主题1 第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次函数与不等式核心考点，依概念-解法-应用逻辑梳理知识，构建“三个二次”（函数、方程、不等式）内在联系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，助力学生突破含参不等式、恒成立问题等难点，体现系统复习路径。 讲义突出“数学思维”培养，如含参不等式分类讨论用“首项系数定正负，判别式定根况”口诀指导推理，恒成立问题通过主元变换转化，结合实际应用建模（如利润问题），培养学生问题转化与模型建构能力，分层练习设计保障复习效率，为教师把控节奏提供实用参考。

第4节　一元二次函数与一元二次不等式 ★[课程标准] 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．一元二次不等式的概念 (1)一般地，只含有　一个　未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式叫作一元二次不等式． (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的　值　组成的　集合　叫作这个一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 　{x|x＜x1，或x＞x2}　 　　 　R　 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 　{x|x1＜x＜x2}　 　∅　 　∅　 1．简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 (1)＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. (2)＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. (3)≥0等价于 (4)≤0等价于 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定 (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 3．关注点 (1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． (2)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．不等式－x2－2x＋3＜0的解集为(　　) A．{x|－3＜x＜1}　　 B．{x|－1＜x＜3} C．{x|x＜－3或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞3} 解析：C　[不等式变形为x2＋2x－3>0，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3>0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，即不等式－x2－2x＋3＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}．] 2．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝(　　) A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．5 解析：A　[根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.] 3．(忽视不等式性质致误)不等式≤2的解集是(　　) A．(－∞，－5)∪(－2，＋∞) B．(－∞，－5]∪(－2，＋∞) C．(－∞，－5)∪[－2，＋∞) D．(－∞，－5]∪[－2，＋∞) 解析：B　[原不等式可化为：－2≤0⇒≥0，解得x≤－5或x＞－2， 所以原不等式的解集为(－∞，－5]∪(－2，＋∞)．] 4．(BSD必修第一册P39习题1－4A组T2(4)改编)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　) A．－10 B．－14 C．10 D．14 解析：A　[因为x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以解得 所以a－b＝－10.] 5．(忽视m为零的讨论)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是　______　. 解析：当m＝0时，1>0，不等式恒成立，当m≠0时，得0<m<4.综上，0≤m<4. 答案：[0,4) 　　　一元二次不等式的解法 ►[命题点1]　不含参数的一元二次不等式的解法　 [典例1]　(1)已知集合A＝{x|x2－2x＋3≥0}，B＝，则A∩B＝(　　) A．{x|－2＜x≤3}　　　 B．{－1,0,1,2,3} C．{－2，－1,1,2,3} D．R [解析]　解不等式x2－2x＋3≥0，x2－2x＋3 ＝(x－1)2＋2＞0，x∈R，解不等式≤0，得－2＜x≤3，B＝{－1,0,1,2,3}，∴A∩B＝{－1,0,1,2,3}． [答案]　B (2)不等式≥2的解集是(　　) A.　　　　　　 B． C.∪(1,3] D.∪(1,3] [解析]　不等式可化为≤0， 即≤0， 解得－≤x<1或1<x≤3. [答案]　D (3)不等式|x＋|＜x(x＋2)的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2－)∪(2－，＋∞) C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞) D．(－∞，－2＋)∪(2＋，＋∞) [解析]　当x≥－时，x＋＜x(x＋2)，可得x2＋(2－1)x－＞0， 所以x＞2－或x＜－1－， 又x≥－，所以x＞2－； 当x＜－时，－x－＜x(x＋2)，可得x2＋(2＋1)x＋＞0，解得x＜－－2或x＞1－， 又x＜－，所以x＜－－2；综上，不等式|x＋|＜x(x＋2)的解集为(－∞，－2－)∪(2－，＋∞)． [答案]　B 解一元二次不等式的4个步骤 [口诀助解] 求解不含参数的一元二次不等式口诀 函数方程不等式，图象交点是标志； 首项系数先化正，判别式，符号定； 若为正，记口诀，小于中间大于侧； 或为负，或为零，配方观察解自明． ►[命题点2]　含参数的一元二次不等式　 [典例2]　设函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2(a∈R)． (1)若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)＜a－1. [解]　(1)f(x)≥－2对一切实数x恒成立，等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0恒成立． 当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意． 当a≠0，有即 解得a≥，所以a的取值范围是. (2)依题意，f(x)＜a－1等价于ax2＋(1－a)x－1＜0， 当a＝0时，不等式可化为x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}． 当a＞0时，不等式化为(ax＋1)(x－1)＜0，此时 －＜1，所以不等式的解集为. 当a＜0时，不等式化为(ax＋1)(x－1)＜0， ①当a＝－1时，－＝1，不等式的解集为{x|x≠1}； ②当－1＜a＜0时，－＞1，不等式的解集为； ③当a＜－1时，－＜1，不等式的解集为； 综上，当a＜－1时，原不等式的解集为； 当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当－1＜a＜0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜1}； 当a＞0时，原不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． [口诀助读] 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 含参二次不等式，有无实根判别式； 或为负，或为零，配方法，解自明； 若为正，求两根，两种题型要区分； 首项系数无参数，根的大小定胜负； 首项系数含参数，先论系数零正负； 系数化一是旨要，负数变换不等号． ►[命题点3]　三个二次之间的关系　 [典例3]　(1)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集是(　　) A．{x|0＜x＜3}　　　　 B．