主题2 第2章 第1节 函数的概念及其表示（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及其表示核心考点，涵盖函数定义、定义域、解析式、分段函数等高考高频内容，按“概念梳理-命题点突破-方法总结-真题演练”逻辑架构知识体系，通过考点分类讲解、解题策略指导、典型例题分析和分层练习，帮助学生系统构建函数知识网络，精准突破定义域求解、解析式求法等难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过抽象函数定义域的转化训练提升逻辑推理能力，结合分段函数分类讨论实例强化数学表达，设置基础巩固与能力提升分层练习。特色教学活动如“换元法求解析式”“分段函数方程不等式求解”，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第1节　函数的概念及其表示 ★[课程标准] 1．通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的定义及相关概念 (1)函数定义：给定实数集R中的两个　非空　数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的　每一个　数x，在集合B中都有　唯一确定　的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. (2)相关概念：集合　A　称为函数的定义域，x称为　自变量　；与x值对应的y值称为　函数值　，集合　{f(x)|x∈A}　称为函数的值域． (3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 2．函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (4)对数型函数的真数大于0. ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(　　) (2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　) (4)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× ◆[小题查验] 1．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(　　) 解析：ACD　[根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足．] 2．(BSD必修第一册P57习题2－2A组T4改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A．y＝()2　　 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 答案：B 3．已知f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　　) A．1　　　 B．4 C．1或4　　　 D．2 解析：B　[当a＜1时，f(a)＝2a－1＝1，则a－1＝0，解得a＝1(舍去)；当a≥1时，f(a)＝＝1，则＝2，解得a＝4.] 4．函数f(x)＝＋的定义域是________． 答案：(－4,4] 5．(忽视变量的范围致误)已知f ()＝x－1，则f (x)＝____________. 解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f (t)＝t2－1(t≥0)，即f (x)＝x2－1(x≥0)． 答案：x2－1(x≥0) 　　　函数的定义域 ►[命题点1]　求给定函数解析式的定义域　 1．函数y＝＋(x－1)0的定义域是　________　. 解析：由得所以－3<x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}． 答案：{x|－3<x<2且x≠1} 2．函数y＝的定义域是(　　) A.　　　　　 B． C. D. 解析：A　[由题意，得 则即 ∴x∈.] (1)已知函数的解析式求定义域，构建使解析式有意义的不等式(组)求解．如果所给解析式较复杂，切记不要化简后再求定义域． (2)所求定义域须用集合或区间表示． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． ►[命题点2]　求抽象函数的定义域　 [典例1]　若函数f(x)的定义域为[－1,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[1,4] B．(1,4] C．[1,2] D．(1,2] [解析]　由于函数f(x)的定义域为[－1,2]，对于函数g(x)＝，有解得1＜x≤4.因此函数g(x)＝的定义域是(1,4]． [答案]　B [互动探究] 若将本例改为“已知函数y＝f(x2－4)的定义域是[－1,5]”，则函数y＝f(2x＋1)的定义域为　________. 解析：y＝f(x2－4)的定义域是[－1,5]， 则x2－4∈[－4,21]， 即函数f(x)的定义域为[－4,21]， 令2x＋1∈[－4,21]，解得x∈. 则函数y＝f(2x＋1)的定义域为. 答案： 求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]， 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． ►[命题点3]　已知定义域确定参数问题　 [典例2]　(1)(多选)若函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，则实数a可能的取值是(　　) A．－1　　 B．1 C．3　　 D．5 [解析]　函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，等价于＋1≥0在区间[－2，－1]上恒成立， 由x＜0，得a≤－x在区间[－2，－1]上恒成立，所以a≤1. [答案]　AB (2)当x∈时，函数f(x)＝和g(x)＝log2[2x2－(2a＋3)x＋2]有意义，则实数a的取值范围是______________． [解析]　由题意知，当x∈时，不等式组成立． 对于2ax－ln x＞0，整理得2a＞， 令h(x)＝，则h′(x)＝， 当x∈时，h′(x)＞0，h(x)单调递增； x∈(e，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，所以 h(x)max＝h(e)＝，则2a＞，解得a＞； 对于2x2－(2a＋3)x＋2＞0，整理得＜x＋，由于G(x)＝x＋在上的最小值为G(1)＝2，所以＜2，解得a＜.综上可得＜a＜. [答案]　 已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题； (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围． 1．已知f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域为________． 解析：由已知x∈[－1,1]，所以2x∈，故f(x)的定义域为，所以在函数y＝f(log2x)中，≤log2x≤2，即log2≤log2x≤log24，所以≤x≤4，故f(log2x)的定义域为[，4]． 