第一章 第3节 第1课时 不等式的性质-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

方法指导 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， 可根据命题的含义，利用函数值域（或最值） 解决。 (跟踪训练 1.已知命题“Hx∈[1,4]，ex- 2 一m≥0”为真命 题，则实数m的取值范围为 ( 第3节 第1课时 ★[课程标准] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不 复盘>必备知识 必备知识掌握 1.两个实数比较大小的方法 a-b>0a b, (1)作差法{a一b=0台→a=b, (a-b<0台ab. >1=a b b(a∈R,b>0), (2)作商法2=1=a=(a∈R,b>0), a<1→a b(a∈R,b>0). 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 性质1如果a>b且b>c,那么a>c → 性质2如果a>b,那么a十c>b十c 台 如果a>b,c>0那么ac>bc; c的 性质3 如果a>b,c<0那么ac<bc 符号 性质4如果a>b,c>d,那么a十c>b+d → 性质5 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd 如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd 性质6 当a>b>0时，a>5(n∈a,b同 N+,n≥2) 为正数 …重要结论 不等式的一些常用性质 1.倒数性质的几个必备结论 (1)a>b,ab>0→1<1： (2)a<0<b1<1 2.两个重要不等式 若a>b>0,m>0,则 、bb十m,b>b-m(b-m>0): (1) aa十m'aa-m (2)>a十m:2<a-m(b-m>0). 66+m'b b-m 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 A.(-∞，e-2] B. -，e- 11 C.[e-2,+o∞) 2.若Vx∈[-5，]tanx≥m”是真命题，则实 数m的最大值为 C温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关2 不等式 不等式的性质 等式（组）的实际背景.3.掌握不等式的性质及应用. 打通教材强基固本 自主诊断查验 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“/”，错误的打“×” (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个 数，不等号方向不变 ( ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( (3)同向不等式具有可加和可乘性. ( ) (4)a>b>0,c>d>0→g>b」 ) d c (5)若ab>0,则a>b=1<1」 ) a b ◆[小题查验] 1.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关 系是 () A.M>N B.M-N C.M<N D.与x有关 2.若a,b都是实数，则“√a-√b>0”是“a2-b>0”的 ( A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为 () A若a>6则上<分 B.若a>b,则ac2≥bc2 C.若a>0>b,则a2<-ab D.若c>a>b>0,则a>b c-a c-b 4.(BSD必修第一册P26练习T5改编)已知a,b, c∈R,且a>b,则下列不等式中成立的是() A.ac>bc C.a2>62 D.a+c>b+c 5.(忽视不等式的性质致误)若实数a,b满足0< a<2,0<b<1,则a一b的取值范围是 高考总复习 数学(BS) 跃升>关键能力 题型1 比较两个数（式）的大小 [典例] (1)若0<b<a<1 ,x=a+beb,y=b+ aea,之=b十aeb,则 ( A.x<之<y B.<<y C.