第三章 第1节 导数的概念及其几何意义、导数的运算-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

g∈N,号为既的真分)，则R() ,9为大于1的正整数，由R(x)> 1 p叶g<5,又因为x-号(p:g∈N· 11 卫为既约真分数)，所以工=立，3， 棕上，不等式R)>吉x十合的解系 1 为{位号} (3)存在非零实数=1,6=号，使得y =R(kx十b)为偶函数，即y= R(十)为偶函数，证明如下： 当x=0或x=1时，有R(0)=R(1)= 0成立，满足R(x)=R(1一x), 当x为(0,1)内的无理数时，1一x也 为(0,1)内的无理数，所以R(x)=R(1 -x)=0,满足R(x)=R(1一x),当 -号(p9EN+,号为既约真分). 0 则1-x=1-卫-9一上为既约真分 数，所以R(x)=R(1一x)=1,满足 R(x)=R(1-x), 综上，对任意r∈[0,1]，都有R(x)= R(1-x), 所以R(x)关于x=合对称， 即R(+)R(合-)： 则R(十号)为偶函数，所以，存在 非索实盛=1,6=合，使得y=RCk红 十b)为偶函数 第三章 第1节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(2)切线的斜率2.fx十△x)-f(x) △x 3.0 ar-1 a'ln a e 1 1 xln a r cos x -sin r 1 cos2r 4.(1)f(x)土 g'(x)(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 5.x的函数复合函数y=f(g(x) 自主诊断查验思考辨析 (1)/(2)×(3)/(4)×(5)/ 小题查验 1.B[因为f(1)= lim KD)-f(+2Ar-1. -2△x 所以1imf)=f1+2△2=-2.] △x 2,D[当x<0时，曲线的切线斜率大于0 且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜 率小于0且越来越大.] 3.B[f(x)=19+lnx+x·1=20+ x lnx,由f(xo)=20,得20+lnx0= 20,则1nxo=0,解得xo=1.] 4.AD[A.(sinx)'=cosx,故正确； .1ogzx)=n3故错误 D.In-子故正病] 参考答案 5.解析：设切点坐标为N(x0,2.x8 题型3命题点1 3x0),则切线的斜率k=f(x0)=6.x品 1.A ['f(r)-e+2sin 一3，故切线方程为y=(6x品一3)x十 1+x2 32,又因为，点N在切线上，所以2x f(x)= -3x0=(6x-3)x0十32，解得x0 (e'+2cos r)(1+x2)-(e'+2sin r).2x 一2，所以切线方程为y=21x十32. (1+x2)2 答案：y=21x+32 (x-1)2e+2(1+x2)cos r4xsin 跃升·关键能力题型1 (1+x2)2 1.D[因为f(x)=2lnx十8x, 则f(0)=3, 所以f()=2+8, y=f(x)在点(0,1)处的切线方程 为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0 所以1im1+2△x)-f1) 令x=0,得y=1, △x f1+2△x)-f(1) 令y-0,得x-分 =lim 2△x =2f(1) y=f(x)在点(0,1)处的切线与两 =20.] 坐标轴所围成的三角形的面积为S= 2.解：设f(x)= √x 则△y=f(1+△.x)-f1) 2.解析：①当P为切点时，由y= 1 √I十4左 -1 （行）/=2，得1=2=4，即过点 P的切线方程的斜率为4. =1-+Ax 8 √/1+△x 则所求的切线方程是y一3=4x一2》： (1-√/1+△x)(1+√/1+△x 即12.x-3y-16=0. W√1+△x(1+√1+△x) ②当P点不是切点时， -△x 设切，点为Q(x0,%), √/1+△x(1+√/1+△x) 则切钱方程为)y子=红一西小 △y 1 △ W1+△x(1+√1+△x) 因为切线过点P(2号)）起P点的 m-m -1 坐标代入以上切线方程，求得x0= -0√/1+△x(1+√/1+△x) 一1或x0=2(即点P,舍去)，所以切 1 2 点为Q(-1,-子）即所求切线方程 题型2 为3x-3y+2=0. 1.D [(el-)'=-el-:,(cos 3r)' 综上所述，过点P的切线方程为 =-3sin3x,(√/x-1)'= 1 12x-3y-16=0或3x-3y+2=0. 2√x-i' 答案：12x-3y-16=0或3x-3y+2 (xIn x)'=In x+1.] =0 2.解析：由2x+5=e+x+a得e2=x 十5-a,故可知y=x十5-a与y=e 3.解析：根据题意得，f(x)=兰，设切点 相切，y=e的导数y'=e,所以切点 坐标为(x0),则f'(xo)=4 横坐标为0，所以5一a=1,故a=4. 答案：4 所以切线1的方程为y=么(x-o) 3.解：(1)y=(x2)/sinx+x2(sinx)' =2xsin x+x cos x. 十0，将点(0,0)代入，可得0=a 2y-(x+) (0-xo)十yo,整理得yo=a,故aln ro =mxy+(- 11 -a,解得)=e,故f()=名，即切 (3)y= () 线1的斜率为品 -（cosx)'e-cosx(e')' 答案：号 (ex)2 命题点2 sin rtcos x 4.D[因为y=lnx十x2+(W5-a)x, 所以y=1+2x+5-a, (4):y-xn(2x+)o(2x+) 因为曲线在M处的切线的倾斜角0日 2sin(4+x)--2 sin 4e, [后，受)所以y≥am登-E对于 任意的x>0恒成立，即1十2x十5 sin 4x-2xcos 4.r. 