主题2 第2章 第1节 函数的概念及其表示（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第1节　函数的概念及其表示

★[课程标准]

1．通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．

2．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．

1．函数的定义及相关概念

(1)函数定义：给定实数集R中的两个　非空　数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的　每一个　数x，在集合B中都有　唯一确定　的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.

(2)相关概念：集合　A　称为函数的定义域，x称为　自变量　；与x值对应的y值称为　函数值　，集合　{f(x)|x∈A}　称为函数的值域．

(3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．

2．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．

2．函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．

(4)对数型函数的真数大于0.

◆[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(　　)

(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)

(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)

(4)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

◆[小题查验]

1．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(　　)

解析：ACD　[根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足．]

2．(BSD必修第一册P57习题2－2A组T4改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　)

A．y＝()2　　 B．y＝＋1

C．y＝＋1  D．y＝＋1

答案：B

3．已知f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　　)

A．1　　　 B．4

C．1或4　　　 D．2

解析：B　[当a＜1时，f(a)＝2a－1＝1，则a－1＝0，解得a＝1(舍去)；当a≥1时，f(a)＝＝1，则＝2，解得a＝4.]

4．函数f(x)＝＋的定义域是________．

答案：(－4,4]

5．(忽视变量的范围致误)已知f ()＝x－1，则f (x)＝____________.

解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f (t)＝t2－1(t≥0)，即f (x)＝x2－1(x≥0)．

答案：x2－1(x≥0)

　　　函数的定义域

►[命题点1]　求给定函数解析式的定义域　

1．函数y＝＋(x－1)0的定义域是　________　.

解析：由得所以－3<x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．

答案：{x|－3<x<2且x≠1}

2．函数y＝的定义域是(　　)

A.　　　　　 B．

C.  D.

解析：A　[由题意，得

则即

∴x∈.]

(1)已知函数的解析式求定义域，构建使解析式有意义的不等式(组)求解．如果所给解析式较复杂，切记不要化简后再求定义域．

(2)所求定义域须用集合或区间表示．

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．

►[命题点2]　求抽象函数的定义域