主题2 第2章 第5节 指数与指数函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数高考核心考点，按指数幂拓展、运算性质、指数函数概念图象性质及应用的逻辑架构梳理知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破运算化简、图象应用等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 讲义采用问题驱动与数形结合策略，如“思考辨析”培养数学思维，“小题查验”结合真题改编强化数学语言应用，典例中通过图象平移分析指数函数图象提升数学眼光。设置分层练习，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

第5节　指数与指数函数 ★[课程标准] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．理解指数函数的概念，会画指数函数的图象． 4．理解指数函数的性质，并能简单应用． 1．指数幂的拓展 (1)正分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n　互素　)，若存在唯一的正数b，使得　bn＝am　，则称b为a的次幂，记作b＝　　，这就是正分数指数幂． 当k为正整数时，分数指数幂满足：　　.有时，也把写成　　的形式． (2)负分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n　互素　)， 2．有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. (1)无理指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的无理数α，规定：a－α＝. (2)指数幂的运算性质 条件 指数幂的运算性质 a＞0，b＞0， α，β为实数 aα·aβ＝　aα＋β　 (aα)β＝　aαβ　 (ab)α＝　aα·bα　 3.指数函数及其性质 (1)概念：形如y＝ax(a>0且a≠1) 的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数值大小比较 函数y＝ax和y＝bx a＞b＞1 0＜a＜b＜1 ①当x＜0时，0＜ax　＜　bx＜　1　 ①当x＜0时，ax＞bx＞　1　 ②当x＝0时，ax＝bx＝　1　 ②当x＝0时，ax＝bx＝　1　 ③当x＞0时，ax＞bx＞　1　 ③当x＞0时，0＜ax＜bx＜　1　 (3)指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 (1)定义域：　R　 (2)值域：　(0，＋∞)　 (3)过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝　1　 (4)当x＜0时，　0＜y＜1　；当x＞0时，　y＞1　 (4)当x＜0时，　y＞1　；当x＞0时，　0＜y＜1　 (5)在R上是　增函数　当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于　正无穷大　； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于　0　 (5)在R上是　减函数　当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于　0　； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于　正无穷大　 对称性 函数y＝ax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于　y轴　对称，且它们在R上单调性　相反　 1．()n＝a(n∈N＋)． 2.＝n为偶数． 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx， (4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)与()n都等于a(n∈N＋)．(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)函数 (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(BSD必修第一册P78例3改编)设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式中不正确的是(　　) A．　　　　 B． C． D． 答案：A 2．(多选)已知指数函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的可能取值为(　　) A.　　　 B．2 C.　　　 D．4 解析：AC　[由指数函数f(x)＝a－x＝x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)， 根据指数函数单调性可知＞1，所以0＜a＜1.] 3．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 解析：C　[由0＜m＜n＜1，∴y＝mx，y＝nx在R上单调递减，所以排除AB选项；令x＝1，m＜n，C项正确．] 4．已知，则a，b，c的大小关系是________． 解析：∵y＝x是减函数， 答案：c<b<a 5．(忽视开偶次方规则致误)计算＋＝　________　. 解析：＋＝1＋＋|1－|＝1＋＋－1＝2. 答案：2 　　　 根式与有理数指数幂的运算(基础点) 1．化简的结果为(　　) A．－　 B．－ C．－　 D．－6ab 解析：C　[原式＝－6ab－1＝－.] 2．化简：________(a＞0)． 答案：a2 3．已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝________. 答案：3 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 　　　　指数函数的图象及应用 [典例]　(1)函数f(x)＝|x＋1|的图象大致为(　　) [解析]　作出函数y＝＝的图象，如图所示， 将y＝的图象向左平移1个单位得到f(x)＝|x＋1|的图象． [答案]　B (2)当x＞2时，函数y＝4ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒在函数y＝3x－4的图象下方，则a的取值范围为____________． [解析]　由题意，得当x＞2时，不等式4ax－1＜3x－4恒成立，即ax－1＜x－1， 令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象， 当a＞1时，如图所示， 由图可知，∀x∈R，ax－1＞x－1恒成立，故不满足题意； 当0＜a＜1时，如图所示， 由图可知，要∀x＞2，ax－1＜x－1恒成立， 需 f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，解得a≤， 故0＜a≤，综上可知，a的取值范围是. [答案]　 (3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________. [解析]　曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示， 由图象可得如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． [答案]　[－1,1] [互动探究] 1．