主题2 第2章 第8节 方程解的存在性及方程的近似解（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

 

第8节　方程解的存在性及方程的近似解

★[课程标准]

1．理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点存在定理，并能简单应用．

2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

1．函数的零点

(1)函数的零点

使得　f(x0)＝0　的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的　零点　.f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的　横坐标　.

(2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有　零点　.

(3)零点存在定理

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即　f(a)·f(b)＜0　，则在开区间(a, b)内，函数y＝f(x)至少有一个　零点　，即在区间(a, b)内相应的方程f(x)＝0　至少　有一个解．

2．二分法

对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a, b]，若函数y＝f(x)的图象是一条　连续　的曲线， 　f(a)·f(b)＜0　，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

1．有关函数零点的重要结论

(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．

2．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)

(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

◆[小题查验]

1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

解析：A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．]

2．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)

A．(0,0.3)　　　　　 B．(0.3,0.5)

C．(0.5,1)  D．(1,2)

解析：B　[f(x)＝0.3x－(x＞0)在(0，＋∞)上单调递减．

∵f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0.

f(0.5)＝0.30.5－＝0.30.5－0.50.5＜0，

∴f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上．]

3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)

A．(0,0.5)，f(0.125)  B．(0,0.5)，f(0.375)

C．(0.5,1)，f(0.75)  D．(0,0.5)，f(0.25)

解析：D　[因为f(0)f(0.5)＜0，由零点存在性知：零点x0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f，即f(0.25)．]

4．(BSD必修第一册P130练习T3(2)改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是

(　　)

A．(1,2)  B．(0,1)

C．(2，e)  D．(e,3)

解析：C　[因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(e)＝ln e＋2e－6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零点所在的区间为(2，e)．]

5．(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为　________　.

解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，

故f(x)只有一个零点为－1，当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－.

综上有a＝0或－.

答案：0或－

　　　确定函数零点所在的区间

1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内　 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内  D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：A　[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，

f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，

由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．]

2．定义在(0，＋∞)上的单调函数f(x)满足：∀x∈(0，＋∞)，f[f(x)－log2x]＝3，则方程f(x)－＝2的解所在区间是(　　)

A.  B．

C．(1,2)  D．(2,3)

解析：C　[由题设t＝f(x)－log2x＞0为定值，且f(t)＝3，

所以f(x)＝t＋log2x，则f(t)＝t＋log2t＝3，易知t＝2，故f(x)＝2＋log2x，