第四章 第2节 同角三角函数的基木关系与诱导公式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

主题二第四章三角函数、解三角形 题型4 三角函数值的符号 3.已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边上一 点P(sin3,cos3),若0≤a≤2π，则a=( 1.下列各选项中正确的是 ( A.3 A.sin300>0 B.cos(-305°)<0 B-3 c.-3 D.3- …题后反思 22 C.tan 3π>0 D.sin 10<0 熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函数值 在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三 2.0是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是 正切、四余弦. C温馨提 0 A.sin B.cos 2 C.sin 20 D.cos 20 学习至此，请完成配套训练 课时冲关24 2 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 ★[课程标准] 1,理解同角三角函数的基本关系式：sin2a十cos2a=l,ng=tana. cos a 2.掌握诱导公式，并会简单的应用， 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 自主诊断查验 1.同角三角函数的基本关系 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1. 里打“√”，错误的打“×” (2)商数关系 sina=-tan aa≠+kx,k∈Z (1)若a,3为锐角，则sin2a十cos2B=1.( cos a 2 (2)若a∈R,则tana 2.三角函数的诱导公式 sinc恒成立. cos a (3)sin(π十a)=一sina成立的条件是a为锐角. 公式 三 四 六 2kπ十a 角 元十a a (k∈Z) 2+a 4若sin(经-则os=- 3 . 正弦 sin a (5)若sin(kx一a)= ∈，则sg=子( 余弦 cos a ◆[小题查验] 正切 tan a 1.若sina= 3,且a为第二象限角，则tana的值 函数名改变， 口诀 函数名不变，符号看象限 等于 () 符号看象限 …重要结论· 号 c D.- 5 1.诱导公式的记忆口诀 2.已知sim(至+a号则cos(至-a的值等于 奇变偶不变，符号看象限」 2.同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); A号 B号 D. 3 3.(BSD必修第二册P24练习T4改编)已知角a是 cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a). 第二象限角，sina=3,则cosa ( ) (2)(sina士cosa)2=1士2 sin acos. (3)sina=tan acos aa≠T+kx,k∈Z A-号 2 (4)sin2a= sin2a tan2a 4.若sin0cos0= 之，则tan0+cos0 sin 0 sin a+cos2a tan2a+: 5.(对诱导公式理解不对致误)若sim(晉-。号 cos2a 1 sin a+cos a tan a+1 则cos(g+2） 73 高考总复习数学(BS) 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1〔 同角三角函数的基本关系 题后反思 1.已知角a的终边经过点P(一x,一6)，且cosa= 1.学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 任意负利用透任意正利用诱导02m 利用诱导锐角 5,则一大1 导公式 公式 公式二 角的三 角的三 的角的三 三角 sin a'tan a 三或 或四或五 角函数 角函数 角函数 函数 A号 B.-2 C. D.- 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就 3 好了” 2.若in0+cosg2,则sin9tsin20 ) sin 0-cos 0 sin 0+cos 0 2.明确三角函数式化简的原则和方向 A-号 (1)切化弦，统一名. B-2 c.s (2)用诱导公式，统一角， (3)用因式分解将式子变形，化为最简. 3.已知a是三角形的内角，且sina十cosa= 51 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了” (1)求tana的值； [口诀助读] cosa-sin。用ana表示出来，并求其值. (2) 1 诱导公式就是好，负化正后大化小： π的一半整数倍，奇数变化偶不变； 函数符号问象限，两个函数看左边 题型3〔诱导公式、同角三角函数关系式的活用 [典例](1)已知角0的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P(1,2)为角0终边上的一 点，将角0终边逆时针旋转牙得到角B的终边， sin 则 +a 1 ( ) 1-cos 2 3 A.