主题2 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性

★[课程标准]

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

3．结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义.4.会运用函数的图象理解和研究函数的周期性．

1．函数的奇偶性

当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有　奇偶性　.奇函数和偶函数的定义域关于　原点　对称．

2．函数的周期性

(1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．函数奇偶性的四个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

(4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数．

2．函数周期性的三个常用结论

对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.

3．函数对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)

(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

◆[小题查验]

1．下列函数为偶函数的是(　　)

A．f(x)＝x－1　　　　 B．f(x)＝x2＋x

C．f(x)＝2x－2－x  D．f(x)＝2x＋2－x

解析：D　[∵f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)＝2x＋2－x是偶函数．]

2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)

A．e－x－1  B．e－x＋1

C．－e－x－1  D．－ex＋1

解析：D　[设x＜0，则－x＞0，因为函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，可得f(x)＝－f(－x)＝－(ex－1)＝－ex＋1.]

3．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，

则f(107.5)＝(　　)

A．10　　 B．

C．－10　　 D．－

解析：B　[因为f(x＋3)＝－，故有f(x＋6)＝－＝－＝f(x)，

所以函数f(x)是以6为周期的函数．

所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－＝－＝－＝.]

4．(忽视定义域的对称性致误)函数f(x)＝(x＋1) 是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．

解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称．故f(x)为非奇非偶函数．

答案：非奇非偶

5．已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2 027)＝________.

解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 027)＝f(675×3＋2)＝f(2)＝22＋4＝8.

答案：8

　　　判断函数的奇偶性

1．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　)

A．f(x)＝　　 B．f(x)＝

C．f(x)＝  D．f(x)＝

解析：B　[对A，设f(x)＝，函数定义域为R，但f(－1)＝，f(1)＝，则f(－1)≠f(1)，故A错误；对B，设f(x)＝，函数定义域为R，且f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，故B正确；对C，设f(x)＝，函数