主题2 第2章 第9节 函数模型及应用（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第9节　函数模型及应用

★[课程标准]

1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．

2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．

1．常见的函数模型

2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质

1．对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－ ]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．当x＞0，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2.

2．当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型．

3．当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型．

4．幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长

较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　)

(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)

(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)

(4)幂函数增长比直线增长更快．(　　)

(5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．(　　)

答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)×　(5)√

◆[小题查验]

1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1

C．y＝2x－2  D．y＝log2x

解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．]

2．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　)

A．3N2＝2N1  B．2N2＝3N1

C．N＝N  D．N＝N

解析：D　[由题意可得

两式相除得2.1 ln N1＝3.15 ln N2，

所以ln N＝ln N，即N＝N，故N＝N.]

3．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)

A．6　　　 B．9

C．8　　　 D．7

解析：BC　[设经过n次过滤，产品达到市场要求，

则×n≤，即n≤，

由nlg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4.]

4．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．

解析：由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，

∴y＝100log3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100log39＝200.

答案：200

5．(忽视整体代入致误)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，那么t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足等式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k为常数．现有62 ℃的物体放到22 ℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42 ℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到　________　.

解析：依题意42＝22＋(62－22)·e－2k，e－2k＝，故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到22＋(42－22)·e－4k＝22＋20·(e－2k)2

＝22＋20×＝27 ℃.

答案：27 ℃

　　　用函数图象刻画实际问题

　          中两变量的变化过程

1．在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　　)