主题1 第1章 第1节 集合（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素性质、集合关系、交并补运算等课标要求，按“概念-关系-运算”逻辑层次梳理知识，通过考点清单（如元素互异性、子集个数公式）、方法指导（空集讨论策略）、2024-2025年真题演练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破易错点。 讲义特色在于融合数学思维与数学语言培养，如设计“鲸吞”“蚕食”新定义问题，引导学生用集合语言描述关系，通过分类讨论（如含参集合关系中对空集的考虑）发展逻辑推理能力。设置基础辨析、真题应用、创新拓展分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升应考能力。

第1节　集　合 ★[课程标准] 1．了解集合的含义，了解全集与空集的含义，体会元素与集合的属于关系． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定子集的补集． 4．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算． 1．集合的基本概念 (1)集合元素的性质：　确定性　、　无序性　、　互异性　. (2)元素与集合的关系 ①属于，记为　∈　；②不属于，记为　∉　. (3)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R (4)集合的表示方法：①　列举法　；②　描述法　；③　图示法　. 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子 集 如果集合A的　每个元素　都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，若　A包含于B　，则称A是B的一个子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集 AB(或BA) 集合 相等 如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合　相等　 　A＝B　 3.集合的基本运算 　　表示 运算 　 文字语言 集合语言 图形语言 记法 并 集 把所有集合A、B中的元素放在一起组成的集合，叫做A和B的并集，简称为并 {x|x∈A， 或x∈B} 　A∪B　 交 集 把所有　既属于A又属于B　的元素组成的集合，称为A，B的交集 {x|x∈A， 且x∈B} 　A∩B　 补 集 若A是全集U的子集，U中　不属于A　的元素组成的子集叫作A的补集 {x|x∈U， 且x∉A} 　∁UA　 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UB⊆∁UA. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)∅＝{0}．(　　) (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．(　　) (3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.(　　) (4)N⊆N＋⊆Z.(　　) (5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝4，则下面结论中正确的是(　　) A．{a}⊆A　　　　　　　 B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 答案：D 2．(2025·全国一卷)已知全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0　　　 B．3 C．5　　　 D．8 解析：C　[由题可知，全集U中有8个元素，集合A中有3个元素，所以∁UA中元素的个数为8－3＝5，选C.] 3．(2024·全国甲卷)集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} 解析：D　[因为A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1,4,9,16,25,81}，则A∩B＝{1,4,9}，∁A(A∩B)＝{2,3,5}．] 4．(BSD必修第一册P9例6改编)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________________. 解析：因为A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1或4≤x＜5}． 答案：R　{x|－1＜x≤1或4≤x＜5} 5．(忽视空集讨论)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是　________. 解析：由题易得M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N⊆M， ∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1. 答案：0或1或－1 　　　集合的基本概念 1．已知集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．6　　　 B．7 C．8　 　 D．9 解析：C　[因为集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}， 所以A＝{0,1,2}，因为B＝{C|C⊆A}， 所以B中的元素为A的子集，即B有23＝8个．] 2．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　) A．0 B． C．1 D．2 解析：BD　[因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}， 所以或 解得或 所以m＋n＝或m＋n＝2.] 3．设A＝，B＝{|a－2|, 3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________． 解析：因为4∈A，即4∈， 所以a2－3a＝4或a＋＋7＝4. 若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4； 若a＋＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2. 由a2－3a与a＋＋7互异，得a≠－1. 