<y< D.y<< (2)已知M 2W-ea+ e2023+1 e2025+1 则M,N的 大小关系为 方法指导 比较两个数大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、 得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差 的正负，常采用配方、因式分解、分子（分母）有 理化等变形方法. (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要 特别注意当商与1的大小确定后必须对商式 分子分母的正负做出判断，这是用作商法比 较大小时最容易漏掉的关键步骤， (3)特值验证法：对于一些小题目，有的给出取值 范围，可采用特值验证法比较大小. (4)构造函数法：若几个量形式相同，可构造函 数，使得几个量可能视为该函数的出数值，则 只需判断函数的单调性即可比较大小. 跟踪训练 L.希罗平均数(Heronianmean)是两个非负实数的 一种平均，若a,b是两个非负实数，则它们的希 罗平均数H=a+a6+b.记A=ab,G=ab. 3 则A,G,H从小到大的关系为 .(用 “≤”连接) 2者a=g262,比较a与6的大小 题型突破素养提升 题型2 不等式的性质 1.已知x,y是正实数，则下列式子中能使x>y恒 成立的是 A.x+2>3+ C.x- >y- D.x- 1 y y 2.已知a,b,c∈R,则下列命题为假命题的是 A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b>0,则a0.4>b0.4 C.若a>b,则 2 D.若a>6>0,c>0,则>+c a+c 3.(多选)已知a,b,c均为非零实数，且a>b>c,则 下列不等式中，一定成立的是 ) A.ac>bc B.ac2>bc2 C.(a-b)c<(a-c)9 D.In ab<o a-c 题后反思 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判 断或反例说明.常用的推理判断需要利用不 等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把 要判断的命题和不等式性质联系起来考虑， 找到与命题相近的性质，并应用性质判断命 题真假，当然判断的同时还要用到其他知识， 比如对数函数，指数函数的性质等 题型3 不等式性质的综合应用 [典例](1)记max{x1,x2,x3}表示x1,2,x3这 3个数中最大的数.已知a,b,c都是正实数，M= max{a,2+2,},则M的最小值为( ) ’ac’b了 A.√3 B.√2 C.33 D.3√2 (2)已知f)=ax+名若-3≤f1)≤0,3≤ f(2)≤6，求f(3)的取值范围. 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 O[互动探究] !跟踪训练 若将本例(2)中条件改为设a>0,b>0,a≤2b≤ 1.（多选)已知实数x,y满足一3<x十2y<2, 的取值花個为 2a+b,则，2ab 一1<2x-y<4,则 ( ) A.x的取值范围为（一1,2） 方法指导 B.y的取值范围为（一2,1） 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范 C.x十y的取值范围为（一3,3） D.x一y的取值范围为（一1,3） 围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式 2.设实数a,b,c满足a2十b2≤c≤1，则a十b十c的 的性质；二是在多次运用不等式的性质时有 最小值为 ( 可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是 B C. D.-1 先建立所求范围的整体与已知范围的整体的 2 等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运 @温馨提 算求解范围 学习至此，请完成配套训练 课时冲关3 第2课时 基本不等式 ★[课程标准] 1,掌握基本不等式<“十a,b≥0).2，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题， 2 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 (2)ab≤ 成立的条件是ab>0. ( 1基本不等式v<中 (3).x>0且y>0是工+y≥2的充要条件.( ) (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号 ) 2.