主题1 第1章 第3节 第1课时 不等式的性质-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式”专题，依据课程标准和高考评价体系，系统梳理了比较大小（作差法、作商法）、不等式性质及应用等核心考点，通过真题分析明确“性质应用”“大小比较”为高频考点，归纳出三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+方法提炼+素养提升”，如以高考比较大小题为例，详解作差法与构造函数法，培养学生数学思维和推理能力。针对不等式性质判断，总结“特殊值验证+逻辑推理”技巧，帮助学生精准突破易错点，教师可依托课件实施分层教学，助力学生高效冲刺高考。

主题一 预备知识（必修第一册） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第3节　不等式 第1课时　不等式的性质 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.3.掌握不等式的性质及应用． 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a　＞　b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b＜0⇔a　＜　b.)) (2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1⇔a　＞　ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＜1⇔a　＜　ba∈R，b＞0.)) 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 性质1 如果a＞b且b＞c，那么a＞c ⇒ 性质2 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c ⇔ 性质3 如果a＞b，c>0那么ac>bc； 如果a＞b，c＜0那么ac＜bc c的符号 性质4 如果a＞b，c>d，那么a＋c＞b＋d ⇒ 性质5 如果a>b>0，c>d>0，那么ac＞bd 如果a>b>0，c＜d＜0，那么ac＜bd ⇒ 性质6 当a＞b＞0时，eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N＋，n≥2) a，b同为正数 不等式的一些常用性质 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)；(2)a＜0＜b⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b). 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0)； (2)eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (3)同向不等式具有可加和可乘性．(　　) (4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒eq \f(a,d)＞eq \f(b,c).(　　) (5)若ab＞0，则a＞b⇔eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M >N　　　　　　　 B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：A　[M－N＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，所以M>N.] 2．若a，b都是实数，则“eq \r(a)－eq \r(b)＞0”是“a2－b2＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[eq \r(a)－eq \r(b)＞0⇒a＞b≥0⇒a2＞b2⇒a2－b2＞0，反之不成立，∴“eq \r(a)－eq \r(b)＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件．] 3．(多选)对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A．若a＞b，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B．若a＞b，则ac2≥bc2 C．若a＞0＞b，则a2＜－ab D．若c＞a＞b＞0，则eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b) 解析：BD　[根据a＞b，取a＝1，b＝－1，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)不成立，故A错误；∵a＞b，∴由不等式的基本性质知 ac2≥bc2成立，故B正确；由a＞0＞b，取a＝1，b＝－1，则a2＜－ab不成立，故C错误；∵c＞a＞b＞0，∴(a－b)c＞0，∴ac－ab＞bc－ab，即a(c－b)＞b(c－a)，∵c－a＞0，c－b＞0，∴eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b)，故D正确．] 4．(BSD必修第一册P26练习T5改编)已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中成立的是(　　) A．ac＞bc B．eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) C．a2＞b2 D．a＋c＞b＋c 解析：D　[当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确；当a＞0，b＜0时，不等式eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)不成立，故B不正确；当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确；由不等式的性质知，选项D正确．] 5．(忽视不等式的性质致误)若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是________． 解析：∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2， ∴－1<a－b<2. 答案：(－1,2) 比较两个数(式)的大小 [典例]　 (1)若0＜b＜a＜eq \f(1,e)，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(　　) A．