若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是________． 解析：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1) 2．若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是________． 解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 3．若将本例(3)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是　______　. 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的． 当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图①； 当0＜a＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜，如图②. 综上，a的取值范围是. 答案： 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解． 应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出图象的准确性，否则数形结合得到的可能为错误结论． 1．函数f(x)＝|2x－1|－m恰有一个零点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．{0}∪(1，＋∞) C．{0}∪[1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：C　[由题设，y＝|2x－1|与y＝m只有一个交点，又y＝|2x－1|的图象如下： ∴m∈{0}∪[1，＋∞)．] 2．已知函数f(x)＝则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　) A．1对　　 B．2对 C．3对　　 D．4对 解析：C　[作出f(x)的图象，再作出函数y＝x，x≥0，关于原点对称的图象如图所示． 因为函数y＝x，x≥0，关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|，x＜0，图象有三个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有3对．] 　　　　指数函数的性质及应用 ►[命题点1]　比较指数式的大小　 1．下列大小关系不正确的是(　　) A．　 B． C. D．2.51.6＞2－0.2 ►[命题点2]　简单的指数方程或不等式的应用　 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝4x－3×2x＋2a.则关于x的不等式f(x)≤－6的解集为(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[－2,0)∪(0,2) D．[－2,0)∪(2，＋∞) 解析：A　[因函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝4x－3×2x＋2a， 则f(0)＝40－3×20＋2a＝2a－2＝0，解得a＝1，即当x≥0时，f(x)＝4x－3×2x＋2， 当x＜0时，－x＞0，则f(x)＝－f(－x) ＝－(4－x－3×2－x＋2)， 而当x≥0时，f(x)＝2－≥－，则当f(x)≤－6时， 即变形得 解得x≤－2， 所以不等式f(x)≤－6的解集为(－∞，－2]．] ►[命题点3]　探究指数型函数的性质　 3．(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝ 若f (1－a)＝2，则a的值为________． (2)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________． 解析：(1)当a<1时，41－a＝2，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为. (2)若a＜0，则f(a)＜1⇔a－7＜1⇔a＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0； 若a≥0，则f(a)＜1⇔＜1，解得a＜1，故0≤a＜1. 综上可得，－3＜a＜1. 答案：(1)　 (2)(－3,1) 4．已知函数. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 解：(1)当a＝－1时，， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)， 应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0. 　指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 1．已知，c＝2a＋b－1，则(　　) A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c 解析：C　[a6＝3＝，b6＝4＝， 因为0＜＜＜1，故a6＞b6，即a＞b， 故0＜b＜a＜1. 所以c＝2a＋b－1＞20＝1，所以c＞a＞b.] 2．已知f(x)＝的最小值为2，则m的取值范围为________． 解析：当x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”， 当x≤0时，0＜2x≤1,4x－2x＋2＋m＝(2x－2)2＋m－4，当2x＝1，即x＝0时，4x－2x＋2＋m取最小值m－3， 因f(x)＝的最小值为2，于是得m－3≥2，解得m≥5， 所以m的取值范围为[5，＋∞)． 答案：[5，＋∞) 3．求函数y＝2x－8x＋17的单调区间　________________　. 解析：设t＝x>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0,4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．令x≤4，得x≥－2，令x>4，得x<－2.而函数t＝x在R上单调递减，所以函数y＝2x－8·x＋17的增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2)． 答案：增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2) 学科网（北京）股份有限公司 $