算术平均数与几何平均数 (④)若a>0,则公+是的最小值是2瓜。( 设a≥0，b≥0，则a,b的算术平均数为a十b,几何 (5)(a+b)2≥4ab(a,b∈R) 2 ◆[小题查验] 平均数为√ab,基本不等式可叙述为：两个非负实 1.（多选)下列不等式的证明过程正确的是() 数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. 3.利用基本不等式求最值 A若a<060.则2+号≥22·号=2 a 已知x≥0，y≥0，则 B.若x,y∈(0，+∞)，则1gx+lgy≥ (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 时， x十y有最小值是（简记：积定和最小）. 2√1 g xlg y (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当 时， xy有最大值是 (简记：和定积最大). C若x为负实数，则叶-2，-4 …重要结论 D.若x为负实数，则2x+2x≥2√2r·2x=2 几个重要的不等式 2.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 ( (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取 等号 A.a2+62>2ab a (2)ab≤ 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 C.a+b>√ab 等号」 D+品 (3)+2 a+b (a,b∈R),当且仅当a=b时取 2 2 3若函数f(x)=x+,己2x>2)在x=a处取最 等号 小值，则a= ( ) (4)+只≥2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号。 A.1+√2 B.1+√5 C.3 D.4 b 4.（BSD必修第一册P29例5(1)改编)若把总长为 自主诊断查验 20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的 ◆[思考辨析] 最大面积是 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 5.(忽视等号是否成立)函数y=+5的最小值 里打“√”，错误的打“X”. √x2+4 1)函数)=x+子的最小值是2. 为 9命题点2 1.B[命题是全称命题，因为命题p: 因为品数1n在[吾受]上 Hx≥0，e≥1或sinx<1,所以7p: 为增函数，所以函数y=tanr在 ]x≥0，ex1且sinx≥1.] 2,C[因为存在量词命题的否定是全称量 [吾]上的最小值为一，所以 词命题，所以7p:“任意x∈[1，十∞)，使 m≤一√3，即实数m的最大值为一√尽. 得(1og23)r≤1”.] 答案：一√5 命题点3 :若“3x∈ 第3节 第1课时 [典例](1)[解析] 复盘·必备知识必备知识掌握 [合，2]使得22-Xx+1<0成立” 1.(1)>(2)> 是假命题 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)× 即“e[合2小使得>2x+成 (3)×(4)/(5)/ 小题查验 立”是假命题， 即等食手z[宁2小 1.ACM-N-+z+1=(+号) +三>0，所以M>N.] 4 使得A≤2x十 成立”是真命题。 2.A[Va-b>0→a>b≥0→a2>b2→ 令f(x)=2.x+ a2-2>0,反之不成立，∴.“√a-√D 0”是“a2-2>0”的充分不必要 由对勾函数可知，当[，2]时， 条件. 3.BD[根据a>b,取a=1,b=-1,则 f)在[号]上单调递成，在 合<六不成立，放A错误0>0 (号2]上单调适增。 .由不等式的基本性质知a2≥bc2成 立，故B正确：由a>0>b,取a=1,b= .当x= 巨时，函数f(x)取最小值， -1,则a2<-ab不成立，故C错误； c>a>b>0,.(a-b)c>0,..ac-ab 即f(x)mn () =2√2， >b-ab,a(c-b)>b(c-a)..'c-a ∴A≤f(x)min=2VE, >0-6>0,兰。>故D 正确.] 故实数入的取值范国为（一∞，2√2]. [答案]AB 4.D[当c≤0时，不等式ac>bc不成 (2)[解析]当x∈[0,3]时，f(x)m 立，故A不正确：当a>0,b<0时，不 =f(0)=0,当x∈[1,2]时，g(x）mim 等式。