主题1 第1章 第3节 第1课时 不等式的性质（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第3节　不等式

第1课时　不等式的性质

★[课程标准]

1．了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.3.掌握不等式的性质及应用．

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2．不等式的性质

　　

不等式的一些常用性质

1．倒数性质的几个必备结论

(1)a＞b，ab＞0⇒＜；(2)a＜0＜b⇒＜.

2．两个重要不等式

若a＞b＞0，m＞0，则

(1)＜；＞(b－m＞0)；

(2)＞；＜(b－m＞0)．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)

(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)

(3)同向不等式具有可加和可乘性．(　　)

(4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞.(　　)

(5)若ab＞0，则a＞b⇔＜.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√

◆[小题查验]

1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)

A．M >N　　　　　　　 B．M＝N

C．M<N  D．与x有关

解析：A　[M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.]

2．若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[－＞0⇒a＞b≥0⇒a2＞b2⇒a2－b2＞0，反之不成立，∴“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件．]

3．(多选)对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为(　　)

A．若a＞b，则＜

B．若a＞b，则ac2≥bc2

C．若a＞0＞b，则a2＜－ab

D．若c＞a＞b＞0，则>

解析：BD　[根据a＞b，取a＝1，b＝－1，则＜不成立，故A错误；∵a＞b，∴由不等式的基本性质知 ac2≥bc2成立，故B正确；由a＞0＞b，取a＝1，b＝－1，则a2＜－ab不成立，故C错误；∵c＞a＞b＞0，∴(a－b)c＞0，∴ac－ab＞bc－ab，即a(c－b)＞b(c－a)，∵c－a＞0，c－b＞0，∴>，故D正确．]

4．(BSD必修第一册P26练习T5改编)已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中成立的是(　　)

A．ac＞bc  B．＜

C．a2＞b2  D．a＋c＞b＋c

解析：D　[当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确；当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确；当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确；由不等式的性质知，选项D正确．]

5．(忽视不等式的性质致误)若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是________．

解析：∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2，

∴－1<a－b<2.

答案：(－1,2)

　　　比较两个数(式)的大小

[典例]　 (1)若0＜b＜a＜，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(　　)

A．x＜z＜y　　　　　 B．z＜x＜y

C．z＜y＜x  D．y＜z＜x

[解析]　∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，

∴y－z＝a(ea－eb)，

又a＞b＞0，e＞1，∴ea＞eb，∴y＞z，

z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，又a＞b＞0，eb＞1∴z＞x，

综上，x＜z＜y.