-2 B.- C.-1 D.2 规律总结 (2)已知-π<x<0,sin(π十x)-c0sx=- (1)利用sina十cos2a=1可以实现角a的正弦、余弦 的互化，利用加a=ana可以实现角&的弦切 求im2z十2sim2工的值， 1-tan x cos a 互化 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sina +cosa,sin acos a,sina-cosa这三个式子，利 用(sina士cosa)2=1士2 sin acos a,可以知一 求二 (3)注意公式逆用及变形应用：1=sina十cos2a, sin2a-1-cos2a.cos2a-1-sin2a. 题型2 三角函数的诱导公式 1.已知sine+)，则cosa-) A.一5 B.-3 c 3 0. 2.设fa) 2sin(π+a)cos(π-a)一cos(π+a) 1+sin2a+cos (1+2sina≠0)，则f 23π 6 ·74· 主题二第四章三角函数、解三角形 方法指导 !跟踪训练 巧用相关角的关系、简化解题过程 1.已知角0的终边在第三象限，tan20=一2√2，则 （1)常见的互余的角：管-&与晋+a:管十a与 sin20+sin(3x-0)cos(2x+0)-2cos20=() 十a与受-a等 A.一② 2 6 B② 6 c-号 D.3 (2)常见的互补的角：管十0与至-0：天+0与 3 4 2.已知0e(平sn0-cos0-2日， 3 3π一0等， 则-sin20 cos 20 第3节 三角恒等变换 ★[课程标准] 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们 的内在联系， 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求 记忆). 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 (2)sin x-sin y=2cos ysin义 1.两角和与差的三角函数公式 2 2 sin(a+B)= :(Sa+p) (3)csosy2co sin(a-B)= :(S。-g) 2 cos(a十B) ;(Ca+B） (4)cos x-cos y= cos(a-B) :(Co-B) 4.二倍角公式 sin 2a=2sin acos a;(S2a) tan(a+8)= 1-tan otan月：(Td+p） tan a+tan B cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1 tana-tanβ tan(a-B)-1+tan atan B (T。-B) =1-2sin2a;(C2a） 2tan a 2.三角函数的叠加 tan 2a=1-tan'a （T2a) 般地，当a,b不同时为0时，asin a十bcos a= 5.半角公式 √a2+b a a2+b2 sina+ -cos a Va2+6 引入辅 sin 2 1-cos a 1+cos a 2 +COS 2 P 助角9，使得a 6 =C0S9 √a2+b =sin9.所 =士 tan 2 1-cos a sin a 1-cos a √a2+b2 V1+cos a 1+cos a sin a 以asin a-十bcos a=√a2+bsin(a+p)(a,b不同时为 ·重要结论· 0),其中角9所在象限由a,b的符号确定，角9 常用的三角公式变形 的值由sinp和cos9的值确定，也就是由tang (升暴公式) =b来确定。 1.1-sa=2in号，1+cosa=2o2g. 2 a 2.1士sina= 士cos .(升幂公式) 3.积化和差公式和和差化积公式 sin 2 2 积化和差公式 3.sin2a= 1-cos 2a 1+cos 2a 2 tan a- (1)sin acos B= I[sin(a+B)+sin(a-B)]. 1-cos 2a 1+cos 2a .(降幂公式) (2)cos asin B= 2[sin(a+B)-sin(a-8]. 4.asin a+bcos a=√a2+bsin(a+p),其中sing (3)cos acos B=- [cosa+g+eosa-l. b a (4)sin asin B- Va2+6,c0s9= (辅助角公式) a2+b2 和差化积公式 5.两角和与差的正切公式的变形tana十tanB 2cos t-y (1)sin +sin y=2sin +co tan(a+B)(1-tan atan B),tan a-tan B= 2 tan(a-B)(1+tan atan B). 75高考总复习数学(BS) 与于≤a≤受表示的范国一样：当k- [子题2]解：设α终边上任一点为 P(-4a,3a), 2m+1(n∈Z)时，2x十+千≤a≤ 当a>0时一50sim。-号， 2mx十元十受，n∈乙，此时a表示的范 cosa=-,tane--； 4 国与至十≤≤受十元表示的范国 当a<0时，r=-5a,na=-是 一样.] 4 2.D[当-0时a-吾，终边位于第 [子题3]C[相逼时间为t=4×2π÷ 一象限：当一1时8一晋终边位于 (臣+晋)8秒，故P特过的角度 第二象限：当人-2时，。