<不成立，北B不正确：当 g(2)= 4 m,由f(x）mn≥g(x）min, a=-1,b=一2时，不等式a2>2不 成立，故C不正确：由不等式的性质 得0≥ 1 n,所以m≥ 4 ,即实数m 知，选项D正确.门 5.解析：，0<b<1,∴.一1<-b<0, 的取值范为[片十) 0<a2, ,.-1a-b<2 [答案] 答案：（一1,2） 互动探究 跃升·关键能力题型1 解析：当x∈[1,2]时，g(x)max-g(1) [典例](1)[解析]，x=a十be, 、1 y=6+aea,z=b+aeb, 2一 m,由f(x)min≥g（xmax,得 ∴.y-x=a(eeb), 0 、1 mm≥子即实数m的取 又a>b>0,e>1,∴.em>eb,∴.y>z, z-x=(b-a)+(a-b)eb=(a-b) 值范国为[+) (-1),又a>b>0,eb>1.>x, 综上，x<<y 答案：[，+∞） [答案]A 跟踪训练 (2)[解析]法一：M-N= e2023+1 e224+1 1.A[因为命题“Vx∈[1,4]，e2-2 e2024+1 一m≥0”为真命题，所以1x∈[1,4]， e2025+1 nse2 (e2023+1)(e2025十1)-(e2024+1)2 x (e2024+1)(e2025+1) 令f(x)=ex- 2 e2023+e2025-2e2024 ,x∈[1,4]，y=e (e2024+1)(e202+1) 与y=- 2在[1,4上均为增函数，故 e223(e-1)2 (e2024+1)(e2025+1>0, f(x)为增函数，当x=1时，f(x)有最 ∴.M>N. 小值e一2，即me-2.] 2.解析：若“Hx∈ [-，]amr≥ 法二：令f(x)=e+1 ex+1+1 n”是真命题， (e+1+1)+1- 则实数m小于等于函数y=tanx在 =e e ex+1+1 [一，]的最小， ·379· 参考答案 e 1士T:显然f(x)是R上的 减函数， ∴.f(2023)>f(2024),即M>N. [答案]M>N 跟踪训练 1.解析：由基本不等式可知，G≤A,当且 仅当a=b时等号成立：因为H一G a+√硒+b-√a而 3 -a-2画+b-a-D)2≥0，当且 3 3 仅当a=√b,即a=b时等号成立，所 以H≥G,因为H-A=a十a5+b 3 atb_-a+2vab-b_(Ja-18)2 2 6 6 ≤0，当且仅当√a=√b,即a=b时等号成 立，所以H≤A综上所述，GHA,当 且仅当a=b时等号成立. 答案：G≤H≤A 2.解：周为a-号2>06号>0，所以 -3品--®9 b >1,所以a>b. 题型2 1.B[对于A,取x=y,该不等式成立， 但不满足x>y;对于C,该不等式等价 于x+上>y+2,取x→0，y=1,孩 不等式成立，但不满足x>y:对于D, 该不等式等价于x十子>y十，取 x0,y=1,该不等式成立，但不满足 x>y;下面证明B: 法-：不学式等价于一>y 1 而x一 >一六>y画数 1 f(x)=x- 上在(0，十∞)上单增，故 r>y. 张二若则方<子此十安 1 <y叶士子盾，故>] 2.D[对于A,因为a>b,所以a十c>b十 C,故A结论正确；对于B,当a>b>0 时，因为暴函数y=x04在(0，十∞)上 单调递增，所以a4>b0.4,故B结论 正确；对于C,因为a>b,所以a十c> b十c,而函数y (宁)为减画数，所 以()<（） ,故C结论正 确；对于D, 一 afc 以aa+,因为 b(atc)-a(btc)c(b-a) a(a+c) a>b>0,c>0,所以c(b-a)0,a(a +c)>0,所以么-+=c6-a< a atc a(a+c) 0,所以<士，故D结论错误.] aa十c 3.BD[对于A,取特殊值a=2,b=1, c=-1,满足a>b>c,但ac<bc,故A 不正确；对于B,因为a,b,c均为非零 实数，且a>b>c,所以c2>0,所以ac2 >b2,故B正确：对于C,取特殊值 高考总复习数学(BS) a=3,b=2,c=一1，满足非零实数a> b>c,此时(a-b)e=(3-2)-1=1, a-0y=(3-1)1=21=2,但 (a-b)r>(a-c),故C不正确；对于 D,因为a,b,c均为非零实数，且a>b >c,所以-b<-c,a-c>0,a-b>0,所 以0<4-b<a-C,0<8二<1，所以 a- nb<n,即h-b<0,故D a- a-c 正确，] 题型3 [典例](1)[解析]因为M= max{a,合+弘，云}所以a<M. 