主题2 第2章 热点强化课1 函数性质的综合应用（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

 

高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练．

　　　函数的单调性与奇偶性

[例1]　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则(　　)

A．f(log2π)＞f＞f(2－π)

B．f(log2)＞f(2－π)＞f(log2π)

C．f(2－π)＞f＞f(log2π)

D．f(2－π)＞f(log2π)＞f

[解析]　∵f(x)是偶函数，

∴f＝f(－log23)＝f(log23)．

∵1＜log23＜log2π＜2,0＜2－π＜1，

∴0＜2－π＜log23＜log2π＜2.

∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

∴f(2－π)＜f(log23)＜f(log2π)，

即f(2－π)＜f＜f(log2π)．

[答案]　A

[例2]　已知函数f(x)＝－x－2，若f(m2)＋f(m－2)＋2＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－2,1)　　　 B．(－1,2)

C．(0,2)  D．(2,4)

[解析]　由题可知，f(x)＝－x－2＝－x－1＝－x－1，

令g(x)＝f(x)＋1＝－x，则g(－x)＝＋x＝－＋x＝－g(x)，

所以g(x)是奇函数．又由f(m2)＋f(m－2)＋2＞0，可得f(m2)＋1＋f(m－2)＋1＞0，

即g(m2)＋g(m－2)＞0，得g(m2)＞g(2－m).

由g(x)＝－x＝－x＝－1＋－x，因为y＝，y＝－x－1均为R上的减函数，所以g(x)在R上单调递减，所以m2＜2－m，即m2＋m－2＜0，

解得－2＜m＜1，即实数m的取值范围是(－2,1)．

[答案]　A

函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)＞f (x2)或f (x1)＜f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．

　　　函数的奇偶性与周期性

[例3]　设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)

A．－　　 B．－

C.　　 D.

[解析]　因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，即a＋b＝0，所以b＝－a，

又f(0)＝f(－1＋1)＝－f(1＋1)＝－f(2)＝－4a－b＝－3a，

f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝0，由f(0)＋f(3)＝6，得a＝－2，

所以f＝f＝f

＝f＝f

＝－f＝－f

＝－f＝－f

＝－a－b＝－a＝.

[答案]　D

[例4]　若定义在R上的函数f(x)满足y＝f(x＋1)是奇函数，f(4＋x)＝f(－x)，

f(2)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(30)＝　________　.

[解析]　因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，用x－1替换上式中的x，可得f(x)＝－f(－x＋2)，在f(4＋x)＝f(－x)中，用x－2替换x，可得f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x)＝－f(x＋2)，用x＋2替换该式中的x，可得f(x＋2)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，在f(x＋1)＝－f(－x＋1)中，令x＝0，得f(1)＝0，在f(x)＝－f(x＋2)中，令x＝1，得f(3)＝－f(1)＝0，在f(x＋2)＝－f(x＋4)中，令x＝0，得f(4)＝－f(2)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(30)＝f(1)＋f(2)＝2.

[答案]　2

利用函数的奇偶性和周期性求解策略： 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性结合周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知函数值或解析式的定义域内求解．

　　　函数的奇偶性与对称性

[例5]　若函数f(x)＝的最大值和最小值分别为M、m，则函数g(x)＝(M＋m)x＋sin图象的对称中心不可能是(　　)

A.  B．

C.  D.

[解析]　设h(x)＝f(x)－2＝，

则h(－x)＝＝－h(x)，

即h(x)为奇函数，

∴M＋m＝h(x)＋2＋h(－x)＋2＝4，

∴g(x)＝4x＋sin