一a≥√5对任意x>0恒成立，即a≤ (5)令u=2x-5,y=lnu, 2x+子又2x+≥2区，当且仅当 1 2 则y=(hwd=2—52-2x= 2 2x=即=号时，学号成主，故≤ 即y=2一5 2√2，所以a的取值范围是(-∞，22].] ·397· 高考总复习数学 (BS 5.D [设切点为 $$\left( x _ { 0 } ， \log _ { 3 } x _ { 0 } \right) ，$$ ，由 y= $$\log _ { 3 } x ，$$ ，可得 $$y ' = \frac { 1 } { x \ln 3 } ， 则$$ $$| y ' | x = x _ { 0 } =$$ $$\frac { 1 } { x _ { 0 } \ln 3 } = k ，$$ $$\left\{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { x _ { 0 } \ln 3 } = k ， \\ { k _ { x } } ， \lg { x _ { 0 } } \right. ， k = \frac { 1 } { x } ，$$ ， 解得 xo， $$\left\{ \begin{array}{l} x _ { 0 } = c ， \\ { k = \frac { 1 } { c \ln 3 } } \end{array} \right. ，$$ $$k = \frac { 1 } { e } \log _ { 3 } c ， 7$$ k 命题点3 [典例] (1)[解析]由 $$y = e ^ { x } + x ，$$ ，得 $$y ' = e ^ { x } + 1 ， y ' | _ { x = 0 } = e ^ { \theta } + 1 = 2 ，$$ ，故曲 线 $$y = e ^ { x } + x$$ 在 (0，1) 处的切线方程为 y=2x+1； y=ln(x+1)+a ，得 $$y ' = \frac { 1 } { x + 1 }$$ 设切线与曲线 y=ln(x+1)+a 相切 的切点为 $$\left( x _ { 0 } ， \ln \left( x _ { 0 } + 1 \right) + a \right) ，$$ 1 由两曲线有公切线得 $$y ' = \frac { 1 } { x _ { 0 } + 1 } = 2 ，$$ 解得 $$x _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，则切 则切点为 $$\left( - \frac { 1 } { 2 } ， a + \ln \frac { 1 } { 2 } \right)$$ ，切线方程为 y= $$2 \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) + a + \ln \frac { 1 } { 2 } = 2 x + 1 + a -$$ 根据两切线重合，所以 a-ln2=0 解得 a=ln2. [答案]ln2 (2) [ 解析]由 $$y = \frac { x } { e ^ { x } } ， 则 y ' = \frac { 1 - x } { e ^ { x } } ，$$ 设切点为 $$\left( x _ { 0 } ， \frac { x _ { 0 } } { e _ { 0 } ^ { x } } \right) ，$$ 则切线斜率 k= $$\frac { 1 - x _ { 0 } } { e ^ { x } _ { a } } ，$$ 则在点 $$\left( x _ { 0 } ， \frac { x _ { 0 } } { e ^ { x _ { 1 } } } \right)$$ 的切线方程 $$y - \frac { x _ { 0 } } { e ^ { x _ { 0 } } } = \frac { 1 - x _ { 0 } } { e ^ { x } _ { 0 } } \left( x - x _ { 0 } \right) ，$$ ，代入点 坐标得 $$m - \frac { x _ { 0 } } { e ^ { x } } = \frac { 1 - x _ { 0 } } { e ^ { x _ { 0 } } } \left( 1 - x _ { 0 } \right) ，$$ 整理 $$m = \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } - x _ { 0 } + 1 } { e ^ { x } _ { 0 } } ，$$ 即这个方程有三个 1，则 $$f ' \left( x \right) = \frac { - x ^ { 2 } + 3 x - 2 } { e ^ { x } } ，$$ 令 f'(x)>0， 则 1<x<2， 函数 f(x) 在( \left.{-∞，1}) 上单调递减，在 (1，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调 递减，故得 f(1)<m<f(2)， ，即 m e $$\in \left( \frac { 1 } { e } ， \frac { 3 } { e ^ { 2 } } \right)$$ [答案] D D 跟踪训练 1.AD [曲题意知， $$f ' \left( x \right) = \frac { 1 } { 2 \sqrt x } - \frac { 1 } { x } \left( x$$ \left.