-受终边位 为臣×8=号，共对应的坐标为 于y轴的非正半轴上；当k=3时，a= 2十否，终边位于第一象限，综上可 (om号)脚(）门 知，α的终边一定在第一象限或第二 题型4 1.D[300°=360°-60°，则300°是第四 象限或y轴的非正半轴上.] 题型2 象限角，故sin300°<0：-305° [典例门[解]设圆心角是0，半径是 -360°+55°，则-305°是第-象限角， r,则2r+r0=40. 故os(-3055>0:而-号x--8x+ 又S=含6㎡=240-2)=r(20-) 号所以一号是第二象限有，就 =一(r-10)2+100100.当且仅当r 1am(-号x)<0,周为3x<10<名x, 7 -10时，Smax-100,此时2×10+100 =40,0=2.所以当r=10,0=2时，扇 所以10是第三象限角，故sin100.] 形的面积最大， 互动探究 2.C.[因为0是第二象限角，所以2kπ十 解：设半径为r则由6=sin60°， 2<0<2kx+x,k∈Z,则4kx+元<20 <4kπ十2π，k∈Z,所以20为第三或第 r=4原1-lalr=8 四象限角或终边在y轴负半轴上，所 3 π. 以sin200,cos20的符号不确定.而 跟踪训练 1,解析：设扇形的圆心角为，内环半径 kx+<号<k+受k∈Z,号是第 为rm,外环半径为Rm,则R一r= 一象限或第三象限角，正弦值、余弦值 1.2m,由题意可知a·r=1,2m,a·R =3.6m,所以a(R十r)=4.8m,所以 不一定是负数，] 该扇环形屏风的面积为： 3.C[因为角a的终边上一点P(sin3, S号aR-P)=合a(R+rR-r） cos3),所以tana-cos3 1 sin 3 tan 30, 又cos30,sin3>0,所以a为第四象 -×4.8×1.2-2.8m2 限角，所以a=2kx十受-3，k∈乙，又 答案：2.88 2.D[设圆的半径为R,依题意知小扇 因0≤a≤2x,所以a-受-3.] 形的圆心角为3°，依题意，小扇形的面 积近似等于小等腰三角形的面积，故 第2节 ×3-之×R×m3,化药粉 复盘·必备知识必备知识掌握 360 2.-sin a-sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a 一tana 题型3 自主诊断查验思考辨析 [母题][解析]第一步：利用两点间 (1)×(2)× (3)×(4)/(5)× 的距离公式求出，点P到坐标原点的距 小题查验 离r, 5 设P与原，点的距离为r, 1.D[因为sina=3,且a为第二象限 .P(-4a,3a),a<0, V小-sma= 12 角，得c0sa=- ∴.r=√(-4a)2+(3a) 13, =5a=-5a. 所以tana- 第二步，利用任意角的三角函数定义式 cos a 求出sina的值. .sin a=3a 3 2.B[因为子十a与至-8豆余， 5a 5 [答案]- 3 所以cos(牙-a）】 [子题1]解析：当a<0时，sina= -n(任+e）=子] 3 3 3.A[因为角a是第二象限角，所以 号；当a>0时，r=5a,sina= cosa<0,又sin2a十cos2a=1,所以 答案：一或号 osa=--ma=是] ·410· 1.解析：an0+8-09+8 sin a cos 0 sin a 1 cos Osin =2. 答案：2 5.解析：cos (5+2） os[-(号-2)] -(-20） =-1+2m(-）-子 7 答案：- 7 跃升·关键能力题型1 1.B[P点的纵坐标为一60，且cosa <0,所以P在第三象限，所以 5 sin a=- V-wa-是 1 Tana=1cI21一十nm cos a 5'sin a 13,5 8 12+12=-12= 2.C[用为器二号-2，所以如0 3cos0,所以sin0,cos0同号，即 sin 0cos >0,sin20+cos20=9cos20+ cos29=10cos20=1,cos20=10,从而 sin0=品sin20cos0-品0所以 sin0cos0=i0· 3 sin 0(1+sin 20) sin 04 cos 0 sin sin20+cos20+2sin dcos 0) sin 0+cos 0 sin 0(sin 0+cos 0)=sin20+sin Ocos 0 -品+品-] 3.解：(1)法一：联立方程 1 sina+cosa=5，① (sin2a+cos2a=1,②@ 由①得cosa=方 1 一sina,将其代入 ②，整理得25sin2a-5sina-12=0. α是三角形内角， 4 （sina= 5 ,'tan a=- 4 3 cos a=- 法二：sina十cosa= 1 5, ∴(sina+cosa)2= 112 即1十2 sin acos a=25' ∴.2 sin acos a= 24 25 (sin a-cos a)2-1-2sin acos a -1+器-器 ..'sin acos a- <0，且0<a<不： 25 .'sin a0,cos a<0,sin a-cos a>0. .'sin a-cos a= 7 5 1 (sin a+cos a= 由 7 sin a-cos a-5 (sin a= 4 得 3 cos a-5, 4 ,∴，tana=- 3 1 (2) sin2 a++cos2a cos2a-sin2a cos a-sina sin2 a+cos2a cos2 a tana1 cos a-sina 1-tan2a cos"a 4 ,tan a=- 3, 1 _tana+1 cos2a-sin2 a 1-tan2a ()+ 25 题型2 1.C[因为in(+受）=合， 所以os(e-晋） -o[(+）受] =an(e+) 2.