主题2 第2章 第4节 幂函数与二次函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第4节　幂函数与二次函数

★[课程标准]

1．通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律．

2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　.

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　.

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

1．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法如下

①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；

②当0＜α＜1时，其图象可类似画出；

③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出．

2．关于x的一元二次不等式恒成立的条件

(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．

(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数是幂函数．(　　)

(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)

(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　)

(5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

◆[小题查验]

1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)

A．(0，＋∞)　　　　 B．[0，＋∞)

C．(－∞，＋∞)  D．(－∞，0)

解析：D　[设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．]

2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是(　　)

解析：B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.]

3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：C　[由题意知即解得a>.]

4．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为__________．

解析：由已知得，f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比数列，b2＝ac＝－4a，a<0，

所以，f(x)＝ax2＋bx＋c有最大值，

最大值为＝＝c＝－3.

答案：大　－3

5．(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)____0(填“>”“<”或“＝”)．

解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，