∠FEO＝，可知O、D、F、E四点共圆，且圆的直径为OF＝2，故DE＝2sin ＝. 又∠DFE＝，在△DEF中，由余弦定理得DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos， 即DE2＝DF2＋EF2＋DF·EF， DE2＝(DF＋EF)2－DF·EF， DF·EF＝(DF＋EF)2－DE2≤，当且仅当DF＝EF＝1时取等号， ∴(DE＋EF)2≤DE2 即DF＋EF≤DE，DF＋EF＋DE≤DE＋DE＝2＋. 答案：2＋ 15．已知对任意正实数x，y，恒有x2＋y2≤a(x2－xy＋y2)，则实数a的最小值是________． 解析：因为x＞0，y＞0， 则x2－xy＋y2＝(x－y)2＋xy＞0， 则x2＋y2≤a(x2－xy＋y2)， 即≤a， 又＝， 因为x2＋y2≥2xy，所以1－≥， 所以≤2，即≤2， 当且仅当x＝y时，取等号， 所以max＝2，所以a≥2，即实数a的最小值是2. 答案：2 16．为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一．湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备．生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x台(x∈N＋)需要另投入成本a(x)(万元)，当年产量x不足45台时，a(x)＝x2＋30x－300万元，当年产量x不少于45台时，a(x)＝61x＋－900万元．若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完． (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 解：(1)当x＜45，x∈N＋时， y＝x－200－a(x) ＝60x＋100－200－ ＝－x2＋30x＋200； 当x≥45，x∈N＋时， y＝x－200－a(x) ＝60x＋100－200－ ＝－x－＋800； 综上所述，y＝(x∈N＋)． (2)当x＜45，x∈N＋时，y＝－x2＋30x＋200，则当x＝30时，y的最大值为650； 当x≥45，x∈N＋时， y＝－x－＋800＝－＋801≤－2＋801＝701(当且仅当x＋1＝，即x＝49时等号成立)． ∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利最大，最大利润是701万元． 学科网（北京）股份有限公司 $