主题2 第2章 第5节 指数与指数函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第5节　指数与指数函数

★[课程标准]

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．

3．理解指数函数的概念，会画指数函数的图象．

4．理解指数函数的性质，并能简单应用．

1．指数幂的拓展

(1)正分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n　互素　)，若存在唯一的正数b，使得　bn＝am　，则称b为a的次幂，记作b＝　　，这就是正分数指数幂．

当k为正整数时，分数指数幂满足：　　.有时，也把写成　　的形式．

(2)负分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n　互素　)，

2．有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

(1)无理指数幂

一般地，给定正数a，对于任意的无理数α，规定：a－α＝.

(2)指数幂的运算性质

3.指数函数及其性质

(1)概念：形如y＝ax(a>0且a≠1) 的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

(2)指数函数值大小比较

 

(3)指数函数的图象和性质

 

1．()n＝a(n∈N＋)．

2.＝n为偶数．

3．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，

(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.

规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)与()n都等于a(n∈N＋)．(　　)

(2)2a·2b＝2ab.(　　)

(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)

(4)函数 (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√

◆[小题查验]

1．(BSD必修第一册P78例3改编)设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式中不正确的是(　　)

A．　　　　 B．

C．  D．

答案：A

2．(多选)已知指数函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的可能取值为(　　)

A.　　　 B．2

C.　　　 D．4

解析：AC　[由指数函数f(x)＝a－x＝x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，

根据指数函数单调性可知＞1，所以0＜a＜1.]

3．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)