第四章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

必修第二册 第四章 三角函数、解三角形 第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数 ★[课程标准] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 3.正弦函数、余弦函数的定义 1.角的概念的推广 (1)如图，给定任意角&，作单位圆，角α的终边与单 (1)定义：平面内 位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v,横坐 OA绕着它的 按箭 标u都是唯一确定的，我们把点P的纵坐标v 头所示方向 到终止 定义为角a的正弦值，仍记作v=sina;把点P 位置OB,形成角a.其中点O是角a的顶点，射 的横坐标“定义为角a的余弦值，仍记作u= 线OA是角a的 ,射线OB是角a的 cos a. (2)设角α终边上除原点外的 (2)按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、 点Q(x,y),则sina= -;cos a 零角 (3)按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角分 ,其中=√2+ 类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象 4.正切函数的定义 限角.如果角的终边在坐标轴上，这个角就不 属于任何象限. (I)根据函数的定义，比值sn工是x的函数，称为 cos a (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同 x的正切函数，记作y=tanx,其中定义域 角a在内，可构成一个集合S={3|B=a+k· 360°，k∈Z}. 为{红∈Rx≠受+x,k∈Z, 2.弧度制的定义和公式 (2)在角a的终边上任取一点Q(x,y)(x≠0)，则由 (1)定义：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆 心角称为1弧度的角，其单位用符号 正切函数的定义，得tana= sin a cos a 表示，读作 在单位圆中，每一段弧的 5.三角函数的符号 长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以 三角函数 正弦 余弦 正切 作为单位来度量角的方法，称作弧度制. (2)公式 I + + Ⅱ (弧长用1表示) 各象 角a的弧度数公式 lal=- Ⅲ + 限符号 I + ①1=06ad: 口诀 全正、二正弦、三正切、四余弦 角度与弧度的换算 ·重要结论。 ②1rad= 1.若a分别为I、Ⅱ、Ⅲ、V象限 弧长公式 弧长= 角则号所在象限如图： 2.一个结论：若a∈ 扇形面积公式 则tana>a>sina. 70 主题二第四章三角函数、解三角形 自主诊断查验 A.{aa=k·360°+457°，k∈Z ◆[思考辨析] B.{ala=k·360°+97°，k∈Z 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 C.{aa=k·360°+263°，k∈Z 里打“√”，错误的打“X” D.{aa=k·360°-263°，k∈Z (1)锐角是第一象限角，反之亦然， 3.设a角属于第二象限，且 cos -c0s2 (2)三角形的内角必是第一、第二象限角.( (3)不相等的角终边一定不相同. 则号角属于 ( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (5)a为第一象限角，则sina十cosa>1.( ◆[小题查验] 4.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是 1.(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是 144mm,则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数 为 A.160° B.480° 5.(忽视对角终边位置的讨论致误)若α的终边所 C.-960° D.1530° 在直线经过点P cos in ,则sina= 2.(BSD必修第二册P8练习T3改编)与一457°角 终边相同的角的集合是 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1〔 角的集合表示及象限角的判定 1跟踪训练 [典例](1)（多选)如果角a与角y+45°的终边 1.集合{akx十于<<kr十5，kEZ}中的角所表 相同，角3与Y一45的终边相同，那么α一β的可 能值为 示的范围（阴影部分）是 A.90° B.360° C.450° D.2330 (2)如果α是第三象限的角，则角一α的终边所在 位置是 ,角2a的终边所在位置是 长名小 O[互动探究] 2.