主题1 第1章 第2节 常用逻辑用语（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 以题载法系统覆盖常用逻辑用语核心考点，通过基础辨析与综合应用构建逻辑推理链条，强化数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|12题（含2024天津卷真题）|充分必要条件判断、命题否定、全称特称命题辨析|从集合关系切入，结合函数单调性、二次方程根分布深化条件判断，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |综合提升|4题|函数与逻辑交汇、创新情境题|以导数求最值、指数函数性质为工具，实现逻辑用语与函数知识的融合，培养数学抽象与推理论证能力|

课时冲关2　常用逻辑用语 [基础训练组] 1．设集合M＝{1, 2}，N＝{a2}，则“a＝－1”是“N⊆M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当a＝－1时，N＝{1}，满足N⊆M，故充分性成立；当N⊆M时，N＝{1}或N＝{2}，所以a不一定满足a＝－1，故必要性不成立．] 2．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3⇒a＝b⇒3a＝3b,3a＝3b⇒a＝b⇒a3＝b3，所以二者互为充要条件．] 3．下列命题正确的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．∃x∈R，－≥0 C．∀x∈N＋，log2x＞0 D．∃x∈R，cos x＜2x－x2－3 解析：B　[对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，故A不正确；对于B，当x＝－1时满足，故B正确；对于C，当x＝1时，log2x＝0，故C不正确，对于D，因为2x－x2－3＝－(x－1)2－2的最大值为－2，又因为－1≤cos x≤1，故D不正确．] 4．“a≤”是“方程x2＋3x＋a＝0(x∈R)有正实数根”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由方程x2＋3x＋a＝0有正实数根，则等价于函数f(x)＝x2＋3x＋a有正零点，由二次函数f(x)的对称轴为x＝－＜0，则函数f(x)只能存在一正一负的两个零点，则解得a＜0，因为(－∞，0)，故“a≤”是“方程x2＋3x＋a＝0(x∈R)有正实数根”的必要不充分条件．] 5．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　　　　 B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞) 解析：A　[由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)在上为减函数，g(x)在[2,3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.] 6．(多选)若a，b为正实数，则a＞b的充要条件为(　　) A.＞ B．ln a＞ln b C．aln a＜bln b D．a－b＜ea－eb 解析：BD　[因为＞⇔b＞a，故A选项错误；因为a，b为正实数，所以ln a＞ln b⇔a＞b，故B选项正确；取a＝e2＞b＝e，则e2ln e2＝2e2，eln e＝e，即aln a＜bln b不成立，故C选项错误；因为y′＝(ex－x)′＝ex－1，当x＞0时，y′＞0，所以y＝ex－x在x∈(0，＋∞)上单调递增，即a＞b⇔ea－a＞eb－b⇔a－b＜ea－eb，故D正确．] 7．已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ∁RP，则下列结论正确的是(　　) A．∀x∈Q，x∈P B．∃x∈∁RP，x∈∁RQ C．∃x∉Q，x∈P D．∀x∈∁RP，x∈∁RQ 解析：B　[因为∁RQ∁RP，所以PQ，如图， 对于选项A，由题意知P是Q的真子集，故∃x∈Q，x∉P，故A不正确； 对于选项B，由∁RQ是∁RP的真子集且∁RQ，∁RP都不是空集知，∃x∈∁RP，x∈∁RQ，故B正确； 对于选项C，由∁RQ是∁RP的真子集知，∀x∉Q，x∉P，故C不正确． 对于选项D，由∁RQ是∁RP的真子集，故∃x∈∁RP，x∉∁RQ，故D不正确．] 8．(多选)下列说法正确的有(　　) A．命题“∀x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定为“∃x∈R，x2＋x＋1≤0” B．对于命题p：“∃x≤1，x2－3x＋2≥0”，则綈p为“∀x＞1，x2－3x＋2＜0” C．“a＜b”是“ac2＜bc2”的必要不充分条件 D．“m＜2”是“sin x＋＞m对x∈恒成立”的充分不必要条件 解析：ACD　[对A，命题∀x∈R，x2＋x＋1＞0的否定为∃x∈R，x2＋x＋1≤0，满足命题的否定形式，故A正确；对B，命题p：∃x≤1，x2－3x＋2≥0，则綈p为：∀x≤1，x2－3x＋2＜0，B错误；对C，a＜b推不出ac2＜bc2，反之成立，所以“a＜b”是“ac2＜bc2”的必要不充分条件，故C正确；对D，由m＜2可得sin x＋＞m对x∈恒成立，反之由sin x＋＞m对x∈恒成立，可得m≤2，所以“m＜2”是“sin x＋＞m对x∈恒成立”的充分不必要条件，故D正确．] 9．若命题“∀x0∈，tan 2x0＋2≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：若命题“∀x0∈，tan 2x0＋2≥m”是真命题，可得(tan 2x0＋2)min≥m即可； 易知y＝tan 2x0＋2在x0∈上单调递增， 所以(tan 2x0＋2)min＝tan＋2＝3，可得m≤3； 又因为该命题是假命题，所以可得m＞3， 即实数m的取值范围是(3，＋∞)． 