主题2 第3章 第1节 导数的概念及其几何意义、导数的运算（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第1节　导数的概念及其几何意义、导数的运算

★[课程标准]

1．了解导数概念的实际背景．

2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．

3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0 变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数．通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝

＝.

(2)几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的　切线的斜率　.

2．函数y＝f(x)的导函数

一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数f′(x)＝　　，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数．有时也将导数记作y′.

3．基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　；

(2)[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　；

(3)′＝(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 　x的函数　，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的　复合函数　，记作　y＝f(φ(x))　，其中u为中间变量．复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．其中u＝φ(x)．

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　)

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)

(5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(　　)

答案：(1) √　(2)×　(3)√　(4)×　(5) √

◆[小题查验]

1．设f(x)为R上的可导函数，且f′(1)＝1，则 ＝(　　)

A．2　　 B．－2

C．1　　 D．－1

解析：B　[因为f′(1)＝ ＝1，

所以 ＝－2.]

2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　)

解析：D　[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大．]

3．已知函数f(x)＝x(19＋ln x)，若f′(x0)＝20，则x0＝(　　)

A．e2  B．1

C．ln 2  D．e

解析：B　[f′(x)＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f′(x0)＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.]

4．(多选)下列求导数运算正确的有(　　)

A．(sin x)′＝cos x  B．′＝

C．(log3 x)′＝  D．(ln x)′＝

解析：AD　[A.(sin x)′＝cos x，故正确；B．′＝－，故错误；C.(log3x)′＝，故错误；D.(ln x)′＝，故正确．]

5．(忽视切点的位置致误)(BSD选择性必修第二册P56习题2－2A组T5改编)已知函数f(x)＝2x3－3x，过点M(0,32)作函数f(x)的切线，则切线方程为________．