主题2 第2章 第6节 对数与对数函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第6节　对数与对数函数

★[课程标准]

1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．

2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．

1．对数的概念

(1)对数的定义： 一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为　以a为底N的对数　，记作　logaN　＝b，其中a叫作对数的　底数　，N叫作　真数　.

(2)对数与指数的关系：给定底数后，对数运算是指数运算的　逆运算　，即ab＝N⇔b＝　logaN　.

(3)两种常见对数

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③＝　N　；④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)．

(2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M >0，N>0，b＞0，那么

①loga(MN)＝　logaM＋logaN　；

②loga＝　logaM－logaN　；

③logaMb＝blogaM(n∈R)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝　　；

②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

3．对数函数及其性质

(1)概念：给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上，值域为(0，＋∞)的单调函数，所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay.习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成　y＝logax　(a＞0，且a≠1)，其中a称为　底数　.

(2)对数函数的图象与性质

4.反函数

习惯上，对数函数表示为y＝logax(a＞0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，且a≠1)．指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的　反函数　，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的　反函数　.即它们　互为反函数　，它们的图象关于直线y＝x对称．

对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)

(2)log2x2＝2log2x.(　　)

(3)当x>1时，logax>0.(　　)

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　)

(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√

◆[小题查验]

1．(BSD必修第一册P101练习T2(4)改编)计算：2lg－＝(　　)

A．10　　　　　　　 B．1

C．2  D．lg 5

解析：B　[原式＝lg()2＋lg＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.]

2．已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)

A．c＜b＜a  B．b＜a＜c

C．a＜c＜b  D．a＜b＜c

解析：C　[以c＝为中间量，构造增函数y＝log5x和y＝log8x，log52＜log5＝＝log82＜log83.]

3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x  B．

C．log0.5x  D．2x－2

解析：A　[由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．

∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]

4．(BSD必修第一册P113练习T2(2)改编)函数y＝log7的定义域为________．

答案：

5．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是________．

解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，