主题2 第2章 第7节 函数的图象（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第7节　函数的图象

★[课程标准]

1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．

2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．

3．会结合函数性质判断或选择函数的图象．

1．利用描点法作函数的图象步骤

(1)确定函数的定义域；

(2)化简函数解析式；

(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；

(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝　－f(x)　；

②y＝f(x)y＝　f(－x)　；

③y＝f(x)y＝　－f(－x)　；

④y＝ax(a>0且a≠1)y＝　logax(a>0且a≠1)　.

(3)伸缩变换

①y＝f(x) y＝　f(ax)　.

②y＝f(x)y＝　af(x)　.

(4)翻转变换

①y＝f(x)y＝　|f(x)|　.

②y＝f(x)y＝　f(|x|)　.

1．函数图象自身的轴对称

(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；

(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；

(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

2．函数图象自身的中心对称

(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；

(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；

(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．

3．两个函数图象之间的对称关系

(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；

(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；

(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝2|x|的图象关于直线x＝0对称．(　　)

(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

◆[小题查验]

1．(BSD必修第一册P66思考交流T2改编)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　　)

A．y＝f(|x|)　　　 B．y＝|f(x)|

C．y＝f(－|x|)  D．y＝－f(－|x|)

解析：C　[因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．]

2．(2025·北京卷，4)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点(　　)

A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变

B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变

C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变

D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变

解析：A　[因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象．]

3．(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的解析式可能为(　　)

A．f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝

D．f(x)＝