主题1 第1章 第1节 集合-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“集合与常用逻辑用语、不等式”专题，依据课程标准和高考评价体系，系统梳理集合概念、关系、运算等核心考点，通过近三年高考真题分析明确集合运算、参数范围问题等高频考点分布，归纳四大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+易错突破+素养提升”策略，如针对集合关系中参数范围问题，通过2025年全国二卷真题解析，强化空集讨论等分类思想，培养数学思维。设“思考辨析”“跟踪训练”模块，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

主题一 预备知识（必修第一册） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1节　集　合 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．了解集合的含义，了解全集与空集的含义，体会元素与集合的属于关系． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定子集的补集． 4．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算． 1．集合的基本概念 (1)集合元素的性质：　确定性　、　无序性　、　互异性　. (2)元素与集合的关系 ①属于，记为　∈　；②不属于，记为　∉　. (3)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R (4)集合的表示方法：①　列举法　；②　描述法　；③　图示法　. 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子 集 如果集合A的　每个元素　都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，若　A包含于B　，则称A是B的一个子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集 AB(或BA) 集合 相等 如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合　相等　 　A＝B　 3.集合的基本运算 　　表示 运算 　 文字语言 集合语言 图形语言 记法 并 集 把所有集合A、B中的元素放在一起组成的集合，叫做A和B的并集，简称为并 {x|x∈A， 或x∈B} 　A∪B　 交 集 把所有　既属于A又属于B　的元素组成的集合，称为A，B的交集 {x|x∈A， 且x∈B} 　A∩B　 补 集 若A是全集U的子集，U中　不属于A　的元素组成的子集叫作A的补集 {x|x∈U， 且x∉A} 　∁UA　 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UB⊆∁UA. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)∅＝{0}．(　　) (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．(　　) (3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.(　　) (4)N⊆N＋⊆Z.(　　) (5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(2 025)}，a＝4eq \r(2)，则下面结论中正确的是(　　) A．{a}⊆A　　　　　　　 B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 答案：D 2．(2025·全国一卷)已知全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0　　　 B．3 C．5　　　 D．8 解析：C　[由题可知，全集U中有8个元素，集合A中有3个元素，所以∁UA中元素的个数为8－3＝5，选C.] 3．(2024·全国甲卷)集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|eq \r(x)∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} 解析：D　[因为A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|eq \r(x)∈A}，所以B＝{1,4,9,16,25,81}，则A∩B＝{1,4,9}，∁A(A∩B)＝{2,3,5}．] 4．(BSD必修第一册P9例6改编)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________________. 解析：因为A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1或4≤x＜5}． 答案：R　{x|－1＜x≤1或4≤x＜5} 5．(忽视空集讨论)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是　________. 解析：由题易得M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N⊆M， ∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1. 答案：0或1或－1 集合的基本概念 1．已知集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．6　　　 B．7 C．8　 　 D．9 解析：C　[因为集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}， 所以A＝{0,1,2}，因为B＝{C|C⊆A}， 所以B中的元素为A的子集，即B有23＝8个．] 2．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　) A．0 B．eq \f(1,2) C．1 D．2 解析：BD　[因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0，,－2n＋1＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝4－4m＝0，,n＝－\f(－2,2m)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝1，)) 所以m＋n＝eq \f(1,2)或m＋n＝2.] 3．设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|, 3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________． 解析：因为4∈A，即4∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))， 所以a2－3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4. 若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4； 若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2. 由a2－3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠－1. 