x＜z＜y　　　　　 B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x [解析]　∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb， ∴y－z＝a(ea－eb)， 又a＞b＞0，e＞1，∴ea＞eb，∴y＞z， z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，又a＞b＞0，eb＞1∴z＞x， 综上，x＜z＜y. [答案]　A (2)已知M＝eq \f(e2 023＋1,e2 024＋1)，N＝eq \f(e2 024＋1,e2 025＋1)，则M，N的大小关系为________． [解析]　法一：M－N＝eq \f(e2 023＋1,e2 024＋1)－eq \f(e2 024＋1,e2 025＋1) ＝eq \f(e2 023＋1e2 025＋1－e2 024＋12,e2 024＋1e2 025＋1) ＝eq \f(e2 023＋e2 025－2e2 024,e2 024＋1e2 025＋1)＝eq \f(e2 023e－12,e2 024＋1e2 025＋1)＞0， ∴M＞N. 法二：令f(x)＝eq \f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq \f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq \f(1,e)＋eq \f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N. [答案]　M>N 比较两个数大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法． (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤． (3)特值验证法：对于一些小题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小． (4)构造函数法：若几个量形式相同，可构造函数，使得几个量可能视为该函数的出数值，则只需判断函数的单调性即可比较大小． 1．希罗平均数(Heronianmean)是两个非负实数的一种平均，若a，b是两个非负实数，则它们的希罗平均数H＝eq \f(a＋\r(ab)＋b,3).记A＝eq \f(a＋b,2)，G＝eq \r(ab)，则A，G，H从小到大的关系为________．(用“≤”连接) 解析：由基本不等式可知，G≤A，当且仅当a＝b时等号成立；因为H－G＝eq \f(a＋\r(ab)＋b,3)－eq \r(ab)＝eq \f(a－2\r(ab)＋b,3)＝eq \f(\r(a)－\r(b)2,3)≥0，当且仅当eq \r(a)＝eq \r(b)，即a＝b时等号成立，所以H≥G；因为H－A＝eq \f(a＋\r(ab)＋b,3)－eq \f(a＋b,2)＝eq \f(－a＋2\r(ab)－b,6)＝－eq \f(\r(a)－\r(b)2,6)≤0，当且仅当eq \r(a)＝eq \r(b)，即a＝b时等号成立，所以H≤A.综上所述，G≤H≤A，当且仅当a＝b时等号成立． 答案：G≤H≤A 2．若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 2,2)，比较a与b的大小． 解：因为a＝eq \f(ln 3,3)＞0，b＝eq \f(ln 2,2)＞0，所以eq \f(a,b)＝eq \f(ln 3,3)·eq \f(2,ln 2)＝eq \f(2ln 3,3ln 2)＝eq \f(ln 9,ln 8)＝log89＞1， 所以a＞b. 不等式的性质 1．已知x，y是正实数，则下列式子中能使x＞y恒成立的是(　　) A．x＋eq \f(2,y)＞y＋eq \f(1,x) B．x＋eq \f(1,2y)＞y＋eq \f(1,x) C．x－eq \f(2,y)＞y－eq \f(1,x) D．x－eq \f(1,2y)＞y－eq \f(1,x) 解析：B　[对于A，取x＝y，该不等式成立，但不满足x＞y；对于C，该不等式等价于x＋eq \f(1,x)＞y＋eq \f(2,y)，取x→0，y＝1，该不等式成立，但不满足x＞y；对于D，该不等式等价于x＋eq \f(1,x)＞y＋eq \f(1,2y)，取x→0，y＝1，该不等式成立，但不满足x＞y；下面证明B： 法一：不等式等价于x－eq \f(1,x)＞y－eq \f(1,2y)，而x－eq \f(1,x)＞y－eq \f(1,2y)＞y－eq \f(1,y).函数f(x)＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单增，故x＞y. 法二：若x≤y，则eq \f(1,2y)＜eq \f(1,x)，故x＋eq \f(1,2y)＜y＋eq \f(1,x)，矛盾，故x＞y.] 2．已知a，b，c∈R，则下列命题为假命题的是(　　) A．若a＞b，则a＋c＞b＋c B．若a＞b＞0，则a0.4＞b0.4 C．若a＞b，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＋c＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b＋c D．若a＞b＞0，c＞0，则eq \f(b,a)＞eq \f(b＋c,a＋c) 解析：D　[对于A，因为a＞b，所以a＋c＞b＋c，故A结论正确；对于B，当a＞b＞0时，因为幂函数y＝x0.4在(0，＋∞)上单调递增，所以a0.4＞b0.4，故B结论正确；对于C，因为a＞b，所以a＋c＞b＋c，而函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x为减函数，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＋c＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b＋c，故C结论正确；对于D，eq \f(b,a)－eq \f(b＋c,a＋c)＝eq \f(ba＋c－ab＋c,aa＋c)＝eq \f(cb－a,aa＋c)，因为a＞b＞0，c＞0，所以c(b－a)＜0，a(a＋c)＞0，所以eq \f(b,a)－eq \f(b＋c,a＋c)＝eq \f(cb－a,aa＋c)＜0，所以eq \f(b,a)＜eq \f(b＋c,a＋c)，故D结论错误．] 3．