故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}， 所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6. 综上所述，a的取值集合为{4}． 答案：{4} 4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1，m，n}，若3－m∈A，n＋1∈A，则非零实数m＋n的可能取值集合是　________. 解析：因为3－m∈A，所以3－m＝1或3－m＝2或3－m＝3， 解得m＝2或m＝1或m＝0，因为n＋1∈A，所以n＋1＝1或n＋1＝2或n＋1＝3， 解得n＝0或n＝1或n＝2， 又因为B＝{1，m，n}，所以或 即m＋n＝2. 答案：{2} 　　 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． (3)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性． 　　　集合间的基本关系 [典例]　(1)若集合A＝{x∈N|x≤}，实数a满足，则下列结论正确的是(　　) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A [解析]　因为，所以a2－4a＋12＝0，解得a＝2， 因为A＝{x∈N|x≤}，所以a∉A. 所以{a}⊆A，a⊆A，{a}∈A均为错误表述． [答案]　D (2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使B⊆A成立的实数m的取值范围是________． [解析]　①当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2， 此时B⊆A成立，符合题意． ②当B≠∅时， 解得2≤m≤4. 综上，实数m的取值范围是(－∞，4]． [答案]　(－∞，4] [互动探究] 在本例(2)中，若把“B⊆A”改为“A⊆∁UB”，则实数m的取值范围是________． 解析：①当B≠∅时，则m＋1≤2m－1，即m≥2， 因为集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 则∁UB＝{x|x＜m＋1或x＞2m－1}， 又A⊆∁UB，则m＋1＞7或2m－1＜－2， 解得m＞6或m＜－，又m≥2，所以m＞6； ②当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2， 此时∁UB＝R，符合题意． 综上所述，实数m的取值范围为m＞6或m＜2. 答案：(－∞，2)∪(6，＋∞) 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍． 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． 1．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为　________. 解析：当a＝0时，B＝∅，此时满足B⊆A， 当a＞0时，B＝，此时A，B集合只能是“蚕食”关系， 所以当A，B集合有公共元素－＝－1时， 解得a＝2， 当A，B集合有公共元素＝2时，解得a＝， 故a的取值集合为. 答案： 2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2. ②若1∈B，则12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0， 解得m＝－，此时B＝，不符合题意． 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2) 　　　集合的基本运算 ►[命题点1]　求交集、并集　 1．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2} B．{1,2,8} C．{2,8} D．{0,1} 解析：D　[x3＝x, 即x3－x＝0，所以x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝0，－1或1，即B＝{0,1，－1}，所以A∩B＝{0,1}．] 2．(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝(　　) A．{1, 2,3} B．{2,3} C．{3} D．∅ 解析：D　[因为M＝{x|2x－1＞5}＝{x|x＞3}，所以M∩N＝∅.] ►[命题点2]　集合的交、并、补的综合运算　 1．(2025·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1,2,3,4} B．{2,3,4} C．{2,4} D．{4} 解析：D　[A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，A∪B＝{1,2,3,5} ∴∁U(A∪B)＝{4}．] 2．(2025·上海卷)已知全集U＝{x|2≤x≤5，x∈R}，集合A＝{x|2≤x<4，x∈R}，则＝______. 解析：∵U＝{x|2≤x≤5}，A＝{x|2≤x＜4}， ∴＝{x|4≤x≤5}． 答案：{x|4≤x≤5} ►[命题点3]　利用集合的基本运算求参数的取值(范围)　 [典例]　(1)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，A∪B＝A，则实数a的值构成的集合为(　　) A．{2}　　　　　　　 B．{－1,2} C．{1,2} D．{0,2} [解析]　由A∪B＝A知：B⊆A，当a＋2＝3，即a＝1，则a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，不符合；当a＋2＝a2，即a＝－1或a＝2.若a＝－1，则a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，不符合；若a＝2，则A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，满足要求．综上，a＝2. [答案]　A (2)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　) A. B． C. D．(1，＋∞) [解析]　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即所以即≤a<. [答案]　B 解集合运算问题应注意以下三点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图． 　提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 1．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a的取值集合为(　　) A．{1} B．{－1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 解析：D　[由A∩B＝B，知B⊆A，因为A＝{－1,1}，B＝{x|ax＝1}，若B＝∅，则方程ax＝1无解，所以a＝0满足题意；若B≠∅，则B＝{x|ax＝1}＝，因为B⊆A，所以＝±1，则a＝±1满足题意，故实数a取值的集合为{－1,0,1}．] 2．设集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：A　[因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．] 　　　集合的新定义问题 [典例]　对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)如果去掉其中任意一个元素ai(i＝1,2，…，n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”． (1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数； (3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值． [解]　(1)当集合{1,2,3,4,5}去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：{1,3}，{4,5}；{1,4}，{3,5}；{1,5}，{3,4}；{1}，{3,4,5}；{3}，{1,4,5}；{4}，{1,3,5}；{5}，{1,3,4}，经过计算可以发现每两个集合的所有元素之和不相等，故集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”． (2)设正整数集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)所有元素之和为M，由题意可知M－ai(i＝1,2，…，n)均为偶数，因此任意一个元素ai(i＝1,2，…，n)的奇偶性相同． 若M是奇数，所以ai(i＝1,2，…，n)也都是奇数，由于M＝a1＋a2＋…＋an，显然n为奇数； 若M是偶数，所以ai(i＝1,2，…，n)也都是偶数．此时设ai＝2bi(i＝1,2，…，n)，显然{b1，b2，…，bn}也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”，此时各项的和也是奇数，集合A中元素的个数也是奇数，综上所述：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数． (3)由(2)知集合A中元素个数为奇数，显然n＝3时，集合不是“和谐集”；当n＝5时，不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若A为“和谐集”，去掉a1后，得a2＋a5＝a3＋a4，去掉a2后，得a1＋a5＝a3＋a4，两式矛盾，故n＝5时，集合不是“和谐集”；当n＝7时，设A＝{1,3,5,7,9,11,13}，去掉1后，3＋5＋7＋9＝11＋13，去掉3后，1＋9＋13＝5＋7＋11，去掉5后，9＋13＝1＋3＋7＋11，去掉7后，1＋9＋11＝3＋5＋13，去掉9后，1＋3＋5＋11＝7＋13，去掉11后，3＋7＋9＝1＋5＋13，去掉13后，1＋3＋5＋9＝7＋11，故A＝{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 集合新定义问题的方法和技巧 (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题． 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B. 设集合A＝{－5，－3，－1,1,3,5}，B＝{b1，b2，…，bn}(n∈N*，n≤6)且B⊆A.设有序四元数集合P＝{X|X＝(x1，x2，x3，x4)，xi∈A且i＝1,2,3,4}，Q＝{Y|Y＝(y1，y2，y3，y4)}．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为Y＝f(X)，按映射f，若xi∈B(i＝1,2,3,4)，则yi＝xi＋1；若xi∉B(i＝1,2,3,4)，则yi＝xi.记SB(Y)＝yi. (1)若B＝{－5,1}，X＝(1，－3，－3,5)，写出Y，并求SB(Y)； (2)若B＝{b1，b2，b3}，X＝(1，－3，－3,5)，求所有SB(Y)的总和； (3)对于给定的X＝(x1，x2，x3，x4)，记xi＝m， 求所有SB(Y)的总和(用含m的式子表示)． 解：(1)由题意知，Y＝f(X)＝f((1，－3，－3,5)) ＝(1＋1，－3，－3,5)＝(2，－3，－3,5)， 所以SB(Y)＝2－3－3＋5＝1. (2)对1，－3,5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为C＝10，此时在映射f下，y1＝1＋1＝2； 不含1的B的个数为C＝10，此时在映射f下，y1＝1； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为C＝10，此时在映射f下，y4＝5＋1＝6； 不含5的B的个数为C＝10，此时在映射f下，y4＝5； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含－3的B的个数为C＝10，此时在映射f下，y2＝－3＋1＝－2，y3＝－3＋1＝－2； 不含－3的B的个数为C＝10，此时在映射f下，y2＝－3，y3＝－3； 所以所有y中－2的总个数和－3的总个数均为20. 综上，所有SB(Y)的总和为10×(1＋2＋5＋6)＋20×(－2－3)＝140－100＝40. (3)对于给定的X＝(x1，x2，x3，x4)，考虑x1在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有x1的子集B共25个，所以在映射f下，x1变为y1＝x1＋1； 不含x1的子集B共25－1个，在映射f下，x1变为y1＝x1； 所以在映射f下得到的所有y1的和为25(x1＋1)＋(25－1)x1＝63x1＋32. 同理，在映射f下得到的所有yi(i＝2,3,4)的和 25(xi＋1)＋(25－1)xi＝63xi＋32. 所以所有SB(Y)的总和为63(x1＋x2＋x3＋x4)＋32×4＝63m＋128. 学科网（北京）股份有限公司 $