主题2 第2章 培优拓展3 抽象函数性质的综合应用（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

抽象函数问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛．抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体，借助特殊函数模型有利于打开解题思路，有时会起到事半功倍的效果．

 [典例]　(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)＋f(－x＋2)＝1，f(x)－g(x＋1)＝1，若y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则以下说法正确的是(　　)

A．g(x)为奇函数　　

B．g＝0

C．∀x∈R，f(x)＝f(x＋4)

D．若f(x)的值域为[m，M]，则f(x)＋g(x)＝m＋M－1

[解析]　∵g(x)＋f(－x＋2)＝1，

∴g(x＋1)＋f(1－x)＝1，

∵f(x)－g(x＋1)＝1，∴f(x)＋f(1－x)＝2，

∵f(x)关于直线x＝1对称，∴f(1－x)＝f(1＋x)，

∴f(x)＋f(1＋x)＝2，∴f(x＋1)＋f(2＋x)＝2，∴f(x)＝f(2＋x)，

∴T＝2，∴f(x)＝f(x＋4)，故C正确；

∵f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，

∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，

∵g(x)＋f(－x＋2)＝1，∴g(x)＋f(x)＝1，

∴g(－x)＋f(－x)＝1，∴g(－x)＋f(x)＝1，

∴g(x)＝g(－x)，∴g(x)为偶函数，故A错误；

∵f(x)＋f(1－x)＝2，

∴f(x)图象关于点中心对称，

∴存在一对最小值点与最大值点也关于对称，∴m＋M＝2

∴g(x)＋f(x)＝1＝m＋M－1，故D正确；

由f(x)＋f(1－x)＝2，得f＝1，又T＝2，

所以f＝1，