解析：f(a) -(-2sin a)(-cos a)+cos a 1+sin2 a+sin a-cos2 a 2 sin acos a十cosa 2sin2a+sin a cos a(1+2sin a) sin a(1+2sin a) 1 1+2sina≠0)f(- 23π tan a 6 1 1 a(警)】 tan(-4x+吾) 1 =5 tam 答案：W 题型3 「典例门 (1)汇解析] 由题可知tan0=2, 所以tamB-tam(（0+子)-☐n tan 0+1 =2+-3, 1-2 sim(受+2p） cos 28 1-cs(受-p) 1+sin 28 cos2 8-sin2 8 sin2 B+cos23+2sin Bcos B 1-tan8 tan8+1+2tan 8 1-tan31+3 -2. 1+tan 8 1-3 [答案A (2)[解]由已知，得sinx+cosx= 号两边平方得nz十2 n rco十 1 cos-25' 整理得2 sin rcos x= 24 25 (sin r-cos x)2 49 -1-2sin xcos x-25' 由-x<x<0知，sinx<0, 参考答案 又sin rcos x= 2∠0 3.解析：由题可知，cosa>0,所以cosa 2 cos r>0,..sin x-cos r<0, 三，所以 4 故sinx-cosx= 7 am受十ama sin 2r+2sin tan (+）- 1-tan x l1-tan X tan a 2sin x(cos r+sin x) 1- sin r cos x 2sin rcos r(cos r+sin r) 答案： cos x-sin x 4.解析：f(x)=√3sin2x+2cos2x十3= 24 1 25×5 √5sin2x+1+cos2.x+3= 24 1751 2sim(2x+号）+4， 跟踪训练 ∴f(x)的最小正周期为π，最小值 为2. 1.D[由tan20=-2√2，可得tan20= 答案：π2 2tan 6 --2√反，即2tan20-tan0-√2 5.解析：由sin(a十3)=sin(a-3),即 1-tan20 sin acos 8+cos asin B =0,解得am0-2或tan0=一巨 sin acos B-cos asin B, 2 得cos asin3-0,故cosa-0或sin3-0; 又角0的终边在第三象限，故tan0 同理，由cos(a十)≠cos(a一)， √2，故sin20+sin(3π-0)cos(2x+) 可得sin asin3≠0，故sina≠0且sin3 √2cos20=sin20+sin0cos0-√2cos20 ≠0 sin20+sin Ocos 0-2cos20 则必有cosa=0且sin≠0 sin20+cos20 故取a=受9=吾可满足题设要求. tan20+tan 0-2 答案：（受，）（答案不唯一） +E÷] tan20+1 跃升·关键能力题型1 (√②)2+1 1.B[原式 2.解析：将in0-cos0=2士+5两边平 _2sin18(3cos29°-sin29°-cos29°-sin29) 2sin(6°+30) 3 2sin18(2cos29°-2sin29°) 方，得1-2sin0cos0- 9+45,即 2sin 36 9 2sin18°cos18 sin 20= 45,周为0e(经小所 sin 36 sin36° =1.] 以20∈ (受，2所以ca20-日， sin 36 1+6 2.解析：原式=1n10cos10 2cos2 10 -sin 10 故1-sin20 9 -=9+4N5. (cos5° sin5° cos 20 sin 5 cos5° cos10° -2cos109 答案：9+4√5 2sin 10 第3节 _cos10°-2sin20 2sin 10 复盘·必备知识必备知识掌握 _cos10°-2sin(30°-10) 1.sin acos B+cos asin B sin acos B- 2sin10° cos asin 8 cos acos B-sin asin 8 =cos10°-2sin30'cos10°+2cos30°sin10 cos acos B+sin asin B 2sin 10 3.- 2[cosa+n-cosa-时 =c0s30°= 2 -2sm,n分 2 答案号 自主诊断查验思考辨析 3.解：原 (1)/(2)× (3)/(4)×(5)× 小题查验 2m2rog2x+号 1.C[原式=-(cos15cos45°-sin45°· sin45)=-cos(15°+45)=-cos60 2in(只-z）o2(f-】 = 2 o(任-) 1 2.BD [sin 15'cos 15sin 30- 1-sn2 千，A不正确oo苔-sim2吾- 2sin(开-x）eos(7-x） 4 1-tan22.5 号an15-号.C不正痛：2co时2.5 cd sim(-2x） -1=60s5-竖DE病] s2 ·411·