答案：(3，＋∞) 10．已知命题p∶∀x∈R，a＜3x2 026＋1，若p为真命题，则实数a的取值范围是__________. 解析：若∀x∈R，a＜3x2 026＋1为真命题，等价于a＜(3x2 026＋1)min， ∵x2 026≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， ∴3x2 026＋1≥1，即(3x2 026＋1)min＝1， 可得a＜1，故实数a的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 11．设m，a∈R，f(x)＝x2＋(a－1)x＋1，g(x)＝mx2＋2ax＋，若“对于一切实数x，f(x)＞0”是“对于一切实数x，g(x)＞0”的充分条件，则实数m的取值范围是________． 解析：f(x)＞0在R上恒成立，则Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3， g(x)＞0在R上恒成立，首先m≤0都不可能恒成立，因此解得－＜a＜， ∵“对于一切实数x，f(x)＞0”是“对于一切实数x，g(x)＞0”的充分条件，∴ 解得m≥6，即实数m的取值范围是[6，＋∞)． 答案：[6，＋∞) 12．已知f(x)＝xex＋＋e2，g(x)＝－x2－2x－1＋a，若存在x1∈R，x2∈(－1，＋∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是________． 解析：存在x1∈R，x2∈(－1，＋∞)， 使得f(x1)≤g(x2)成立， 等价于：x1∈R，x2∈(－1，＋∞)， 使得f(x1)min≤g(x2)max成立， f′(x)＝(x＋1)ex， ∴函数f(x)在x∈(－1，＋∞)上单调递增，x∈(－∞，－1)上单调递减， ∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值即最小值， f(x)≥f(－1)＝－＋＋e2＝e2. g(x)＝－x2－2x－1＋a＝－(x＋1)2＋a，可得函数g(x)在x∈(－1，＋∞)上单调递减， ∴g(x)＜g(－1)＝a.∴e2＜a.因此实数a的取值范围是(e2，＋∞)． 答案：(e2，＋∞) [能力提升组] 13．已知函数f(x)＝lg，若对任意的x∈[－1,1]使得f(x)≤1成立，则实数m的取值范围为(　　) A.　　　　 B. C. D. 解析：D　[若对任意的x∈[－1,1]使得f(x)≤1成立，即lg ≤1，得0＜4x－－m≤10，∴ 由于函数y1＝4x在[－1,1]上为增函数，函数y2＝在[－1,1]上为减函数， 所以，函数y＝4x－在[－1,1]上为增函数，∴ymin＝－3＝－，ymax＝4－＝， ∴－10≤m＜－，即－≤m＜－， 因此，实数m的取值范围是.] 14．已知下列四个命题：正确的是(　　) p1：∃x＞0，使得ln x＞x－1； p2：∀x∈R，都有x2－x＋1＞0； p3：∃x＞0，使得ln ＞－x＋1； p4：∀x∈(0，＋∞)，使得 A．p2，p4 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p1，p3 解析：C　[对于p1，设f(x)＝ln x－x＋1， 则f′(x)＝－1＝， 由f′(x)＞0，可得0＜x＜1； 由f′(x)＜0，可得x＞1， 所以f(x)＝ln x－x＋1在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0， 所以f(x)＝ln x－x＋1≤0恒成立， 所以∀x＞0，ln x≤x－1，故p1错误； 对于p2，∀x∈R，都有x2－x＋1＝2＋＞0，故p2正确； 对于p3：当x＝e时，ln＝ln＝－1，－x＋1＝1－e, 此时满足ln ＞－x＋1， 故p3正确； 对于p4，当x＝时， ＝1，不满足成立，故p4错误；故正确的是p2，p3.] 15．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的________(将正确的序号填入空格处)． ①充分条件　②必要条件　③充要条件　④既不充分也不必要条件 解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件． 答案：① 16．已知定义在R上的函数h(x)满足2h(x)＋h′(x)＞0且h(1)＝，其中h(x)＞的解集为A.函数f(x)＝，g(x)＝ax(a＞1)，若∀x1∈A，∃x2∈A使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________． 解析：构造函数H(x)＝h(x)·e2x， 所以H′(x)＝h′(x)·e2x＋2h(x)·e2x＝e2x[h′(x)＋2h(x)]， 因为定义在R上的函数h(x)满足2h(x)＋h′(x)＞0， 所以H′(x)＞0，所以H(x)在R上单调递增，且H(1)＝h(1)e2＝1， 所以不等式h(x)＞可化为h(x)·e2x＞1，即H(x)＞H(1)， 所以x＞1，所以h(x)＞的解集A＝(1，＋∞)， 函数f(x)＝＝＝ x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，x＝0或x＝2时等号成立，在A上仅当x＝2时等号成立， 所以f(x)在A上的值域为[3，＋∞)， g(x)＝ax(a＞1)为增函数，所以g(x)在A上的值域为(a，＋∞)， 若∀x1∈A，∃x2∈A使得f(x1)＝g(x2)， 则[3，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以a＜3，又因为a＞1，即实数a的取值范围是(1,3)． 答案：(1,3) 学科网（北京）股份有限公司 $