{>0})， 因为 $$f \left( x \right) 在 x = x _ { 1 }$$ $$x _ { 1 } = x _ { 2 } \left( x _ { 1 } \right.$$ $$ e { x _ { 2 } } \right)$$ 处切线平行，所以 $$f ' \left( x _ { 1 } \right) =$$ $$f ' \left( x _ { 2 } \right) ，$$ $$\frac { 1 } { 2 \sqrt { x _ { 1 } } } - \frac { 1 } { x _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x _ { 2 } } } -$$ $$\frac { 1 } { x _ { 2 } } ，$$ 简得 $$\frac { 1 } { \sqrt x _ { 1 } } + \frac { 1 } { \sqrt x _ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } ， A$$ 确；由基本不等式及 $$x _ { 1 } e { x _ { 2 } } ，$$ 可得 $$= \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 1 } } } + \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 2 } } } > 2 \sqrt { \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 1 } x _ { 2 } } } } ，$$ $$\frac { 1 } { 2 }$$ $$x _ { 1 } x _ { 2 } > 2 5 6 ， B$$ 错误 $$： x _ { 1 } + x _ { 2 } > 2$$ √ $$\sqrt { x _ { 1 } x _ { 2 } } > 3 2 ， C$$ 错误； $$： x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } > 2 x _ { 1 } x _ { 2 }$$ >512，D 正确，] 2.解析：法一：因为y=x十lnx, 跃升·关键能力题型1 所以y-1+y11-2 [典例](1)[解析]由题可知，f(x)= 3.x2+6.x-6e2+5, 所以曲线y=x十lnx在，点(1,1)处的 且f(x)的定义战为R,则f(x)=6x 切线方程为y一1=2(x-1), +6-6e2=6(x+1-e),令g(x)=x 即y=2x-1. +1-ex,则g'(x)=1-e,x∈R,当x 因为y=2x一1与曲线y=ax2十(a十 ∈(-∞，0)时，g'(x)>0,当x∈(0， 2)x十1相切， +∞)时，g’(x)<0,所以g(x)在 所以a≠0（当a=0时曲线变为y=2x (一∞，0)上单调递增，g(x)在(0，十∞) 十1与已知直线平行)， 由/y=2x-1, 上单调递减，则g(x)的最大值为g(0) ya2+(a+2)x+1消去 =0,故g(x)≤0恒成立，故f(x)≤0 在R上恒成立，所以f(x)在R上单调 得a.x十ax十2=0.由△=a2-8a=0, 递减，即函数f(x)的单调减区间为 解得a=8. (-,十00). 法二：同法一得切线方程为y=2x一1. [答案]D 设y-2x-1与曲线y=ar2+(a十2)x (2)[解]函数f(x)的定义域为(0， +1相切于点（x0,a.x号十(a十2)xo十1). +oo),f(x)=(x-2e)In x-x- 因为y'=2ax+(a+2), 2e2,所以f(--2g+1nx, 所以y1=5,=2axo+(a十2). 由2a.xo+(a+2)=2. 设g(x)=f(x)=-2g+1n,因为 lax+(a+2)x0+1=2xo-1, x 解得人=-2 y 2e ,y=lnx都在(0，+∞)上单 (a=8. 调递增，所以g(x)在(0，十∞)上单调 答案：8 递增，且g(e2)=0,所以x∈(0，e2) 第2节 时，g(x)<0,f(x)<0,f(x)单调递 自主诊断查验思考辨析 减；x∈(e2,十∞)时，g(x)>0,f(x) (1)×(2)× (3)/(4)/ >0,f(x)单调递增.所以f(x)在 小题查验 (0,e2)上单调递减，在(e2,+∞)上单 1.A[当x∈(-3,0)时，f'(x)<0,则 调递增 f(x)在（一3,0）上是减函数，其他判断 跟踪训练 均不正确，门 1.D [由f(x)=x·ex-e+1,得 2.A[由图象上任意一点P(x0,yo)处 f(x)=(x+1-e)·e2,令f(x)>0, 的切线方程为y=(x号十x0一2)x十 解得x>e一1，所以函数f(x)的递增 (%-x8-x8+2x0), 区间是(e-1,十∞).] 知f(x)的导数为f(x)=x2+x-2, 2.解：因为f(x)=x2一(1nx)2,其中 令f(x)<0,解得-2x1.] x∈(0，+o∞)，则f(x)=2x-2lnE 3.