答案：[，4] 2．记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B. 若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 解析：由已知得A＝{x|x<－1或x≥1}， B＝{x|(x－a－1)(x－2a)<0}， 由a<1，得a＋1>2a，∴B＝{x|2a<x<a＋1}． ∵B⊆A，∴a＋1≤－1或2a≥1， ∴a≤－2或≤a<1. ∴a的取值范围为a≤－2或≤a<1，即[－∞，－2]∪. 答案：(－∞，－2]∪ 　　　求函数的解析式 [典例]　求下列函数的解析式： (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3) f(x)是一次函数，且满足f(f(x))＝4x－3，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的函数解析式． [解]　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]． 即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]． (2)(配凑法)∵f＝x2＋＝2－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数， 所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b， 又因为f(f(x))＝4x－3， 所以k2x＋kb＋b＝4x－3， 故解得或 所以f(x)＝2x－1或f(x)＝－2x＋3. (4)(方程组法)将代入2f(x)＋f＝3x， 得2f＋f(x)＝，因此 解得f(x)＝2x－(x≠0)． 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)消去法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 1．已知函数f(x)满足f(cos x－1)＝cos 2x－1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0) B．f(x)＝2x2＋4x(x∈R) C．f(x)＝2x－1(－2≤x≤0) D．f(x)＝2x－1(x∈R) 解析：A　[函数f(x)满足f(cos x－1)＝cos 2x－1 ＝2cos2x－1－1＝2cos2x－2， 设cos x－1＝t，则cos x＝t＋1， 由cos x∈[－1,1]知，t∈[－2,0]， 故原函数可转化为f(t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，t∈[－2,0]， 即f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0)．] 2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式． 解：∵f(x)为二次函数， ∴f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝c＝2， ∵f(x＋1)－f(x)＝x－1，∴2ax＋a＋b＝x－1， ∴a＝，b＝－， ∴f(x)＝x2－x＋2. 3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 解析：B　[由题意可知，当x＜3时，f(x)＝x，所以可知f(1)＝1，f(2)＝2，又因为∀x∈R，f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)，所以f(3)＞f(1)＋f(2)＝3，f(4)＞f(2)＋f(3)＞5，同理可得，f(5)＞8，f(6)＞13，f(7)＞21，f(8)＞34，f(9)＞55，f(10)＞89，…f(15)＞987，f(16)＞1 597＞1 000，……，故选B.] 　　　　分段函数及应用 ►[命题点1]　求函数值　 1．设函数f(x)＝则f(8)＝(　　) A．10 B．9 C．7 D．6 解析：C　[因为f(x)＝ 则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.] 2．已知a∈[－1,1]，函数f(x)＝若f(f(a))＝1，则a＝______. 解析：f(f(a))＝f(0)＝1， 当0≤a≤1时，f(0)＝sin(－2πa)＝1， 得a＝－－k，故a＝； 当－1≤a＜0时，f(0)＝a2＝1，故a＝－1. 答案：或－1 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 　提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． ►[命题点2]　解方程问题　 [典例1]　已知函数f(x)＝则方程f(1＋x2)＝f(2x)的解集是________． [解析]　∵函数f(x)＝ 方程f(1＋x2)＝f(2x)， ∴当x＜0时，2＝e2x＋1，解得x＝0，不成立； 当x≥0时，f(1＋x2)＝f(2x)＝2，成立． ∴方程f(1＋x2)＝f(2x)的解集是{x|x≥0}． [答案]　{x|x≥0} 分段函数与方程问题的求解思路 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 1．设函数f(x)＝若f(f(a))－f(a)＋2＝0，则实数a的值为(　　) A.－1 B．－－1 C.＋1 D．－＋1 解析：B　[令f(a)＝t，f(f(a))－f(a)＋2＝0， 则f(t)＝t－2， ①t≤0时，t2＋2t＝t－2，则t2＋t＋2＝0无解． ②t＞0时，－t2＝t－2，∴t＝1，∴f(a)＝1， a≤0时，a2＋2a＝1，则a＝－－1；a＞0时， －a2＝1无解，综上，a＝－－1.] ►[命题点3]　解不等式问题　 [典例2]　设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________． [解析]　第一步：解x＞时，f(x)＋f＞1 由题意得，当x＞时，f(x)＋f＝2x＋＞1恒成立，即x＞； 第二步：解0＜x≤时，f(x)＋f＞1 当0＜x≤时，f(x)＋f＝2x＋x－＋1＞1恒成立，即0＜x≤； 第三步：解x≤0时，f(x)＋f＞1 当x≤0时，x＋1＋x－＋1＞1，解得x＞－，即－＜x≤0. 第四步：取并集计算x的取值范围 综上x的取值范围是. [答案]　 分段函数与不等式问题的求解思路：依据分段函数的解析式，对不同范围的不同段分类讨论求解，最后将各段结果取并集．注意每段不等式结果与本段自变量的范围取交集得本段的最后结果． 2．设函数f(x)＝则不等式f(3)＋f(|x|－4)＞0的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－7,7) D．(－∞，－7)∪(7，＋∞) 解析：A　[因为f(x)＝所以f(3)＝－6，f(－3)＝(－3＋1)2＋2＝6， 则f(3)＋f(|x|－4)＞0，即f(|x|－4)＞－f(3)＝6＝f(－3)， f(x)的函数图象如图所示： 由函数图象可知当x＞－3时，f(x)＜6且f(x)在(－∞，－3)上单调递减，所以f(|x|－4)＞f(－3)等价于|x|－4＜－3，即|x|＜1，解得－1＜x＜1，即x∈(－1,1)．] 学科网（北京）股份有限公司 $