{x|x＜0或x＞3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－1＜x＜3} [解析]　由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax， 整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0，① 又不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}， 所以a＜0，且即② 将①两边同除以a得：x2＋x＋＜0，③ 将②代入③得：x2－3x＜0，解得0＜x＜3. [答案]　A (2)(多选)不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，且|x1|＋|x2|≤2.以下结论错误的是(　　) A．|a＋2b|≥2 B．|a＋2b|≤2 C．|a|≥1 D．b≤1 [解析]　因为不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}， 则x1，x2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，x1x2＝b，又因为|x1|＋|x2|≤2， 不妨令a＝－1，b＝0，则x1＝0，x2＝1，但|a＋2b|＝1，故A不成立，符合题意；令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝－1，但|a＋2b|＝4，故B不成立，符合题意；令a＝0，b＝－1，则x1＝－1，x2＝1，但|a|＝0，故C不成立，符合题意；b＝x1x2≤2≤2≤1，故D成立，不符合题意． [答案]　ABC 一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路 (1)牢记二次函数的基本性质． (2)含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 1．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则(　　) A．a＜0 B．a＋b＋c＝0 C．4a＋2b＋c＜0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集是 解析：ABD　[由题意可知，1,3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，⇒ 由以上可知a＜0，故A正确；当x＝1时，代入方程可得a＋b＋c＝0，故B正确；因为1＜2＜3，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，故将x＝2代入不等式左边为4a＋2b＋c＞0，故C错误；原不等式可变为3ax2＋4ax＋a＜0，且a＜0，约分可得3x2＋4x＋1＞0，解集为，故D正确．] 2．已知关于x的不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0. (1)当a＝－2时，解此不等式； (2)当a＞0时，解此不等式． 解：(1)当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0， 整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3， 当a＝－2时，原不等式解集为. (2)当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0， 整理得(x－3)＜0， 当a＝时，＝3，此时不等式无解； 当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜； 当a＞时，＜3，解得＜x＜3； 综上，当a＝时，解集为∅； 当0＜a＜时，解集为； 当a＞时，解集为. 　　 　与一元二次不等式有关的恒成立问题 ►[命题点1]　在实数R上的恒成立　 [典例1]　若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3,0]　　　　　　　　 B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0) [解析]　2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立， 因为2kx2＋kx－＜0是一元二次不等式，所以k≠0. 则必有 解得－3＜k＜0. [答案]　D ►[命题点2]　在给定区间上的恒成立问题　 [典例2]　若关于x的不等式＞1对任意的x∈(0,2)恒成立，则实数k的取值范围为________． [解析]　由题意知：kx＋2x2－x3＞0， 即k＞x2－2x对任意的x∈(0,2)恒成立， ∴k≥0， 当x∈(0,2)，＞1， 得kx＋2x2－x3＜10－x3 ， 即2x2＋kx－10＜0对任意的x∈(0,2)恒成立，即k＜＝－2x对任意的x∈(0,2)恒成立， 令f(x)＝－2x，f(x)在(0,2)上单调递减，所以f(x)＞f(2)＝1，所以k≤1， ∴0≤k≤1. [答案]　[0,1] ►[命题点3]　给定参数范围的恒成立问题　 [典例3]　已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) [解析]　把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立， 所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组得x＜1或x＞3. [答案]　C 恒成立问题求解思路 (1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解． (2)一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围． (3)一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 1．(多选)若不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a可能是(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 解析：ABC　[设t＝sin x，∵x∈，∴t∈(0,1]， 则不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意x∈恒成立， 即转化为不等式t2－at＋2≥0在t∈(0,1]上恒成立， 即转化为a≤＝t＋在t∈(0,1]上恒成立， 由对勾函数知y＝t＋在(0,1]上单调递减，ymin＝1＋＝3，∴a≤3.] 2．若命题“∃a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A．[－1,4] B. C．[－1,0]∪ D．[－1,0)∪ 解析：C　[命题“∃a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，其否定为真命题， 即“∀a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a ＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0， 则即 解得所以实数x的取值范围为[－1,0]∪.] 　　　一元二次不等式的实际应用 [典例]　某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [解]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x) (0<x<1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0<x<1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 即解得0<x<， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 求解不等式应用题的四个步骤 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． 解：(1)由题意，得 y＝100·100. 因为售价不能低于成本价， 所以100－80≥0. 所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0, 2]． (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤， 所以x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $