主题1 第1章 培优拓展1 基本不等式的拓展（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

1．三个正数的算术一几何平均不等式

如果a，b，c∈R＋，那么≥　　，当且仅当　a＝b＝c　时，等号成立．

 

2．n个正数a1，a2，…，an的算术一几何平均不等式

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数　不小于　它们的几何平均数，即≥　　

当且仅当　a1＝a2＝…＝an　时，等号成立．

[典例]　(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的是(　　)

A．若x>0，则x2＋≥3

B．若0<x<1，则x2(1－x)≤

C．若x>0，则2x＋≥3

D．若0<x<1，则x(1－x)2≤

[解析]　对于A，x>0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，故A正确；对于B，∵0<x<1，∴1－x>0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤3＝，故B错误；对于C，x>0,2x＋＝x＋x＋≥3＝3，故C正确；对于D，∵0<x<1，∴1－x>0，x(1－x)2＝×2x(1－x)(1－x)≤3＝，故D错误．

[答案]　AC

(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．