云≤M,所以后+≤日 1 2 ≤1+2b≤M 3 所以≤M,即MB,当且仅当a= 云-5时取等号，所以M的最小值 为√5 [答案]A (2)[解]由题意，得 (f1)=a+b, b {f2)=2a+? 解得a-吉[2f(2)-f1小，6 号[2f1)-f2)],因此，f3)=3a中 合-912)-号，起)南 f(2)的取值范国代入， 将9<1(3)≤ “3)的取值范周吴[号，号] 互动探究 解析：根据a>0,b>0,由9≤2弘， 1262a+b, 解得<号2， 2ab 2 a2+22 =t b [号2小则+2∈[E] 所以之三 t+ [÷] 答案合] 跟踪训练 1.ABD[因为-1<2x-y<4,所以-2 <4x-2y<8.因为-3<x+2y<2, 所以-55r10,则一1x<2,故A 正确；因为一3<x十2y<2,所以一6< 2x十4y4.因为-1<2x一y<4,所以 一4<-2x+y1,所以-105y5,所 以一2<y<1,故B正确：因为一3 x+22,-1<2-y4,所以-号 <号(x+2<号，-<号(2x y<号，则-2<x+<2,放C错误： 因为-3<x+2y<2,-1<2.x-y< 4,片以-号<-吉+2y<号 2 号<号2x-号，则-1< y<3,故D正确.] 2.B[由a2+b2≤c≤1，可得： 跃升·关键能力题型1命题点1 a+≥++=(+)+ [典例1](1)[解析]y=1og2x十 1 2 ，因为 log (2x) =lg2x十1+1og2 xe(合，+）所以1lre(-1 当a=b=一 之时取等号，所以a十6十 十∞)，故1十l0g2x∈(0，十∞)， 1 c的最小值为-.] 故y=(1+log2x)十1+1og2工 第2课时 2 复盘·必备知识必备知识掌握 ≥2√1+1og影x)·1+1og2x -1= 1.(2)a=b3.(1)x=y2√p 2√2-1，当且仅当1+1og2x- 2 (2)x=y4 +10g正即r=21时，等号成立. 自主诊断查验思考辨析 [答案]2√2-1 (1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ (2)[解析]由题意，函数 小题查验 √(x2+1)(16x2+1) .AD[由a<0b<0,可将合>0，号 f(x)= 4x2+1 x2+1)(16.x2+1) >0,则由基本不等式可得，台+合≥ (4.x2+1)2 16.x4+17x2+1 b.4 =2,故A正确；x,y∈R √16.x++8x2+1 时，lgx,lgy有可能为0或负数，不符 9x2 合基本不等式的条件，B错误：若x /1+ 16.x4+8x2+1 0,则x+兰=-【x+()门 9 /1+ ,又由16x2+1 2-(（)=-4,c W 16.x2+8+1 ≥8，当且仅当16x2= ,即x=士 1 误：x<0时，2r>0,由基本不等式可 得，22十2r≥2，故D正确.] 9 时等号成立，所以1十 2.C[对于A,当a=b时，a2+2= 16x2+8+ 2ab,放A错误：对于B,D,取a=号b 、1 6,所以 2 9 /1+ 1 1 1=8- +-2+4-6 西效)的最大值是号 「答案7C 7 2 ==42=2 ，故B、D错 命题点2 √ab [典例2])[解析们因为2+6-1， y 误；对于C,由基本不等式可得a十b≥ 2√ab>√ab,故C正确.] 所以3x+-(x+(径+号 3.C[当x>2时，x-2>0,f(x)=(x-2) 6+18z+￥+6≥12+2√g. y x +2+2≥2一2x5+2= =24,当且仅当18-2义，即y=3x时 y 当且仅当x一2= 3>2即-3 时取等号，即当f(x)取最小值时，即a 取等号又因为兰+号-1，所以一 =3.] y=12,所以x+y=16. 4.解析：设矩形场地的长为xm,宽为 [答案]A (2)[解析]a,b为正实数，且a十b=2, ym,则x+y=10,所以S=xy (安)-25，当且仅当-y-5时取 生+片a+名+“ 等号，故矩形场地的最大面积为5m× 名+a+6-1+ 1 5m=25m2 答案：25m2 -1+是+ 5,解析：y=2+5 =x2+4+1 √x2+4 √2+4 -1+吉(2+点)a++切 -√2+4+ 1 √/x2+4 =1+号+2+] 令1-VP+1≥2y-1+在1≥2 ≥1+号3+2@-6+2E, 3 时是单调递增的，y=1十≥2十 2(b+1)a 当且仅当) a -b+11 (a+b=2, 即a=6-3√2，b=3√2-4时取“=”. 答案号 [答案] 6+2 3 ，6-32 ·380·