若角a满足a 3 (k∈Z),则α的终边一 6 在本例(2)的条件下，角号终边所在的位置 定在 是 A.第一象限或第二象限或第三象限 解题指导 B.第一象限或第二象限或第四象限 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件 C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所 D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值 题型2( 扇形的弧长及面积公式 来求得所需角. [典例]已知扇形周长为40，当它的半径和圆心 (2)表示区间角的三个步骤 角分别取何值时，扇形的面积最大？ ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止 边界 [关键突破点]建立扇形的面积S与其半径 ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 r的函数关系式求解. 一360°~360°范围内的角α和B,写出最简区间. ③起始、终止边界对应角a,B再加上360°的 整数倍，即得区间角集合· (3)已知角a终边所在的象限，求2a、号x一a等 角的终边所在象限问题，可由条件先写出α 的范围，解不等式得出角2a,号、x一Q等的范 围，再根据范围确定象限. 71 高考总复习数学(BS) O[互动探究] 题型3 三角函数的定义 本例条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为 [母题]设角a终边上一点P(一4a,3a)(a<0), AB=12”,试求弧长1. 则sina的值为 [子题1]若母题中“a<0”,改为“a≠0”，则sina 的值为 [子题2]已知角a的终边在直线3.x+4y=0上， 求sina,cosa,tana的值. 方法指导 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意 角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次 函数的最值问题，利用配方法使问题得到 解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理 地利用圆心角所在的三角形， 日跟踪训练 1.屏风文化在我国源远流长， 可追溯到汉代.某屏风工艺 [子题3]如图所示，在平面直角坐 厂设计了一款造型优美的扇环 标系xOy中，动点P、Q从点 形屏风，如图，扇环外环弧长为 A(1,0)出发在单位圆上运动，点 3.6m,内环弧长为1.2m,径 P按逆时针方向每秒钟转器弧 长（外环半径与内环半径之差）为1.2m,则该扇 环形屏风的面积为 m2. 度，点Q按顺时针方向每秒饰转弧度，则 2.刘徽（约公元225年—295 P、Q两点在第4次相遇时，点P的坐标是( 年)，魏晋期间伟大的数学 家，中国古典数学理论的奠 9 13 基人之一.他在割圆术中提 22 出的“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， c 则与圆周合体而无所失 规律总结 矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术 用定义法求三角函数值的两种情况 的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成 (I)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点 n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时， P到原点的距离，然后用三角函数的定义 这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积， 求解； 运用割圆术的思想得到sin3°的近似值为(） (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设 A 出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距 B.180 C.270 D 离，然后用三角函数的定义来求解. ·72· 主题二第四章三角函数、解三角形 题型4 三角函数值的符号 3.已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边上一 点P(sin3,cos3),若0≤a≤2π，则a=( 1.下列各选项中正确的是 ( A.3 A.sin300>0 B.cos(-305°)<0 B-3 c.