主题1 第1章 第3节 第1课时 不等式的性质（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦不等式性质的系统性突破，以“基础应用-综合提升”为脉络，融合特殊值验证、作差比较、构造函数等方法，培养数学思维与逻辑推理能力，构建从概念到函数综合的知识逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|12题|特殊值验证法、作差比较法、不等式性质直接应用|从不等式基本性质（大小比较、倒数关系）到简单代数式变形，形成“概念辨析-性质应用”基础链条| |能力提升组|4题|构造函数法（导数判断单调性）、均值不等式、实际应用建模|结合指数/对数函数单调性、导数工具，实现从代数比较到函数综合的拓展，强化数学抽象与模型意识|

第3节　不等式 课时冲关3　不等式的性质 [基础训练组] 1．如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是(　　) A．a2＜b2　　　　　 B.＜ C．|a|＞|b| D.＜ 解析：D　[对于A，B，若a＝－2，b＝1，则a2＜b2，＜不成立，故A，B错误；对于C，若a＝－1，b＝2，则|a|＞|b|不成立，故C错误；对于D，因为＜0＜，故D正确．] 2．已知x>0，y>0，M＝，N＝，则M和N的大小关系为(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．以上都有可能 解析：A　[因为x>0，y>0，所以M－N＝－＝ ＝>0，即M>N.] 3．设实数a、b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a2＞b2 B.＜ C．ac2＞bc2 D．3a＋3－b＞2 解析：D　[对于A，当a＝2，b＝－4时不成立，故A错误；对于B，当a＝－，b＝－1，所以＝2，＝0，即＞，故B错误；对于C，当c＝0时不成立，故C错误；对于D，因为a＞b，所以3a＞3b＞0，又3－b＞0，所以3a＋3－b＞3b＋3－b≥2＝2(等号成立的条件是b＝0)，故D正确．] 4．若<<0，则下列结论正确的是(　　) A．a2＞b2 B．1＞b＞a C.＋＜2 D．aeb＞bea 解析：D　[由题意，b＜a＜0，则a2＜b2，b＞a＞1，＋＞2， ∵b＜a＜0，∴ea＞eb＞0，－b＞－a＞0， ∴－bea＞－aeb，∴aeb＞bea.] 5．若α＜β＜0，则下列结论中正确的是(　　) A．α2＜β2 B.＋＞2 C.α＜β D．sin α＜sin β 解析：B　[∵α＜β＜0，∴－α＞－β＞0，∴α2＞β2，故A错误； ∵α＜β＜0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2.∵α≠β，∴＋＞2，故B正确； ∵0＜＜1，α＜β，∴α＞β.故C错误； 令α＝－π，β＝－，此时sin α＝0，sin β＝－1，sin α＞sin β.故D错误．] 6．设a>b>1，则下列不等式成立的是(　　) A．aln b>bln a B．aln b<bln a C．aeb<bea D．aeb>bea 解析：C　[观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y＝，x>1.则y′＝，可见函数y＝在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．函数y＝在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x＝a和x＝b处的函数值无法比较大小．对于C，D两项，引入函数f(x)＝，x>1，则f′(x)＝＝>0，所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，又因为a>b>1，所以f(a)>f(b)，即>，所以aeb<bea.] 7．已知a，b∈R，a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.＞ B.＞ C.＞ D．a－＞b－ 解析：C　[－＝ ＝，因为a＞b＞0，所以b－a＜0，b＞0，但b－1的正负不确定， 所以＞不一定成立，即选项A错误；－＝＝，因为a＞b＞0，所以a－b＞0，b＞0，但2b－a的正负不确定，所以＞不一定成立，即选项B错误；－＝＝，因为a＞b＞0，所以a－b＞0，b＞0，b＋1＞0， 所以＞一定成立，即选项C正确；a－－＝，因为a＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，但ab－1的正负不确定， 所以a－＞b－不一定成立，即选项D错误．] 8．(多选)已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列结论中正确的是(　　) A．a＋b＞0 B．ac＞bc C.＞ D．