主题1 第1章 培优拓展2 柯西不等式（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

1．二维形式的柯西不等式

(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．

2．二维形式的柯西不等式的变式

(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．

(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．

(3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．

3．二维形式的柯西不等式的向量形式

|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)．

[典例]　已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值．

[解]　方法一　由柯西不等式得

(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]

＝(3x2＋2y2)≤11.

当且仅当x·＝y·，

即或时等号成立，

于是2x＋y的最大值为，最小值为－.

方法二　由柯西不等式得|2x＋y|≤

＝≤，

当且仅当x·＝y·，

即或时等号成立，

于是2x＋y的最大值为，最小值为－.