主题1 第1章 第2节 常用逻辑用语-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“集合与常用逻辑用语、不等式”专题，依据课程标准梳理了充分必要条件、全称/存在量词命题及其否定等核心考点，通过近五年高考真题分析明确充要条件判定、含参问题等高频考点权重，归纳出三大常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题精讲+技巧提炼+素养提升”策略，如通过2024全国甲卷向量题解析“集合法”判断充要条件，结合“改量词、否结论”规律突破量词命题否定，培养学生逻辑思维与推理能力。特设易错点警示（如忽视二次项系数讨论）和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，高效冲刺高考。

主题一 预备知识（必修第一册） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第2节　常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 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(2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些”“有一个”“　存在一个　”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示． 4．全称量词命题、存在量词命题的否定 量词命题 量词命题的否定 结论 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 1．在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围)． 2．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)命题p的否定的否定是p.(　　) (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (4)“∃x∈M，x具有p(x)”与“∀x∈M，綈p(x)”的真假性相同．(　　) (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　) (6)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD必修第一册P18练习T1(4)改编)“xy>0”是“x＜0，y＜0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 解析：B　[因为xy>0不能推出x＜0，y＜0，但x＜0，y＜0能推出xy>0，所以“xy>0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件．] 2．(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数 f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)| > M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：A　[若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得|f(x1)|＝|M|＋1， 取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，充分性成立； 取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1， 取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立； 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M”的充分不必要条件．] 3．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋eq \r(3)是a∥b的充分条件 解析：C　[若a⊥b，则x(x＋1)＋2x＝0， 即x2＋3x＝0，解得x＝0或x＝－3， ∴A错，C对；若a∥b，则2(x＋1)－x2＝0，即x2－2x－2＝0，解得x＝1±eq \r(3)，故B、D错．] 4．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立； 但x＝1能推出x(x－1)＝0成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 5．(忽视二次项系数的讨论)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是　________　. 解析：①当a＝0时，1>0恒成立，∴a＝0满足条件， ②当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a<0，))解得0<a<4，综上，0≤a<4. 答案：[0,4) 充分、必要条件的判定 1．若xy≠0，则“x＋y＝0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [考题解读]　本题以两个等式为载体设置题目，考查逻辑推理，数学探索能力．充分必要条件是高考命制创新试题的重要载体，它与其他知识结合，题目具有一定的灵活性，能很好地考查学生的理性思维能力． 解析：C　[解法一：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝eq \f(－y,y)＋eq \f(y,－y)＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以必要性成立． 所以若xy≠0，则“x＋y＝0”是“eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－2”的充要条件． 解法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0， 所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝eq \f(x2＋y2,xy)＝eq \f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy) ＝eq \f(x＋y2－2xy,xy)＝eq \f(－2xy,xy)＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－2， 所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝eq \f(x2＋y2,xy)＝eq \f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy) ＝eq \f(x＋y2－2xy,xy)＝eq \f(x＋y2,xy)－2＝－2， 所以eq \f(x＋y2,xy)＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立． 所以若xy≠0，则“x＋y＝0”是“eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－2”的充要条件．] 2．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，由sin 2x＝0⇒2x＝kπ，x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z不一定为x＝0， ∴sin 2x＝0 x＝0， ∴x＝0是sin 2x＝0的充分不必要条件．] 3．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 解析：CD　[对于A，因为“a＝b”时，ab＝bc成立，ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错误；对于B，a＝－1，b＝－2，a＞b时，a2＜b2；a＝－2，b＝1，a2＞b2时，a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，因为“a＜3”时一定有“a＜5”成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，C正确；对于D，“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确．] 判断充分、必要条件的3种方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 提醒：判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义． 利用充要条件求参数的取值(范围) [典例]　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围． [解]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴A＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A. 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3. ∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]． [互动探究] 若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围． 