解析：f(x)=sinx十rcos x-sinx =xcosx, 设g(x)=2x-2n兰，则g(x) 令f'(x)=rcos x>0,则其在区间 （一，x)上的解集为（一，一受）和 2(22+In)()=2+In (0,受)即函数f(x)的单调递增区 -1,可得/(x)=2x+1>0恒成立， 受)*(0.受)片 所以h(x)为(0，十o∞)上的增函数，且 间为（一π，一 h(1)=0,所以g(x)在(0,1)上单调递 答案：(-x,-受)和(0，受） 减，在(1，十∞)上单调递增，所以 g(x）min=g(1)=2,所以f(x)mn=2 4.解析：一般地，由f(x)>0能推出f(x) >0,所以f(x)>0,所以f(x)在 为增函数，反之，则不一定，如函数f(x) (0,十∞)上单调递增， =x3在区间（一∞，十∞）上单调递增， 题型2 但是f(x)≥0，因此f(x)>0是函数 [典例][解]f(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案：充分不必要 5.解析：法一：由y=1- 京≥0，得x≤ (a.x2-2)(x-1) -a或x≥a. 当a0时，x∈(0,1)时，f(x)>0, f(x)单调递增，x∈(1，十o∞)时， “y=x十《的单调递增区间为(-∞， f(x)<0,f(x)单调递减」 -a],[a,+∞). 当a>0时，f'(x) ,函数在[2，十∞)上单调递增， ∴.[2，十∞)二[a,+o∞)，∴.a2. (√周)(+√) 又a>0,.0<2. 法二-1艺猴题意知1-学≥0 ①当0a<2时层>1. 在x∈[2，十o∞)上恒成立，即a2≤x2 恒成立， f(x)>0,f(x)单调递增， x∈[2，+o∞)，x2≥4，a2≤4， ,2)时，f(x)<0,f(x) 又a>0,.0a2. 当x(1Wa) 答案：(0,2] 单调递减。 ·398·选择性必修第二册 d 第三章 导数及其应用 第1节导数的概念及其几何意义、导数的运算 ★[课程标准] 1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则， 能求简单复合函数（仅限于形如y-f(ax十b)的复合函数）的导数. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 续表 1.函数y=f(x)在x=xo处的导数 函数 导函数 (1)定义：设函数y=f(x),当自变量x从xo变到 x1时，函数值从f(xo)变到f(x1),函数值y关 y=logax(a>0, y'= ,特别 于x的平均变化率为Ay=）一fx) a≠1) 地(lnx)' △x x1-x0 y=sin x y' f(xo+△x)-fo）.当趋于0即△x趋于0 △x y-cos x y'= 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个 值就是函数y=f(x)在点xo的瞬时变化率.在数 y=tan x y= 学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在点xo处的 4.导数的运算法则 导数.通常用符号f(xo)表示，记作f(xo)= lim f）-fo)-1imm 若f(x),g'(x)存在，则有： f(xo+△x)-f(xo) ,,T一x0 △x (1)[f(.x)±g(x)]'= (2)几何意义函数y=f(.x)在xo处的导数f(xo),是 (2)[f(x)·g(x)]'= 曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的 3D-PDg-KD(D) 2.函数y=f(x)的导函数 g(x)」 g(z) 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每 5.复合函数的导数 一点x处都有导数f'(x)=lim 般地，对于两个函数y=f(u)和u=p(x) ,那么f(x)是关于x的函数，称f(x)为 ax+b,如果给定x的一个值，就得到了u的值， y=f(x)的导函数，也简称为导数.有时也将导 进而确定了y的值，那么y可以表示成 数记作y ,称这个函数为函数y=f(u)和u=p(x) 3.基本初等函数的导数公式 的 ,记作 ,其中u为中间 函数 导函数 变量.复合函数y=f(p(x)对x的导数为yx' [f((x)]'=f(u)g'(x).其中u=o(x). y=c(c是常数) y- …重要结论。 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函 y=x(a是实数) 3p1 数，周期函数的导数还是周期函数. 2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x) y ,特别地 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向， y=a'(a>0,a≠1) (ex)'= 其大小f(x)川反映了变化的快慢，|f(x)川越 大，曲线在这点处的切线越“陡” ·46· 主题二第三章导数及其应用 自主诊断查验 2.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的 ◆[思考辨析] 图象可能是 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“/”，错误的打“X” (1)y=∫(x)在点x=xo处的函数值就是函数 y=f(x)在点x=xo处的导数值. ) (2)求f(xo)时，可先求f(xo)再求f(xo).