故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}， 所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6. 综上所述，a的取值集合为{4}． 答案：{4} 4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1，m，n}，若3－m∈A，n＋1∈A，则非零实数m＋n的可能取值集合是　________. 解析：因为3－m∈A，所以3－m＝1或3－m＝2或3－m＝3， 解得m＝2或m＝1或m＝0，因为n＋1∈A，所以n＋1＝1或n＋1＝2或n＋1＝3， 解得n＝0或n＝1或n＝2， 又因为B＝{1，m，n}，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝2，)) 即m＋n＝2. 答案：{2} 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． (3)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性． 　集合间的基本关系 [典例]　(1)若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(2 025)}，实数a满足，则下列结论正确的是(　　) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A [解析]　因为，所以a2－4eq \r(3)a＋12＝0，解得a＝2eq \r(3)， 因为A＝{x∈N|x≤eq \r(2 025)}，所以a∉A. 所以{a}⊆A，a⊆A，{a}∈A均为错误表述． [答案]　D (2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使B⊆A成立的实数m的取值范围是________． [解析]　①当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2， 此时B⊆A成立，符合题意． ②当B≠∅时， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤7，))解得2≤m≤4. 综上，实数m的取值范围是(－∞，4]． [答案]　(－∞，4] [互动探究] 在本例(2)中，若把“B⊆A”改为“A⊆∁UB”，则实数m的取值范围是________． 解析：①当B≠∅时，则m＋1≤2m－1，即m≥2， 因为集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 则∁UB＝{x|x＜m＋1或x＞2m－1}， 又A⊆∁UB，则m＋1＞7或2m－1＜－2， 解得m＞6或m＜－eq \f(1,2)，又m≥2，所以m＞6； ②当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2， 此时∁UB＝R，符合题意． 综上所述，实数m的取值范围为m＞6或m＜2. 答案：(－∞，2)∪(6，＋∞) 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍． 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． 1．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为　________. 解析：当a＝0时，B＝∅，此时满足B⊆A， 当a＞0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(2,a))，\r(\f(2,a))))，此时A，B集合只能是“蚕食”关系， 所以当A，B集合有公共元素－eq \r(\f(2,a))＝－1时， 解得a＝2， 当A，B集合有公共元素eq \r(\f(2,a))＝2时，解得a＝eq \f(1,2)， 故a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，2)). 答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，2)) 2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2. ②若1∈B，则12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0， 解得m＝－eq \f(5,2)，此时B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不符合题意． 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2) 　　　集合的基本运算 ►[命题点1]　求交集、并集　 1．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2} B．{1,2,8} C．{2,8} D．{0,1} 解析：D　[x3＝x, 即x3－x＝0，所以x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝0，－1或1，即B＝{0,1，－1}，所以A∩B＝{0,1}．] 2．(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝(　　) A．{1, 2,3} B．{2,3} C．{3} D．∅ 解析：D　[因为M＝{x|2x－1＞5}＝{x|x＞3}，所以M∩N＝∅.] ►[命题点2]　集合的交、并、补的综合运算　 1．(2025·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1,2,3,4} B．{2,3,4} C．{2,4} D．{4} 解析：D　[A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，A∪B＝{1,2,3,5} ∴∁U(A∪B)＝{4}．] 2．(2025·上海卷)已知全集U＝{x|2≤x≤5，x∈R}，集合A＝{x|2≤x<4，x∈R}，则eq \x\to(A)＝______. 解析：∵U＝{x|2≤x≤5}，A＝{x|2≤x＜4}， ∴eq \o(A,\s\up6(－))＝{x|4≤x≤5}． 答案：{x|4≤x≤5} ►[命题点3]　利用集合的基本运算求参数的取值(范围)　 [典例]　(1)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，A∪B＝A，则实数a的值构成的集合为(　　) A．{2}　　　　　　　 B．{－1,2} C．{1,2} D．{0,2} [解析]　由A∪B＝A知：B⊆A，当a＋2＝3，即a＝1，则a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，不符合；当a＋2＝a2，即a＝－1或a＝2.若a＝－1，则a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，不符合；若a＝2，则A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，满足要求．综上，a＝2. [答案]　A (2)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) D．