解：由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知BA， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m>－2，,1＋m≤10，)) 解得0≤m≤3或0≤m<3， ∴0≤m≤3， 故m的取值范围是[0,3]． (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件． 1．若“|x＋1|＝2”是“log2x＋2x＝a”的必要不充分条件，则实数a＝(　　) A．3　　　 B．2 C．1 　　 D．0 解析：B　[解|x＋1|＝2得x＝1或－3，设集合A＝{1，－3}，方程log2x＋2x＝a的解集为集合B，则BA且B≠∅，所以B＝{1}或B＝{－3}．当B＝{1}时，log21＋21＝a，所以a＝2；当B＝{－3}时，不成立．] 2．若(x－a)2＜4成立的一个充分不必要条件是1＋eq \f(1,2－x)≤0，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，4] B．[1,4] C．(1,4) D．(1,4] 解析：D　[由(x－a)2＜4，可得a－2＜x＜a＋2； 由1＋eq \f(1,2－x)＝eq \f(3－x,2－x)≤0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2x－3≤0，,2－x≠0，)) 可得2＜x≤3； ∵(x－a)2＜4成立的一个充分不必要条件是1＋eq \f(1,2－x)≤0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－2≤2，,a＋2＞3，))可得1＜a≤4.] 全称量词命题与存在量词命题 ►[命题点1] 全称量词命题与存在量词命题的真假判断　 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．p和q都是真命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是真命题 解析：B　[由x＝0不成立知p假，x＝1时成立知q真，所以选B.] 2．下列命题中，真命题是(　　) A．∃x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan x>sin x 解析：B　[对于选项A，sin x＋cos x＝ eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq \r(2)，所以此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，所以此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，所以x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立. ] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． ►[命题点2]　含有一个量词的命题的否定　 1．已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1，则p为(　　) A．∃x＜0，ex＜1且sin x≥1 B．∃x≥0，ex＜1且sin x≥1 C．∃x≥0，ex＜1或sin x≥1 D．∃x＜0，ex≥1或sin x≤1 解析：B　[命题是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1，所以p：∃x≥0，ex＜1且sin x≥1.] 2．已知命题p：“存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x>1”，则下列说法正确的是(　　) A．p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” B．p：“不存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” C．p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1” D．p：“任意x∈(－∞，1)，使得(log23)x≤1” 解析：C　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1”．] 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定的区别 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． ►[命题点3]　参数的取值范围问题　 [典例]　(1)(多选)若∃x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，则实数λ可能取值是(　　) A.eq \f(3,2) B．2eq \r(2) C．3 D.eq \f(9,2) [解析]　∵若“∃x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题， 即“∃x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得λ＞2x＋eq \f(1,x)成立”是假命题， 即等价于“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得λ≤2x＋eq \f(1,x)成立”是真命题． 令f(x)＝2x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))， 由对勾函数可知，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，2))上单调递增， ∴当x＝eq \f(\r(2),2)时，函数f(x)取最小值， 即f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝2eq \r(2)， ∴λ≤f(x)min＝2eq \r(2)， 故实数λ的取值范围为(－∞，2eq \r(2) ]． [答案]　AB (2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________． [解析]　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝eq \f(1,4)－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥eq \f(1,4)－m，所以m≥eq \f(1,4).即实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)). [答案]　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) [互动探究] 若将本例(2)中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是__________． 解析：当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝eq \f(1,2)－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥eq \f(1,2)－m，∴m≥eq \f(1,2).即实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). 答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 1．已知命题“∀x∈[1,4]，ex－eq \f(2,x)－m≥0”为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，e－2]　　 B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，e4－\f(1,2))) C．[e－2，＋∞) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(e4－\f(1,2)，＋∞)) 解析：A　[因为命题“∀x∈[1,4]，ex－eq \f(2,x)－m≥0”为真命题，所以∀x∈[1,4]，m≤ex－eq \f(2,x). 令f(x)＝ex－eq \f(2,x)，x∈[1,4]，y＝ex与y＝－eq \f(2,x)在[1,4]上均为增函数，故f(x)为增函数，当x＝1时，f(x)有最小值e－2，即m≤e－2.] 2．若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，tan x≥m”是真命题，则实数m的最大值为________． 解析：若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，tan x≥m”是真命题， 则实数m小于等于函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))的最小值， 因为函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上为增函数， 所以函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－eq \r(3)， 所以m≤－eq \r(3)，即实数m的最大值为－eq \r(3). 答案：－eq \r(3) $