-3 D.3- …题后反思 22 C.tan 3π>0 D.sin 10<0 熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函数值 在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三 2.0是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是 正切、四余弦. C温馨提 0 A.sin B.cos 2 C.sin 20 D.cos 20 学习至此，请完成配套训练 课时冲关24 2 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 ★[课程标准] 1,理解同角三角函数的基本关系式：sin2a十cos2a=l,ng=tana. cos a 2.掌握诱导公式，并会简单的应用， 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 自主诊断查验 1.同角三角函数的基本关系 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1. 里打“√”，错误的打“×” (2)商数关系 sina=-tan aa≠+kx,k∈Z (1)若a,3为锐角，则sin2a十cos2B=1.( cos a 2 (2)若a∈R,则tana 2.三角函数的诱导公式 sinc恒成立. cos a (3)sin(π十a)=一sina成立的条件是a为锐角. 公式 三 四 六 2kπ十a 角 元十a a (k∈Z) 2+a 4若sin(经-则os=- 3 . 正弦 sin a (5)若sin(kx一a)= ∈，则sg=子( 余弦 cos a ◆[小题查验] 正切 tan a 1.若sina= 3,且a为第二象限角，则tana的值 函数名改变， 口诀 函数名不变，符号看象限 等于 () 符号看象限 …重要结论· 号 c D.- 5 1.诱导公式的记忆口诀 2.已知sim(至+a号则cos(至-a的值等于 奇变偶不变，符号看象限」 2.同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); A号 B号 D. 3 3.(BSD必修第二册P24练习T4改编)已知角a是 cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a). 第二象限角，sina=3,则cosa ( ) (2)(sina士cosa)2=1士2 sin acos. (3)sina=tan acos aa≠T+kx,k∈Z A-号 2 (4)sin2a= sin2a tan2a 4.若sin0cos0= 之，则tan0+cos0 sin 0 sin a+cos2a tan2a+: 5.(对诱导公式理解不对致误)若sim(晉-。号 cos2a 1 sin a+cos a tan a+1 则cos(g+2） 73命题点2 [例[解](Df(x)-异1 a=2,其中x>-2若a≤0，则f(p） x+2 <0在（一2，十∞）上恒成立，故f(x)在 (一2，十)上为减函数，故f(x)无最 值.若a>0,当x∈(-2，a-2)时， f(x)>0;当x∈(a-2,+o)时， f'(x)<0:故f(x在(-2，a-2)上为 增函数，在(a一2，十∞)上为减函数， 故f(x)max=f(a-2)=alna-a十2， f(x)无最小值. (2)证明：方程ex= >0),即为me2+x+lnn=x十2+ ln(x十2)，故ex+lnm十lne+nm=x十 2+ln(x+2),因为y=x+lnx为(0， 十o∞)上的增函数，所以x十2=e+lnm =me,所以关于x的方程e=2 n 六n平2m>0)有两个不等的实数 江 根xx2,即x十2=ne有两个不同 的实数根x1,x2.,所以x1十2=e, x2十2=ne5所以x1-x2=m(e e),不妨设x1>x2t=工1一x2,故 ei十e=(e十e')-2 m(e一e)要 证十>2，即证(+西)· n 一一>2，即证(6+1)· m(eh -e:)m ”>2.即运(e+D>2 e'1-2-1 (t>0),即证(e+1)t>2e-2(t>0), 设s(t)=(e+1)1-2e+2,则s'(t)= e+1+te'-2e=(t-1)e'+1,故 "(t)=te>0,所以s√(t)在(0，十o∞) 上为增函数，故√(t)>(0)=0,所以 s(t)在(0，十∞)上为增函数，所以s(t) >0)=0,故十e>2成立. n 命题点3 [例5][解](1)因为g(x)=lnx mx.g (r)-1-mE ①当m≤0时，因为x∈[1，e],所以 g(x)>0,所以函数g(x)在[1，e上 单调递增，则g（r)max=g(e)=1 -me; ②当 ≥e,即0m<时e1, g(x)>0,所以函数g(x)在[1，e]上单 调递增，则g(x)max=g(e)=1一ne; ®当1<m <e,即 1<m<1时，函数 e g()在（1，品)上单调递增，在 (me）上单调递减，则g(r)ms /1 ④当0<1≤1，即m≥1时，x∈[1， e],g(x)≤0，函数g(x)在[1，e]上单 调递减，则g(x)max=g(1)=一m. 