(多选)已知a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，则下列不等式中，一定成立的是(　　) A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．(a－b)c＜(a－c)c D．ln eq \f(a－b,a－c)＜0 解析：BD　[对于A，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，满足a＞b＞c，但ac＜bc，故A不正确；对于B，因为a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，所以c2＞0，所以ac2＞bc2，故B正确；对于C，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，满足非零实数a＞b＞c，此时(a－b)c＝(3－2)－1＝1，(a－c)c＝(3－1)－1＝2－1＝eq \f(1,2)，但(a－b)c＞(a－c)c，故C不正确；对于D，因为a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，所以－b＜－c，a－c＞0，a－b＞0，所以0＜a－b＜a－c,0＜eq \f(a－b,a－c)＜1，所以ln eq \f(a－b,a－c)＜ln 1，即ln eq \f(a－b,a－c)＜0，故D正确．] (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等． 不等式性质的综合应用 [典例]　(1)记max{x1，x2，x3}表示x1，x2，x3这3个数中最大的数．已知a，b，c都是正实数，M＝maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)＋\f(2b,c)，\f(c,b)))，则M的最小值为(　　) A.eq \r(3)　　 B．eq \r(2) C．3eq \r(3)　　 D．3eq \r(2) [解析]　因为M＝maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)＋\f(2b,c)，\f(c,b)))，所以a≤M，eq \f(c,b)≤M，所以eq \f(1,M)＋eq \f(2,M)≤eq \f(1,a)＋eq \f(2b,c)≤M，所以eq \f(3,M)≤M，即M≥eq \r(3)，当且仅当a＝eq \f(c,b)＝eq \r(3)时取等号，所以M的最小值为eq \r(3). [答案]　A (2)已知f(x)＝ax＋eq \f(b,x)，若－3≤f(1)≤0,3≤f(2)≤6，求f(3)的取值范围． [解]　由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f1＝a＋b，,f2＝2a＋\f(b,2)，)) 解得a＝eq \f(1,3)[2f(2)－f(1)]，b＝eq \f(2,3)[2f(1)－f(2)]，因此，f(3)＝3a＋eq \f(b,3)＝eq \f(16,9)f(2)－eq \f(5,9)f(1)，把f(1)和f(2)的取值范围代入，得eq \f(16,3)≤f(3)≤eq \f(37,3). ∴f(3)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，\f(37,3))). [互动探究] 若将本例(2)中条件改为设a＞0，b＞0，a≤2b≤2a＋b，则eq \f(2ab,a2＋2b2)的取值范围为________． 解析：根据a＞0，b＞0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤2b，,2b≤2a＋b，))解得eq \f(1,2)≤eq \f(a,b)≤2， eq \f(2ab,a2＋2b2)＝eq \f(2,\f(a,b)＋\f(2b,a))，令eq \f(a,b)＝t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，则t＋eq \f(2,t)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(9,2)))，所以eq \f(2,t＋\f(2,t))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(\r(2),2))). 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(\r(2),2))) 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1．(多选)已知实数x，y满足－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，则(　　) A．x的取值范围为(－1,2) B．y的取值范围为(－2,1) C．x＋y的取值范围为(－3,3) D．x－y的取值范围为(－1,3) 解析：ABD　[因为－1＜2x－y＜4，所以－2＜4x－2y＜8.因为－3＜x＋2y＜2，所以－5＜5x＜10，则－1＜x＜2，故A正确；因为－3＜x＋2y＜2，所以－6＜2x＋4y＜4.因为－1＜2x－y＜4，所以－4＜－2x＋y＜1，所以－10＜5y＜5，所以－2＜y＜1，故B正确；因为－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，所以－eq \f(9,5)＜eq \f(3,5)(x＋2y)＜eq \f(6,5)，－eq \f(1,5)＜eq \f(1,5)(2x－y)＜eq \f(4,5)，则－2＜x＋y＜2，故C错误；因为－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，所以－eq \f(2,5)＜－eq \f(1,5)(x＋2y)＜eq \f(3,5)，－eq \f(3,5)＜eq \f(3,5)(2x－y)＜eq \f(12,5)，则－1＜x－y＜3，故D正确．] 2．设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为(　　) A.eq \f(\r(2),2)－1　　　 B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D．－1 解析：B　[由a2＋b2≤c≤1，可得： a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)))2－eq \f(1,2)≥－eq \f(1,2)，当a＝b＝ －eq \f(1,2)时取等号，所以a＋b＋c的最小值为－eq \f(1,2).] $