主题1 第1章 第3节 第2课时 基本不等式（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第2课时　基本不等式

★[课程标准]

1．掌握基本不等式≤(a，b≥0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．

1．基本不等式：≤.

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时取等号．

2．算术平均数与几何平均数

设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个非负实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当　x＝y　时，x＋y有最小值是　2　(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当　x＝y　时，xy有最大值是　　(简记：和定积最大)．

几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)ab≤2成立的条件是ab＞0.(　　)

(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)

(4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　)

(5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

◆[小题查验]

1．(多选)下列不等式的证明过程正确的是(　　)

A．若a＜0，b＜0，则＋≥2＝2

B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2

C．若x为负实数，则x＋≥－2＝－4

D．若x为负实数，则2x＋2－x≥2＝2

解析：AD　[由a＜0，b＜0，可得>0，>0，则由基本不等式可得，＋≥2＝2，故A正确；x，y∈R时，lg x，lg y有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4，C错误；x＜0时，2x＞0，由基本不等式可得，2x＋2－x≥2，故D正确．]

2．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　)

A．a2＋b2>2ab　　　　 B．＋≥

C．a＋b>  D.＋≤

解析：C　[对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B、D错

误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确．]

3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)

A．1＋　　　　　　 B．1＋

C．3  D．4

解析：C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取最小值时，即a＝3.]

4．(BSD必修第一册P29例5(1)改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．

解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号，故矩形场地的最大面积为5 m×5 m＝25 m2.

答案：25 m2

5．(忽视等号是否成立)函数y＝的最小值为________．

解析：y＝＝＝＋，

令t＝≥2，y＝t＋在t≥2时是单调递增的，∴y＝t＋≥2＋＝.故函数的最小值是.

答案：

　　　　利用基本不等式求最值

►[命题点1]　通过配凑法利用基本不等式　

[典例1]　(1)函数y＝log2x＋在区间上的最小值为________．

[解析]　y＝log2x＋＝log2x＋，因为x∈，所以log2x∈(－1，＋∞)，