主题2 第2章 第6节 对数与对数函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，涵盖对数概念、运算性质、函数图象与性质及反函数，按“定义-性质-应用”逻辑构建知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破对数运算、复合函数单调性等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“母题+子题”变式教学，结合数形结合思想分析函数图象，如通过对比指数与对数函数图象对称性培养数学思维与几何直观。设置基础判断、分层练习及命题点专项训练，确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第6节　对数与对数函数 ★[课程标准] 1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)． 1．对数的概念 (1)对数的定义： 一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为　以a为底N的对数　，记作　logaN　＝b，其中a叫作对数的　底数　，N叫作　真数　. (2)对数与指数的关系：给定底数后，对数运算是指数运算的　逆运算　，即ab＝N⇔b＝　logaN　. (3)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为　10　 　lg_N　 自然对数 底数为　e　 　ln_N　 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③＝　N　；④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)． (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N>0，b＞0，那么 ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②loga＝　logaM－logaN　； ③logaMb＝blogaM(n∈R)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝　　； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数及其性质 (1)概念：给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上，值域为(0，＋∞)的单调函数，所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay.习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成　y＝logax　(a＞0，且a≠1)，其中a称为　底数　. (2)对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图 象 性质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：　R　 当x＝1时，y＝0，即过定点　(1,0)　 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0 当x>1时，　y<0　； 当0<x<1时，　y>0　 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 4.反函数 习惯上，对数函数表示为y＝logax(a＞0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，且a≠1)．指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的　反函数　，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的　反函数　.即它们　互为反函数　，它们的图象关于直线y＝x对称． 对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)log2x2＝2log2x.(　　) (3)当x>1时，logax>0.(　　) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　) (5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(BSD必修第一册P101练习T2(4)改编)计算：2lg－＝(　　) A．10　　　　　　　 B．1 C．2 D．lg 5 解析：B　[原式＝lg()2＋lg＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.] 2．已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：C　[以c＝为中间量，构造增函数y＝log5x和y＝log8x，log52＜log5＝＝log82＜log83.] 3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． C．log0.5x D．2x－2 解析：A　[由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)． ∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.] 4．(BSD必修第一册P113练习T2(2)改编)函数y＝log7的定义域为________． 答案： 5．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是________． 解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0， ∴u＝2－ax在[0,1]上是减函数， 由复合函数关系知y＝logau应为增函数，∴a＞1， 又由于x在[0,1]上时y＝loga(2－ax)有意义， u＝2－ax又是减函数， ∴x＝1时，u＝2－ax取最小值是umin＝2－a＞0即可，∴a＜2， 综上可知，所求a的取值范围是(1,2)． 答案：(1,2) 　　　对数的基本运算 1．(多选)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则可以是(　　) A.　　 B． C.　　 D．2 解析：AD　[令t＝logab，则t＋＝， ∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0， ∴t＝或t＝2，∴logab＝或logab＝2， ∴a＝b2或a2＝b. ∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4，∴＝2或＝.] 2．若log312＝x，log412＝y，则＋＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 解析：B　[因为log312＝x，log412＝y，所以x＝＝，y＝＝，所以＝log123，＝log124，因此，＋＝log123＋log124＝log12(3×4)＝1.] 3．已知9x＝4y＝，则＝(　　) A．25 B．16 C．9 D．4 解析：B　[∵9x＝4y＝，∴x＝log9＝＝log36， y＝log4＝＝log26， ∴＝＝4log63，＝＝4log62， ∴＝2＝2 ＝(4log63＋4log62)2＝(4log66)2＝16.] 4. ＝　________　. 解析：原式＝ ＝＝－. 答案：－ 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 　　　　对数函数的图象及应用 [母题]　当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A. B． C．(1，) D．(，2) [破题关键点]　方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图象的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法． [解析]　法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，可知，f<g， 即2<loga，则a>，所以a的取值范围为. 法二：∵0<x≤，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1， ∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝，x＝， 则有，显然4x<logax不成立，排除选项A. [答案]　B [子题1]　将母题变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由x2－logax<0，得x2<logax， 设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax， 要使x∈时，不等式x2<logax恒成立， 只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立； 当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2， 所以有2≤loga，解得a≥，∴≤a<1. 即实数a的取值范围是. 答案： [子题2]　将母题变为：当0<x≤时，<logax，则实数a的取值范围是________． 解析：若<logax在x∈成立，则0<a<1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示， 由图象知<loga， 即实数a的取值范围是. 答案： [子题3]　将母题变为：已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______． 解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点． 答案：(1，＋∞) 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 　　　　对数函数的性质及应用 ►[命题点1]　比较对数值的大小　 1．已知a＝log315，b＝log420,2c＝1.9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 解析：D　[a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1，因为log35＝＞＝log45，所以a＞b＞c.] 2．设a＝log49，b＝log25，，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a 解析：A　[因为函数y＝log2x在定义域上单调递增， 故b＝log25＞log23＝log49＝a＞log22＝1， 又因为，所以b＞a＞1＞c.] ►[命题点2]　解简单的对数不等式　 3．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 解析：A　[定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－为增函数， 由f(x)＞f(2x－1)结合偶函数图象的对称性可知|x|＞|2x－1|， 两边平方并化简得(x－1)(3x－1)＜0，解得＜x＜1.所以不等式f(x)＞f(2x－1)的解集为.] ►[命题点3]　与对数有关的复合函数问题　 4．已知函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A.≤a＜ B．＜a＜1 C.≤a＜或a＞1 D.＜a＜1或a＞1 解析：C　[函数y＝f(x)是由y＝logat与t＝|(x－2)(ax－3)|复合而成， ①当0＜a＜1时，因为y＝logat为减函数，且函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间上单调递增，所以t＝|(x－2)(ax－3)|在上单调递减，结合t＝|(x－2)(ax－3)|的图象可得解得≤a＜， ②当a＞1时，因为y＝logat为增函数，且函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间上单调递增，所以t＝|(x－2)(ax－3)|在上单调递增，又因为此时＜3，结合t＝|(x－2)(ax－3)|的图象可知此时符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为≤a＜或a＞1.] ►[命题点4]　利用对数函数的性质求参数　 5．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)．若f(x)≥0.则a2＋b2的最小值为(　　) A. B． C. D．1 解析：C　[当x＜－a时x＋a＜0，当x＞－a时x＋a＞0，当x＜1－b时ln(x＋b)＜0， 当x＞1－b时ln(x＋b)＞0，所以要f(x)恒非负，必须－a＝1－b，即b－a＝1， 所以a2＋b2＝≥， 当且仅当a＝－，b＝时取等号．] 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较． (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 学科网（北京）股份有限公司 $