主题1 第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第4节　一元二次函数与一元二次不等式

★[课程标准]

1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．

2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．

3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．

1．一元二次不等式的概念

(1)一般地，只含有　一个　未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式叫作一元二次不等式．

(2)使一元二次不等式成立的所有未知数的　值　组成的　集合　叫作这个一元二次不等式的解集．

2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

1．简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系

(1)＞0等价于(x－a)(x－b)＞0.

(2)＜0等价于(x－a)(x－b)＜0.

(3)≥0等价于

(4)≤0等价于

2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定

(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或

(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或

3．关注点

(1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．

(2)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√

◆[小题查验]

1．不等式－x2－2x＋3＜0的解集为(　　)

A．{x|－3＜x＜1}　　 B．{x|－1＜x＜3}

C．{x|x＜－3或x＞1}  D．{x|x＜－1或x＞3}

解析：C　[不等式变形为x2＋2x－3>0，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3>0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，即不等式－x2－2x＋3＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}．]

2．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝(　　)

A．2　　　 B．3

C．4　　　 D．5

解析：A　[根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋

a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.]

3．(忽视不等式性质致误)不等式≤2的解集是(　　)

A．(－∞，－5)∪(－2，＋∞)

B．(－∞，－5]∪(－2，＋∞)

C．(－∞，－5)∪[－2，＋∞)

D．(－∞，－5]∪[－2，＋∞)

解析：B　[原不等式可化为：－2≤0⇒≥0，解得x≤－5或x＞－2，

所以原不等式的解集为(－∞，－5]∪(－2，＋∞)．]

4．(BSD必修第一册P39习题1－4A组T2(4)改编)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　)

A．－10  B．－14

C．10  D．14

解析：A　[因为x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以解得

所以a－b＝－10.]

5．(忽视m为零的讨论)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是　______　.

解析：当m＝0时，1>0，不等式恒成立，当m≠0时，得0<m<4.综上，0≤m<4.

答案：[0,4)

　　　一元二次不等式的解法

►[命题点1]　不含参数的一元二次不等式的解法