主题1 第1章 培优拓展1 基本不等式的拓展（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦高考算术-几何平均不等式核心考点，从三元均值不等式到n元推广构建知识体系，通过定理梳理、方法提炼（如“一正二定三相等”）、典例精讲（多选及解答题）等环节，帮助学生系统掌握不等式求最值的解题策略。 资料以数学思维培养为核心，创新采用拆项配凑法（如将x²+1/x拆分为x²+1/(2x)+1/(2x)用三元不等式），结合分层练习（基础判断与综合应用），强化学生推理能力与抽象能力，助力高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

1．三个正数的算术一几何平均不等式 如果a，b，c∈R＋，那么≥　　，当且仅当　a＝b＝c　时，等号成立． 2．n个正数a1，a2，…，an的算术一几何平均不等式 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数　不小于　它们的几何平均数，即≥　　 当且仅当　a1＝a2＝…＝an　时，等号成立． [典例]　(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的是(　　) A．若x>0，则x2＋≥3 B．若0<x<1，则x2(1－x)≤ C．若x>0，则2x＋≥3 D．若0<x<1，则x(1－x)2≤ [解析]　对于A，x>0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，故A正确；对于B，∵0<x<1，∴1－x>0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤3＝，故B错误；对于C，x>0,2x＋＝x＋x＋≥3＝3，故C正确；对于D，∵0<x<1，∴1－x>0，x(1－x)2＝×2x(1－x)(1－x)≤3＝，故D错误． [答案]　AC (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”． (2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等． (3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性． 若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 解析：C　[xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3＝3＝3.] 学科网（北京）股份有限公司 $