( 严本. (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ) 3.已知函数f(x)=x(19+lnx),若f'(xo)=20, (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 则x0= 切线 ( A.e2 B.1 C.In 2 D.e (5)若f(x)=f'(a)x2+lnx(a>0),则f(x) 4.(多选)下列求导数运算正确的有 ) 2xf'(a)+ A.(sin x)'=cos x 1 ◆[小题查验] C.(log3 x)'= 3In x D.(lnx)'=1 1.设f(x)为R上的可导函数，且f(1)=1, 5.(忽视切点的位置致误)(BSD选择性必修第二册 则1imf)-f1+2△x) P56习题2一2A组T5改编)已知函数f(x)= △x 2x3一3x,过点M(0,32)作函数f(x)的切线，则 A.2 B.-2 C.1 D.-1 切线方程为 跃升>关健能力 题型突破素养提升 题型1{ 导数的概念 题后反思 1.已知函数f(x)=2lnx十8.x, 根据导数的定义，求函数y=f(x)在x=x0处导 则lim f1+2△x)-f1D的值为 数的步骤 △x (1)求函数值的增量△y=f(x0十△x)一f(xo); A.-20 B.-10 C.10 D.20 (2)求平均变化率Ay=fxo十△x)-f(o) 1在x=1处的导数. △x △.x 2.用导数的定义求函数y= (3)计算导数f(x0)=lim △y 题型2 导数的计算 1.下列求导运算正确的是 A.(el-)'=el-x B.(cos 3x)'=-sin 3x C.(Wx-I)'= 2 Vr-1 D.(xln x)'=1+In x 2.(2025·全国一卷)若直线y=2x十5是曲线y er十x+a的一条切线，则a= 3.求下列函数的导数. (1)y=x2sin x; ·47· 高考总复习数学(BS) (2)y=1nx+1 …方法指导 (3)y=c0s 1.已知切点A(xo,f(xo),求切线方程的步骤 (1)求斜率k,即求该点处的导数值：k=f(x0): (2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程： y-f(xo)=f(xo)(x-xo). (5)y=ln(2x-5). 2.求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(xo,yo)是切点时，切线方程为y一y0 =f'(xo）·(x-xo). (2)当点P(xo,yo)不是切点时，可分以下几步 完成： 第一步：设出切点坐标P(x1,f(x1); 第二步：写出过点P'(x1,f(x1)的切线方程 y-f(x1)=f(x1)(x-x1); 第三步：将点P的坐标(xo,yo)代入切线方 程求出x1; 第四步：将x1的值代入方程y一f(x1） f'(x1)(x一x1)可得过点P(xo,yo)的切线 方程 易错警示 求切线方程的“在”“过”两重天 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象（切 方法指导 线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线 函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对 方程的方法进行求解. 函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算 (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求 量，提高运算速度，减少差错 导，代入点的横坐标得到斜率. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将 是切点，故应先设切点，求切点坐标. 函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使 [命题点2]求参数的值（范围） 用商的求导法则，减少运算量 4.已知P是曲线C:y=lnx+x2+(√3-a)x上的 (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层 一 动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为O, 次，通过设中间变量，确定复合过程，然后 求导. 若等<0<受，则实数a的取值范围是 ( 题型3 导数的几何意义及应用 A.[2√5,0) B.[2√2,0) [命题点1 求切线方程 C.(-o∞，2√3 D.(-∞，2√2] 1.(2024·全国甲卷)设函数fx)=e十2sin,则 5.若直线y=kx与曲线y=log3x相切，则实数k= 1+x2 ( 曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所 A.eln 3 B.elogse 围成的三角形的面积为 A吉 D.loge C.2 e片 e 解题技法 2.已知曲线y= 上一点P2,),则过点P的 利用导数的几何意义求参数的基本方法 切线方程为 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得 3.