主题2 第2章 培优拓展4 嵌套函数的零点（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．

[典例]　已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　)

A．4　　 B．5

C．6　　 D．7

[解析]　令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题．

令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.

分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1<t2)，则t1＝0,1<t2<2；

作函数y＝f(x)，与y＝t的图象如图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；

当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解．

所以y＝f(f(x))－2f(x)－共有4个零点．

[答案]　A

函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．