(a－c)(b－c)＜c2 解析：AD　[a＋b＋c＝0且a＞b＞c，则a＞0，c＜0，则a＋b＞0，A正确； 因为a＞b，c＜0，所以ac＜bc，B错误； 因为a＞b＞c，a－b＞0，b－c＞0，(a－b)－(b－c)＝a＋c－2b＝－3b，当b＞0时，0＜a－b＜b－c，则＞；当b＜0时，a－b＞b－c＞0，则＜；当b＝0时，a－b＝b－c，则＝，故C错误；因为(a－c)(b－c)－c2＝(a－c)(－a－2c)－c2＝－a2－ac－c2＝－2≤0， 当且仅当a＝－c时，等号成立，此时由a＋b＋c＝0，可得b＝－c，不符合a＞b＞c，所以－2＝0不成立，故－2＜0， 即(a－c)(b－c)＜c2，D正确．] 9．(多选)若a＞b＞0＞c，则(　　) A.＞ B.＞ C．ac＞bc D．a－c＞2 解析：ABD　[A项，－＝，∵a＞b＞0＞c，∴ab＞0，b－a＜0，c＜0，∴＞0，∴＞，故A正确； B项，－＝＝， ∵a＞b＞0＞c，∴a－c＞0，a＞0，b－a＜0，c＜0， ∴＞0，∴＞，故B正确； C项，y＝xc，c＜0时，y在(0，＋∞)上单调递减，∵a＞b，∴ac＜bc，故C错误； D项，∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0， ∴a－c＞b－c＝b＋(－c)≥2，∵a≠b，故等号取不到，故a－c＞2，故D正确．] 10．A杯中有浓度为a%的盐水x克，B杯中有浓度为b%的盐水y克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为________． 解析：由题意，将A、B两杯盐水混合在一起后浓度为， ∵－a＝， －b＝， ∵A杯中的盐水更咸一些， ∴a＞b，∴b＜＜a. 答案：b＜＜a 11．若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4,2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是____________． 解析：因为x＋y＝4－z,2x－y＝5－z， 故x＝3－，y＝1－， 由x，y，z≥0，得，解得0≤z≤3， 故M＝4x＋3y＋5z＝4＋3＋5z＝＋15∈[15,19]． 答案：[15,19] 12．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝(n∈N＋，n>2)，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是________． 解析：f(n)＝－n＝<＝φ(n)， g(n)＝n－＝ >＝φ(n)， ∴f(n)<φ(n)<g(n)． 答案：f(n)<φ(n)<g(n) [能力提升组] 13．已知a＝2 0242 026，b＝2 0252 025，c＝2 0262 024，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c 解析：C　[∵＝＝，构造函数f(x)＝(x≥e2)，f′(x)＝， 令g(x)＝(x＋1)－xln x，则g′(x)＝－ln x＜0， ∴g(x)在[e2，＋∞)上单调递减， ∴g(x)≤g(e2)＝1－e2＜0， 故f′(x)＜0，所以f(x)在[e2，＋∞)上单调递减， ∴f(2 024)＞f(2 025)＞0⇒＝＝＞1⇒ln a＞ln b⇒a＞b， 同理可得ln b＞ln c⇒b＞c，故a＞b＞c.] 14．已知a＝4＋ln 2，b＝2＋21.2，c＝22.1，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 解析：D　[因为b－c＝2＋21.2－22.1＝2＋2·20.2－22·20.1＝2[1－2·20.1＋(20.1)2] ＝2(1－20.1)2＞0，所以b＞c； 令f(x)＝x－1－ln x(x＞1)，f′(x)＝1－＞0， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 因为20.2＞1，所以f(20.2)＞f(1)， 即20.2－1－ln 20.2＞0， 所以b－a＝2＋21.2－4－ln 2＝2·20.2－2－2ln 20.2＝2(20.2－1－ln 20.2)＞0，所以b＞a； 同理20.1＞1，所以f(20.1)＞f(1)，即20.1－1－ln 20.1＞0，也即1－20.1＋ln 20.1＜0， 所以a－c＝4＋ln 2－22.1＝4＋4ln 20.1－22·20.1＝4(1＋ln 20.1－20.1)＜0，所以a＜c. 综上，a＜c＜b.] 15．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)________(在横线上填甲或乙即可)． 解析：由题意得甲购买产品的平均单价为＝，乙购买产品的平均单价为＝，由条件得a≠b. ∵－＝>0，∴>， 即乙的购买方式更优惠． 答案：乙 16．记min{x，y，z}表示x，y，z中最小的数．设a＞0，b＞0，则min的最大值为________． 解析：若a≤，则ab≤1，此时 min＝min， 因为a＝1＋3ab≤4，所以a和＋3b中至少有一个小于等于2， 所以min≤2， 又当a＝2，b＝时，a＝＝＋3b＝2， 所以min的最大值为2. 若a＞，则ab＞1，此时min ＝min， 因为＝＋3＜4，所以和＋3b中至少有一个小于2， 所以min＜2. 综上，min的最大值为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $