主题2 第2章 第7节 函数的图象（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖图象表示方法、变换规律（平移、对称、伸缩等）及对称性应用，按“基础方法—性质探究—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建从解析式到图象的转化思维，突破方程解与不等式问题难点。 资料以数形结合为核心，创新采用“辨析—典例—应用”教学链，如通过奇偶性判断排除错误图象培养数学思维，利用图象交点分析零点个数提升数学眼光。设置分层练习与即时反馈，确保学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第7节　函数的图象 ★[课程标准] 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题． 3．会结合函数性质判断或选择函数的图象． 1．利用描点法作函数的图象步骤 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝　－f(x)　； ②y＝f(x)y＝　f(－x)　； ③y＝f(x)y＝　－f(－x)　； ④y＝ax(a>0且a≠1)y＝　logax(a>0且a≠1)　. (3)伸缩变换 ①y＝f(x) y＝　f(ax)　. ②y＝f(x)y＝　af(x)　. (4)翻转变换 ①y＝f(x)y＝　|f(x)|　. ②y＝f(x)y＝　f(|x|)　. 1．函数图象自身的轴对称 (1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)； (3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 2．函数图象自身的中心对称 (1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称； (2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)； (3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)； (2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称； (3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称； (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2|x|的图象关于直线x＝0对称．(　　) (2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) (5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．(BSD必修第一册P66思考交流T2改编)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　　) A．y＝f(|x|)　　　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|) 解析：C　[因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．] 2．(2025·北京卷，4)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点(　　) A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 解析：A　[因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象．] 3．(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：D　[A中，f(x)＝＝－＝－f(－x)(x≠±1)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A；B中，f(－x)＝＝－＝－f(x)(x≠±1)为奇函数，故排除B；C中，f(－x)＝＝＝f(x)为偶函数，当x＝2时，f(2)＝＝－＜0，故排除C.] 4．(忽视复合函数中间变量的范围致误)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1,2)，则实数t的值为________． 解析：由题中图象可知不等式－2<f(x＋t)<4， 即为f(3)<f(x＋t)<f(0)，故x＋t∈(0,3)， 即不等式的解集为(－t,3－t)，依题意可得t＝1. 答案：1 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意a＝|x|＋x， 令y＝|x|＋x＝ 图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解则a>0. 答案：(0，＋∞) 　　　作函数的图象 　分别作出下列函数的图象： (1)y＝elnx； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝a|x|(0<a<1)； (4)y＝. 解：(1)∵函数的定义域为{x|x>0}， 且y＝elnx＝x(x>0)， ∴其图象如图(1)所示． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(2)所示． (3)∵y＝ (0<a<1)， ∴只需作出0<a<1时函数y＝ax(x≥0)和y＝x(x<0)的图象，合起来即得函数y＝a|x|(0<a<1)的图象．如图(3)所示． (4)∵y＝2＋， 故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示． 画函数图象的一般方法 (1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出． (2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 可先化简函数解析式，再利用图象的变换作图． 　　　　函数图象的识别 ►[命题点1]　由函数解析式选图　 [典例1] (2024·全国甲卷(理))函数y＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　) [解析]　令f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x， 则f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x) ＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x) ∴y＝f(x)为偶函数，排除A，C； 故排除D，B正确． [答案]　B 知式选图的策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象． 1．函数f(x)＝sin x＋的图象可能是(　　) 解析：D　[因为f(x)＝sin x＋的定义域为R，又因为f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x＋≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，排除A，B项． ，所以排除C项．] ►[命题点2]　由函数的图象选解析式　 [典例2] (2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ [解析]　由图象可知，f(x)图象关于y轴对称，为偶函数，故A、B错误；当x＞0时，f(x)＝恒大于0，与图象不符合，故C错误． [答案]　D 注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口． 2．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：A　[对于B，当x＞1时，f(x)＝，易知ex－e－x＞0,3－4x＜0， 则f(x)＜0，不满足图象，故B错误； 对于C，f(x)＝，定义域为∪∪， 又因为f(－x)＝＝＝f(x)， 则f(x)的图象关于y轴对称，故C错误； 对于D，当x＞1时，f(x)＝＝＝1＋， 由反比例函数的性质可知，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故D错误； 检验选项A，f(x)＝满足图中性质，故A正确．] ►[命题点3]　用函数的变化趋势及特殊值选图　 [典例3]　如图，正△ABC的中心位于点G(0,1)，A(0,2)，动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP＝x(0≤x≤2π)，向量在a＝(1,0)方向的射影为y(O为坐标原点)，则y关于x的函数y＝f(x)的图象是(　　) [解析]　设BC边与y轴交点为点M，由已知可得GM＝0.5，因而可得AM＝1.5，由此正三角形的边长为，连接BG，可得tan ∠BGM＝＝，即∠BGM＝， 则∠BGA＝π，由图可知当x＝π时，射影y取到最小值，其大小为－，由此可排除A，B选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可排除D. [答案]　C 1．解决动点的函数问题思路：采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择． 2．知式选图的解题思路：根据解析式结合所给图象，灵活运用特殊值及函数的变化趋势排除错误的选项，快速选择． 3．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　) 解析：C　[解法一：由题图：当x＝时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A，D选项；选项当x∈时，OM＝cos x，设点M到直线OP的距离为d，则＝sin x，即d＝OMsin x＝sin xcos x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x≤，排除B选项． 解法二：如图所示，过点M作OP的垂线，垂足为D. 当x＝时，MD＝0，排除A，D选项，当x＝或x＝时，MD取得最大值为，排除B选项．] 　　　　函数图象的应用 ►[命题点1]　研究函数的零点或方程解的个数　 1．设函数f(x)＝若f(x)－k＝0有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(0,1] D．[0，＋∞) 解析：C　[当x≤0时，函数y＝ex单调递增，函数值集合为(0,1]， 当0＜x≤1时，函数y＝－ln x单调递减，函数值集合为[0，＋∞)， 当x≥1时，函数y＝ln x单调递增，函数值集合为[0，＋∞)， 作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝k，如图， 观察图象知，当0＜k≤1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有3个交点， 所以f(x)－k＝0有三个不同的实数根，实数k的取值范围是(0,1]．] ►[命题点2]　求不等式的解集或判断不等式是否成立　 2．已知函数f(x)＝则f(x)≤x的解集为(　　) A．(－∞，0] B．(－1,0] C．(－1,0]∪[1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：C　[作出函数y＝f(x)与y＝x的图象，如图， 当x≥1时，x≤x，作出函数y＝x与y＝x的图象， 由图象可知，此时解得x∈[1，＋∞)； 当－1＜x＜1时，log4(x＋1)≤x，作出函数y＝log4(x＋1)与y＝x的图象， 它们的交点坐标为(0,0)、，结合图象知此时x∈(－1,0]． 所以不等式f(x)≤x的解集为(－1,0]∪[1，＋∞)． 3．(多选)已知直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝ln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B． C．x1ln x2＋x2ln x1＜0 D．x1x2＞ 解析：ABC　[函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，则y＝ex与y＝ln x的图象关于y＝x对称． 将y＝－x＋2与y＝x联立，则x＝1，y＝1. 由直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝ln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 作出函数图象，则A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(1,1)． 对于A，由＝1，解得x1＋x2＝2，故A正确； 对于B，＝2e，因为x1≠x2，即等号不成立，所以＞2e，故B正确； 对于C，将y＝－x＋2与y＝ex联立可得－x＋2＝ex，即ex＋x－2＝0. 设f(x)＝ex＋x－2，且函数为单调递增函数， ∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f＝＋－2 ＝－＞0， 故函数的零点在上，即0＜x1＜， 由x1＋x2＝2，则1＜x2＜2，∴＞x2， x1ln x2＋x2 ln x1＝x1 ln x2－x2 ln ＜x1ln x2－x2ln x2＝(x1－x2)ln x2＜0，故C正确； 对于D，由x1＋x2≥2，解得x1x2≤1， 由于x1≠x2，则x1x2＜1，故D错误．] ►[命题点3]　求参数的取值或范围　 4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝x＋a无实根，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞0)∪ B．(－1,0) C. D．(0,1) 解析：B　[因为函数f(x)＝ 关于x的方程f(x)＝x＋a无实根等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点， 设直线y＝x＋a与f(x)＝(x＞0)的切点为P(x0，y0)，由f′(x)＝，由已知有：＝1，解得x0＝1，则P(1,0)，则切线方程为：y＝x－1，由图知：函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点时实数a的取值范围为－1＜a＜0.] (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性． (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解． (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 学科网（北京）股份有限公司 $