主题2 第2章 第8节 方程解的存在性及方程的近似解（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦方程解的存在性及近似解，涵盖函数零点概念、零点存在定理、二分法及二次函数零点关系等高考核心考点，按“概念-定理-方法-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，助力学生突破零点判断、区间确定及参数问题难点，体现复习系统性与针对性。 资料以分层练习和数形结合为特色，如判断零点个数时引导学生作函数图象转化为交点问题，培养数学眼光与几何直观。融入2025天津卷等真题，通过“母题-子题”拓展参数问题解法，发展数学思维与逻辑推理能力，为教师把控复习节奏、学生高效提升应考能力提供有力支撑。

第8节　方程解的存在性及方程的近似解 ★[课程标准] 1．理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点存在定理，并能简单应用． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 1．函数的零点 (1)函数的零点 使得　f(x0)＝0　的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的　零点　.f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的　横坐标　. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有　零点　. (3)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即　f(a)·f(b)＜0　，则在开区间(a, b)内，函数y＝f(x)至少有一个　零点　，即在区间(a, b)内相应的方程f(x)＝0　至少　有一个解． 2．二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a, b]，若函数y＝f(x)的图象是一条　连续　的曲线， 　f(a)·f(b)＜0　，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 　(x1,0)， (x2,0)　 　(x1,0)　 无交点 零点个数 2 1 0 1．有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变． 2．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析：A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] 2．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0,0.3)　　　　　 B．(0.3,0.5) C．(0.5,1) D．(1,2) 解析：B　[f(x)＝0.3x－(x＞0)在(0，＋∞)上单调递减． ∵f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0. f(0.5)＝0.30.5－＝0.30.5－0.50.5＜0， ∴f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上．] 3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　) A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25) 解析：D　[因为f(0)f(0.5)＜0，由零点存在性知：零点x0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f，即f(0.25)．] 4．(BSD必修第一册P130练习T3(2)改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(0,1) C．(2，e) D．(e,3) 解析：C　[因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(e)＝ln e＋2e－6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零点所在的区间为(2，e)．] 5．(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为　________　. 解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1，当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－. 综上有a＝0或－. 答案：0或－ 　　　确定函数零点所在的区间 1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内　 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：A　[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．] 2．定义在(0，＋∞)上的单调函数f(x)满足：∀x∈(0，＋∞)，f[f(x)－log2x]＝3，则方程f(x)－＝2的解所在区间是(　　) A. B． C．(1,2) D．(2,3) 解析：C　[由题设t＝f(x)－log2x＞0为定值，且f(t)＝3， 所以f(x)＝t＋log2x，则f(t)＝t＋log2t＝3，易知t＝2，故f(x)＝2＋log2x， 由f(x)－＝2＋log2x－＝2，则log2x＝，显然在第一象限有一个交点， 又因为y＝log2x，y＝在(0，＋∞)上分别单调递增，单调递减， 由log2＜，log21＜，log22＞，故方程解在(1,2)上．] 3．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________. 解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内， ∴函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2. 答案：2 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 　　　判断函数零点的个数 [典例]　已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________． [解析]　第一步：作函数y＝f(x)的图象 作出函数y＝f(x)的图象． 第二步：解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1. 第三步：观察y＝和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数 由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点． 第四步：得出函数的零点个数 因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个． [答案]　5 判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法：令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数． (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)． 1．若直角坐标平面内A，B两点满足条件： ①点A，B都在f(x)的图象上； ②点A，B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“兄弟点对”(点对(A，B)与(B，A)可看作一个“兄弟点对”)． 已知函数f(x)＝则f(x)的“兄弟点对”的个数为(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 解析：D　[设P(x，y)(x＜0)，则点P关于原点的对称点为(－x，－y)， 于是，cos x＝－lg(－x)，只需判断方程根的个数， 即p(x)＝cos x，x≤0与s(x)＝－lg(－x)，x＜0图象的交点个数， 因为p(－π)＝－1，s(－π)＝－lg π＞－1，p(－3π)＝－1，s(－3π)＝－lg 3π＞－1； p(－5π)＝－1，s(－5π)＝－lg 5π＜－1； 作出两函数的图象，由图知，p(x)＝cos x，x≤0与s(x)＝－lg(－x)，x＜0的图象有5个交点，所以f(x)的“兄弟点对”的个数为5个． ] 2．已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则方程f(x)＋x2＝2的根的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：D　[要求方程f(x)＋x2＝2根的个数，即为求f(x)与y＝2－的交点个数， 由题设知，在(0，＋∞)上的图象如图所示， ∴由图知：有3个交点，又由f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数， ∴在y轴左侧也有3个交点，故一共有6个交点．] 　　　　函数零点的应用 [母题]　若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________． [解析]　令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<；令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x>，所以，当0<x<时，函数g(x)单调递减；当x>时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－<a<0. [答案]　 [子题1]　若母题中f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是______． 解析：由母题解析知a＝－或a≥0. 答案：[0，＋∞)∪ [子题2]　若函数变为f(x)＝ln x－x－a，其他条件不变，则a的取值范围是　______　. 解析：函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即为关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，所以关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) [子题3]　若函数变为f(x)＝ 函数y＝f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是______． 解析：令g(x)＝h(x)＝a，则问题转化为g(x)与h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图． 由图象知－＜a＜1. 答案： 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离得a＝f(x)，再转化成求函数f(x)值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－logax(其中a＞1)恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为__________． 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)关于直线x＝1对称， 又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， 则f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)， 即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2) ＝－[－f(x)]＝f(x)， 故函数f(x)是以4为周期的周期函数， 又∵f(x＋2)＝－f(－x－2)＝－f(－x＋2)， 即f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0， 故函数f(x)关于点(2,0)对称， 令g(x)＝f(x)－logax＝0，则f(x)＝logax， 原题等价于y＝f(x)与y＝logax有3个交点， 且y＝logax(a＞1)的定义域为(0，＋∞)， 如图所示，则可得解得5＜a＜9. 答案：(5,9) 2．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－kx＝0有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是________． 解析：方程f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出y＝f(x)－2与y＝kx－2的函数图象如图所示： 因为直线y＝kx－2过(0，－2)， 联立得x2－kx＋2＝0， 由Δ＝k2－8＝0，得k＝±2. 又过(1,1)与(0，－2)两点的直线的斜率3， 由图知：当直线y＝kx－2过点(1,1)时，为函数y＝x2与y＝kx－2有两个交点的临界点，此时k＝3， 由图可知，若关于x的方程f(x)＝kx有且只有一个实数根， 则实数k的取值范围为{k|0＜k＜3}∪{－2}． 答案：{k|0＜k＜3}∪{－2} 学科网（北京）股份有限公司 $