棕上，当m≤。时，8)一ge) ne当6≤m<l时，g(r）ma 参考答案 g(分)-1hm-1当m≥1时 限；当k=2m十1，n∈Z时，号在第三 g(r)max-g(1)=-m. (2)证明：要证xr1x2>e2,只需证： 象限“号在第一象限或在第三象 In x+In x2>2, 若f(x)有两个极值点x1,x2,即函数 限os=-cos号c0s号 f(x)有两个零点，又f'(x)=lnx mc,所以x1,2是方程f(x)=0的 <0,号角在第三象限.] 两个不同实根， 即n凸-nx1=0, 4.解析：由孤长公式l=ar,得a=L= tIn x2-mx2=0, 解得n= In x+In x2 144=1.2孤度 120 x1+x2 答案：1.2 另一方质，尚0 5.解析：，直线经过二、四象限，又点P 在单位圆上，若α的终边在第二象限， 得lnx2-lnx1=m(x2-x), 则sina=sin ,若α的终边在 从而可得也 4 2 _血+ln2, 第四象限，.sina= 之，综上可知 x1+x2 于是lnx1+lhx2 sina-土2 2 (In r2-In)(2+) x2-x] 答案： 2 +)h盘 跃升·关键能力题型1 [典例](1)[解析](1)因为角α与角 2一1 y+45°的终边相同，故a=y十45°十k ·360°，其中k∈Z,同理3=y-45°+ 不妨设0<<2，设1=2，则>1. k1·360°，其中k1∈Z,故a-3=90°十 1·360°，其中1∈Z,当n=0或1=1 因此lnx1十lnx2 (1+0ln,>1. 时，a-3=90°或a-3=450,故A、C正 t-1 确；令360°=90°十n·360°，此方程无整 要证lh十l血2>2，即证十1h 数解n:令2330°=90°+i·360°，即56= t-1 91,此方程无整数解1，故B、D错误. >2,t>1, [答案]AC 即当>1时，有1h1>2t-1 (2)[解析]由α是第三象限的角得 t+1 x+2张x<a<受+2k&∈Z-受 设函数h(t)=lnt 2(t-1) ,t≥1， t+1 1 2(t+1)-2(1-1) -2k<-<-元-2k,即十2kx 则h'(t)= (t+1)2 一a<π十2kπ(k∈Z),∴.角一a的终 +1)≥0，所以h()为(1，+∞)上 (t-1)2 边在第二象限，由x十2kx<e<经+ 的增函数.注意到，h(1)=0,因此， 2kπ(k∈Z),得2π+4kπ2a<3π+ h(t)≥h(1)=0. 4kπ(k∈Z),·角2a的终边在第一、二 象限及y轴的非负半轴， 于是，当>1时，有1n>2(1-1D t+1 [答案]第二象限第一、二象限及 y轴的非负半轴 所以lnx十lnx2>2成立，1>e2. 互动探究 主题二第四章 第1节 复盘·必备知识必备知识掌握 解析：因为x+2ra<经+2kE. 1.(1)一条射线端点O旋转始边 终边 所以+警<号<吾+ 3 3 3 3 2ad弧度或度(3（受） (k∈Z). 当=3n∈0时，登+2m<号<受 lalr rar2 2 +2iπ(n∈Z): 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)×(4)、/ (5)/ 当k=3m+1(n∈Z)时，x+2m<号< 小题查验 1.ABC[480°=360°+120°；-960°= +2mn∈ZD: -3×360°+120°：1530°=4×360°+ 90°.故属于第二象限角的是ABC.] 当k=3n十2n∈)时，+2nx<号 2.CL263°=-457°+360°×2，所以 263°角与一457°角的终边相同，所以与 <号x+2 (nE). 一457°角终边相同的角可写作α=k· 360°+263°，k∈Z.J 综上，号的终边在第一、三、四象限. 3.C[a是第二象限角，，.90°十k· 答案：第一、三、四象限 360°<a<180°+k·360°，k∈Z, 跟踪训练 六45+k.180<号<90+k180, 1.C[当k=2m(n∈Z)时，2mx+牙≤a k∈Z.当k=2n,n∈Z时，号在第一象 ≤2mx十受，n∈乙，此时。表示的范国 ·409· 高考总复习数学(BS) 与于≤a≤受表示的范国一样：当k- [子题2]解：设α终边上任一点为 P(-4a,3a), 2m+1(n∈Z)时，2x十+千≤a≤ 当a>0时一50sim。-号， 2mx十元十受，n∈乙，此时a表示的范 cosa=-,tane--； 4 国与至十≤≤受十元表示的范国 当a<0时，r=-5a,na=-是 一样.] 4 2.D[当-0时a-吾，终边位于第 [子题3]C[相逼时间为t=4×2π÷ 一象限：当一1时8一晋终边位于 (臣+晋)8秒，故P特过的角度 第二象限：当人-2时，。-受终边位 为臣×8=号，共对应的坐标为 于y轴的非正半轴上；当k=3时，a= 2十否，终边位于第一象限，综上可 (om号)脚(）门 知，α的终边一定在第一象限或第二 题型4 1.D[300°=360°-60°，则300°是第四 象限或y轴的非正半轴上.] 