主题2 第2章 第4节 幂函数与二次函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，按定义、图象、性质到应用（单调性、最值、恒成立、零点分布）的逻辑架构梳理知识，通过考点梳理、方法指导（如幂函数“指大图低”规律、二次函数分类讨论对称轴）、真题训练（思考辨析、小题查验、例题解析）等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 讲义突出数学眼光（观察幂函数图象变化规律）与数学思维（二次函数最值分类讨论）的培养，设计“考点梳理-典例精讲-方法总结-分层练习”流程，如二次函数零点分布通过图象分析转化为不等式组，培养逻辑推理能力，分层练习满足不同学生需求，有效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第4节　幂函数与二次函数 ★[课程标准] 1．通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律． 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R 　[0，＋∞)　 {x|x≠0} 值域 R 　[0，＋∞)　 R [0，＋∞) 　{y|y≠0}　 奇偶性 　奇　 偶 　奇　 非奇非偶 奇 单调性 在R上单 调递增 　在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)　 　上单调递增　 　在R上　单调递增　 　在[0，＋∞)　 上单调递增　 　在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减　 公共点 　(1,1)　 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 　　 　　 单调性 在上单调递减； 在　　上单调递增 在　　上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 1．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法如下 ①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出； ②当0＜α＜1时，其图象可类似画出； ③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出． 2．关于x的一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　) (5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 解析：D　[设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．] 2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是(　　) 解析：B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.] 3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A. B． C. D. 解析：C　[由题意知即解得a>.] 4．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为__________． 解析：由已知得，f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比数列，b2＝ac＝－4a，a<0， 所以，f(x)＝ax2＋bx＋c有最大值， 最大值为＝＝c＝－3. 答案：大　－3 5．(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)____0(填“>”“<”或“＝”)． 解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0， 而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0， ∴f(m－1)>0. 答案：> 　　　幂函数的图象与性质 1．已知幂函数 (p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且＞0 B．q为偶数，p为奇数，且＜0 C．q为奇数，p为偶数，且＞0 D．q为奇数，p为偶数，且＜0 解析：D　[因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有＜0， 又因p，q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确．] 2．设a＝，b＝0.350.53，c＝0.530.35，则(　　) A．a＞b＞c　　　　　 B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 解析：D　[由a＝＝log0.530.35＞log0.530.53＝1， ∵y＝0.35x，y＝0.53x在R上单调递减， y＝x0.35在(0，＋∞)上单调递增， ∵0.350.53＜0.350.35＜0.530.35＜0.530＝1， ∴a＞c＞b.] 3．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1＜n＜0＜m＜1　 B．n＜－1,0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 解析：B　[如图，作直线x＝2，y＝x， 直线x＝2与各幂函数的图象及y＝x的图象的交点的纵坐标分别为2n,2－1,2m,21， 从图中可观察得2n＜2－1＜1＜2m＜21， 由指数函数y＝2x在R上是增函数，可得n＜－1,0＜m＜1.] 4．已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 解析：A　[∵函数是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3. ∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0， ∴函数f(x)在(0，＋∞)为增函数，∴m2－6＞0， ∴m＝3(m＝－2舍去)， ∴f(x)＝x3为增函数．对任意a，b∈R，且a＋b＞0， 则a＞－b，∴f(a)＞f(－b)＝－f(b)， ∴f(a)＋f(b)＞0.] 1．幂函数的解析式 y＝xα(α∈R)，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．幂函数的图象特征 ①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．②曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸． 3．幂函数的性质 (1)若α为偶数，则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数；若α为奇数，则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数．反之，不成立．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 4．幂值大小的比较 结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 　　　　二次函数的图象与性质(多维探究) ►[命题点1]　二次函数的图象　 1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：A　[由题意，函数y＝ax2＋bx＋c， 因为a＋b＋c＝0，令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0，即函数图象过点(1,0)， 又由a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，所以抛物线的开口向上，可排除B、D项， 令x＝0，可得y＝c＜0，可排除C项．] ►[命题点2]　二次函数的单调性与最值　 2．已知函数f(x)＝x2－2ax－3. (1)已知f(x)在[3，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)求f(x)在[－1,2]上的最小值． 解：(1)由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 要使得f(x)在[3，＋∞)上单调递增，则满足a≤3， 所以a的取值范围为(－∞，3]． (2)由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 当a＜－1时，函数f(x)在[－1,2]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(－1)＝2a－2； 当－1≤a≤2时，函数f(x)在[－1，a]上单调递减，在[a,2]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(a)＝－a2－3； 当a＞2时，函数f(x)在[－1,2]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(2)＝1－4a， 综上可得，f(x)在[－1,2]上的最小值为f(x)min＝ [引申探究] 本题条件不变，求f(x)在[－1,2]上的最大值． 解：由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 当a＜－1时，函数f(x)在[－1,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)＝1－4a； 当－1＜a≤时，函数f(x)的最大值为f(2)＝1－4a； 当＜a≤2时，函数f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2； 当a>2时，函数f(x)在[－1,2]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2. 综上，当a≤时，函数f(x)的最大值为f(2)＝1－4a；当a＞时，f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2. 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解．常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外； (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值． ►[命题点3]　二次函数中恒成立问题　 3．已知正实数x，y满足2x＋3y＝1，且tx2－y2≥x－y对任意x，y恒成立，则实数t的最小值是__________． 解析：依题意，解得0＜x＜， 则＞2， 由tx2－y2≥x－y，得t≥， 其中＝ ＝＝－2＋×＋，① 则当＝－＝时①式取得最大值－×2＋×＋＝，所以t的最小值是. 答案： 4．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[0,2]，函数g(x)＝ax－1，x∈[－1,1]，对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[－1,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[3，＋∞) C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析：C　[因为f(x)＝－(x－2)2＋2，x∈[0,2]， 所以即f(x)的值域为[1,2]， 因为对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[－1,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立， 所以f(x)的值域为[1,2]是g(x)在[－1,1]上值域的子集， 当a＞0时，g(x)在[－1,1]上为增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)，所以g(x)∈[－a－1，a－1]， 所以解得a≥3， 当a＜0时，g(x)在[－1,1]上为减函数，所以g(1)≤g(x)≤g(－1)，所以g(x)∈[a－1，－a－1]， 所以解得a≤－3， 综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．] 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二是构造函数，数形结合求解． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 　　二次函数零点的分布问题 [典例]　关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时？ (1)方程有一正根一负根； (2)方程两根都大于1. [破题关键点]　构造函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，借助于二次函数的图象与性质，列出不等式组进行求解． [解]　令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如图①，②两种情况． 因此f(x)＝0有一正一负根等价于或解得0<a<1. 所以0<a<1时，方程有一正一负根． (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图象只有如图③，④两种情况． 因此f(x)＝0两根都大于1等价于 或解得a∈∅. 所以不存在实数a，使方程两根都大于1. 解决有关根的分布问题应注意以下几点 (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意． 这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时要注意条件的完备性． [互动探究] 本例已知条件不变，求a为何值时？ (1)方程有唯一实根； (2)方程一根大于1，一根小于1. 解：(1)令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. 当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－，符合题意； 当a≠0时，Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝0， ∴a＝－. 所以当a＝0或－时，方程有唯一实根． (2)因为方程有一根大于1，一根小于1. f(x)大致图象如图⑤，⑥. 所以必须满足或解得a>0. 所以当a>0时，方程有一根大于1，一根小于1. 学科网（北京）股份有限公司 $