(1，＋∞) [解析]　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f2≤0，,f3>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－4a－1≤0，,9－6a－1>0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,4)，,a<\f(4,3)，))即eq \f(3,4)≤a<eq \f(4,3). [答案]　B 解集合运算问题应注意以下三点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图． 提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 1．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a的取值集合为(　　) A．{1} B．{－1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 解析：D　[由A∩B＝B，知B⊆A，因为A＝{－1,1}，B＝{x|ax＝1}，若B＝∅，则方程ax＝1无解，所以a＝0满足题意；若B≠∅，则B＝{x|ax＝1}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx＝\f(1,a)))，因为B⊆A，所以eq \f(1,a)＝±1，则a＝±1满足题意，故实数a取值的集合为{－1,0,1}．] 2．设集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：A　[因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．] 集合的新定义问题 [典例]　对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)如果去掉其中任意一个元素ai(i＝1,2，…，n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”． (1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数； (3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值． [解]　(1)当集合{1,2,3,4,5}去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：{1,3}，{4,5}；{1,4}，{3,5}；{1,5}，{3,4}；{1}，{3,4,5}；{3}，{1,4,5}；{4}，{1,3,5}；{5}，{1,3,4}，经过计算可以发现每两个集合的所有元素之和不相等，故集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”． (2)设正整数集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)所有元素之和为M，由题意可知M－ai(i＝1,2，…，n)均为偶数，因此任意一个元素ai(i＝1,2，…，n)的奇偶性相同． 若M是奇数，所以ai(i＝1,2，…，n)也都是奇数，由于M＝a1＋a2＋…＋an，显然n为奇数； 若M是偶数，所以ai(i＝1,2，…，n)也都是偶数．此时设ai＝2bi(i＝1,2，…，n)，显然{b1，b2，…，bn}也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”，此时各项的和也是奇数，集合A中元素的个数也是奇数，综上所述：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数． (3)由(2)知集合A中元素个数为奇数，显然n＝3时，集合不是“和谐集”；当n＝5时，不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若A为“和谐集”，去掉a1后，得a2＋a5＝a3＋a4，去掉a2后，得a1＋a5＝a3＋a4，两式矛盾，故n＝5时，集合不是“和谐集”；当n＝7时，设A＝{1,3,5,7,9,11,13}，去掉1后，3＋5＋7＋9＝11＋13，去掉3后，1＋9＋13＝5＋7＋11，去掉5后，9＋13＝1＋3＋7＋11，去掉7后，1＋9＋11＝3＋5＋13，去掉9后，1＋3＋5＋11＝7＋13，去掉11后，3＋7＋9＝1＋5＋13，去掉13后，1＋3＋5＋9＝7＋11，故A＝{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 集合新定义问题的方法和技巧 (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题． 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B. 设集合A＝{－5，－3，－1,1,3,5}，B＝{b1，b2，…，bn}(n∈N*，n≤6)且B⊆A.设有序四元数集合P＝{X|X＝(x1，x2，x3，x4)，xi∈A且i＝1,2,3,4}，Q＝{Y|Y＝(y1，y2，y3，y4)}．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为Y＝f(X)，按映射f，若xi∈B(i＝1,2,3,4)，则yi＝xi＋1；若xi∉B(i＝1,2,3,4)，则yi＝xi.记SB(Y)＝yi. (1)若B＝{－5,1}，X＝(1，－3，－3,5)，写出Y，并求SB(Y)； (2)若B＝{b1，b2，b3}，X＝(1，－3，－3,5)，求所有SB(Y)的总和； (3)对于给定的X＝(x1，x2，x3，x4)，记xi＝m， 求所有SB(Y)的总和(用含m的式子表示)． 解：(1)由题意知，Y＝f(X)＝f((1，－3，－3,5)) ＝(1＋1，－3，－3,5)＝(2，－3，－3,5)， 所以SB(Y)＝2－3－3＋5＝1. (2)对1，－3,5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为Ceq \o\al(2,5)＝10，此时在映射f下，y1＝1＋1＝2； 不含1的B的个数为Ceq \o\al(3,5)＝10，此时在映射f下，y1＝1； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为Ceq \o\al(2,5)＝10，此时在映射f下，y4＝5＋1＝6； 不含5的B的个数为Ceq \o\al(3,5)＝10，此时在映射f下，y4＝5； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含－3的B的个数为Ceq \o\al(2,5)＝10，此时在映射f下，y2＝－3＋1＝－2，y3＝－3＋1＝－2； 不含－3的B的个数为Ceq \o\al(3,5)＝10，此时在映射f下，y2＝－3，y3＝－3； 所以所有y中－2的总个数和－3的总个数均为20. 综上，所有SB(Y)的总和为10×(1＋2＋5＋6)＋20×(－2－3)＝140－100＝40. (3)对于给定的X＝(x1，x2，x3，x4)，考虑x1在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有x1的子集B共25个，所以在映射f下，x1变为y1＝x1＋1； 不含x1的子集B共25－1个，在映射f下，x1变为y1＝x1； 所以在映射f下得到的所有y1的和为25(x1＋1)＋(25－1)x1＝63x1＋32. 同理，在映射f下得到的所有yi(i＝2,3,4)的和 25(xi＋1)＋(25－1)xi＝63xi＋32. 所以所有SB(Y)的总和为63(x1＋x2＋x3＋x4)＋32×4＝63m＋128. $