题型2 象限角，故sin300°<0：-305° [典例门[解]设圆心角是0，半径是 -360°+55°，则-305°是第-象限角， r,则2r+r0=40. 故os(-3055>0:而-号x--8x+ 又S=含6㎡=240-2)=r(20-) 号所以一号是第二象限有，就 =一(r-10)2+100100.当且仅当r 1am(-号x)<0,周为3x<10<名x, 7 -10时，Smax-100,此时2×10+100 =40,0=2.所以当r=10,0=2时，扇 所以10是第三象限角，故sin100.] 形的面积最大， 互动探究 2.C.[因为0是第二象限角，所以2kπ十 解：设半径为r则由6=sin60°， 2<0<2kx+x,k∈Z,则4kx+元<20 <4kπ十2π，k∈Z,所以20为第三或第 r=4原1-lalr=8 四象限角或终边在y轴负半轴上，所 3 π. 以sin200,cos20的符号不确定.而 跟踪训练 1,解析：设扇形的圆心角为，内环半径 kx+<号<k+受k∈Z,号是第 为rm,外环半径为Rm,则R一r= 一象限或第三象限角，正弦值、余弦值 1.2m,由题意可知a·r=1,2m,a·R =3.6m,所以a(R十r)=4.8m,所以 不一定是负数，] 该扇环形屏风的面积为： 3.C[因为角a的终边上一点P(sin3, S号aR-P)=合a(R+rR-r） cos3),所以tana-cos3 1 sin 3 tan 30, 又cos30,sin3>0,所以a为第四象 -×4.8×1.2-2.8m2 限角，所以a=2kx十受-3，k∈乙，又 答案：2.88 2.D[设圆的半径为R,依题意知小扇 因0≤a≤2x,所以a-受-3.] 形的圆心角为3°，依题意，小扇形的面 积近似等于小等腰三角形的面积，故 第2节 ×3-之×R×m3,化药粉 复盘·必备知识必备知识掌握 360 2.-sin a-sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a 一tana 题型3 自主诊断查验思考辨析 [母题][解析]第一步：利用两点间 (1)×(2)× (3)×(4)/(5)× 的距离公式求出，点P到坐标原点的距 小题查验 离r, 5 设P与原，点的距离为r, 1.D[因为sina=3,且a为第二象限 .P(-4a,3a),a<0, V小-sma= 12 角，得c0sa=- ∴.r=√(-4a)2+(3a) 13, =5a=-5a. 所以tana- 第二步，利用任意角的三角函数定义式 cos a 求出sina的值. .sin a=3a 3 2.B[因为子十a与至-8豆余， 5a 5 [答案]- 3 所以cos(牙-a）】 [子题1]解析：当a<0时，sina= -n(任+e）=子] 3 3 3.A[因为角a是第二象限角，所以 号；当a>0时，r=5a,sina= cosa<0,又sin2a十cos2a=1,所以 答案：一或号 osa=--ma=是] ·410· 1.解析：an0+8-09+8 sin a cos 0 sin a 1 cos Osin =2. 答案：2 5.解析：cos (5+2） os[-(号-2)] -(-20） =-1+2m(-）-子 7 答案：- 7 跃升·关键能力题型1 1.B[P点的纵坐标为一60，且cosa <0,所以P在第三象限，所以 5 sin a=- V-wa-是 1 Tana=1cI21一十nm cos a 5'sin a 13,5 8 12+12=-12= 2.C[用为器二号-2，所以如0 3cos0,所以sin0,cos0同号，即 sin 0cos >0,sin20+cos20=9cos20+ cos29=10cos20=1,cos20=10,从而 sin0=品sin20cos0-品0所以 sin0cos0=i0· 3 sin 0(1+sin 20) sin 04 cos 0 sin sin20+cos20+2sin dcos 0) sin 0+cos 0 sin 0(sin 0+cos 0)=sin20+sin Ocos 0 -品+品-] 3.解：(1)法一：联立方程 1 sina+cosa=5，① (sin2a+cos2a=1,②@ 由①得cosa=方 1 一sina,将其代入 ②，整理得25sin2a-5sina-12=0. α是三角形内角， 4 （sina= 5 ,'tan a=- 4 3 cos a=- 法二：sina十cosa= 1 5, ∴(sina+cosa)2= 112 即1十2 sin acos a=25' ∴.2 sin acos a= 24 25 (sin a-cos a)2-1-2sin acos a -1+器-器 ..'sin acos a- <0，且0<a<不： 25 .'sin a0,cos a<0,sin a-cos a>0. .'sin a-cos a= 7 5 1 (sin a+cos a= 由 7 sin a-cos a-5