已知函数f(x)=alnx(a≠0)，过原点作曲线y 到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式 f(x)的切线1，则切线1的斜率为 (组)，进而求出参数的值或取值范围， ·48· 主题二第三章导数及其应用 [命题点3]两曲线的公切线 (3)求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲 典例](1)(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x 线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更 在点(0，I)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a 清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其 的切线，则a (2)若过点P(1,m)可以作三条直线与曲线C: 中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线 与直线相切，直线与抛物线相切可用判别 y=之相切，则m的取值范围为 ( 式法。 3 B.o.) 跟踪训练 C.(-∞，0) () 1.(多选)已知函数f(x)=√-lnx,若f(x)在 x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则() …解题技法 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲 A+ √x1√x2 线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： B.x1x2<128 ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切 C.x1+x2<32 线上；③切点在曲线上. D.x￥+x>512 (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的 2.已知曲线y=x十lnx在点(1,1)处的切线与曲 切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切 点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P 线y=a.x2十(a十2)x十1相切，则a 处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一 C温馨提污 定在切线上，不一定在曲线上： 学习至此，请完成配套训练 课时冲关16 第2节 利用导数研究函数的单调性 ★[课程标准] 1.了解函数的单调性与导数的关系， 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 3.能利用导数解决有关不等式、参数等问题. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 自主诊断查验 1.函数的单调性与导数的关系 ◆[思考辨析] 函数y=f(x)在某个区间内可导： 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)>0, 里打“/”，错误的打“X” 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； (1)f'(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.() (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)<0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减； (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图 (3)若在某个区间内，子(x)≥0且只在有限个点为0， 象就越“平缓” 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有'(x)=0, (4)若在某个区间内，f(x)≤0且只在有限个点为0， 则f(x)在此区间内为常数函数。 ( ) 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. (4)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的 2.求函数单调区间的步骤 单调递增区间意义不一样。 ) (1)求定义域. ◆[小题查验] (2)求导. 1.如图所示是函数f(x)的导 (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0 函数f(x)的图象，则下列判 y=f(x 求单调递减区间. …重要结论， 断中正确的是 () 1.f'(x)>0(或f(x)<0)是f(x)在(a,b)内单 A.函数f(x)在区间（一3,0） 调递增（或递减）的充分不必要条件； 上是减函数 2.若f(x)可导且f(x)=0不恒成立，则f(x) B.函数f(x)在区间（一3,2）上是减函数 ≥0（或f(.x)≤0）是f(x)在(a,b)内单调递增 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 (或递减)的充要条件. D.函数f(x)在区间（一3,2）上是单调函数 49