2.2 一元二次方程的解法（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四大核心知识点，从基础形式到转化思想，构建由具体到抽象的学习支架，帮助学生逐步掌握降次转化的解题逻辑。 通过即学即练与变式巩固题，强化运算能力与推理意识，题型设计中方法优先级排序培养优化思维，新定义问题与换元法渗透创新意识。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生分层练习，查漏补缺，提升应用能力。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 知识点一 直接开平方法 ·概念：形如x2＝p（p≥0）或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解方程 ①如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； ②如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 即学即练 1．一元二次方程的根是（    ） A．5 B． C． D．25 【答案】C 【详解】解： ， ∴移项得 ， 对等式两边开平方，可得 ， 即原方程的根为 ． 2．方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解： ，． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】， 【详解】解： 或 ∴，． 4．方程 的解是______． 【答案】， 【详解】解： ， ∴或， 解得． 知识点二 配方法解一元二次方程 ·概念：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ·步骤： ①化一般式：把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②二次项系数化1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； 公式：x2+x＝（a≠0） ③凑完全平方公式：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 公式：x2+x+x＝（a≠0） ④配方：把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 公式：（） ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 即学即练 1．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 2．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 3．解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 4．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解：， ， ， ， ，． 知识点三 公式法解一元二次方程 根据配方法可得一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有解，则其解为： ·求根公式：（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ·根的判别式：b2﹣4ac． ·公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ·公式法解一元二次方程的一般步骤为： （1）把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； （2）求出b2﹣4ac的值： ①若b2﹣4ac＜0，方程无实数根； ②若b2﹣4ac=0，方程有两个相等的实数根，把a、b、c的值代入公式，x1=x2=； ③若b2﹣4ac=0，方程有两个相等的实数根，把a、b、c的值代入公式，x1=、x2=； 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 即学即练 1．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项B：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项C：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项D：方程整理为，得，，方程有两个不相等的实数根． 3．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【难度】0.75 【详解】（1）解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． （2）解：移项，得， 判别式， 由公式法解得，． 知识点四 因式分解法解一元二次方程 ·概念：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． ·方法：通过因式分解化为两个一次因式的积为0的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解.（本质是降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题，体现数学转化思想） ·一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 即学即练 1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则的值为________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解：对方程因式分解，得， 解得． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得． 题型01 选择合适的方法解一元二次方程 · 方法（优先级排序）：观察法优先。①缺一次项（ax2+c=0）用直接开平方；②二次项系数为1且一次项系数为偶数，用配方法最快；③容易十字相乘的，用因式分解法（最省事）；④以上都不行，果断上公式法（万能兜底）。 见到分数或小数，先化整再选法；十字相乘时别只盯常数项，注意拆一次项系数。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根；(2)， 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 题型02 判断一元二次方程根的情况 · 方法：先化一般形式 ax2+bx+c=0，精准找出a、b、c，计算 b2-4ac。 ①b2-4ac>0→两个不等实根；②b2-4ac=0 →两个相等实根；③b2-4ac<0 →无实根。 若方程含参且未化简，必须先展开合并再找系数，否则b2-4ac算出来全是错的。 典｜例｜精｜析 1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南漯河·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 题型03 根据一元二次方程根的情况求参数 · 方法：根据题意列不等式/等式。关键用判别式△。注意题干字眼陷阱： · “有实数根” / “有两个实数根”→ 0（且 a ≠0）。 · “有实根”或未指明是二次方程： 必须分a=0（一次方程）和a ≠0（二次方程）讨论。 ①题目若说“方程”而非“一元二次方程”，优先考虑a=0的情况； ②漏掉b2-4ac≥0中的等号（把“有实根”当成“>0”直接扣分）； ③求出参数范围后忘了验证二次项系数不为0。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 3．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1)证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2)解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【答案】(1)证明：对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）解：由（1）知，利用求根公式： 解得：. 题型04 根据配方法求最值 · 方法：配方为 a(x-h)2 + k 的形式： ①若 a>0，开口向上，最小值为k（当x=h时）；②若 a<0，开口向下，最大值为k。 ①若二次项系数不为1，先提取系数（只提前两项），括号内配一次项系数一半的平方，注意括号外常数项的加减抵消。 ②配方法时常数项处理出错（如2x2-4x+3 = 2(x-1)2+1，很多同学算成+2或-1）； ③忘记利用平方的非负性判断最大还是最小。 典｜例｜精｜析 1．已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【答案】A 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 题型05 含参问题——因式分解求一元二次方程的根/参数 ·因式分解法（十字相乘或提公因式）： 若参数在系数中，常规做法是求出两个根（用参数表示），再代入题目给定条件（如整数根、相反数根）。 ·分离常数法： 若要求“整数根”，需让含参的根表达式为整数，通常用整除性质（分母整除分子常数）或分离常数法。 ①因式分解时参数的正负号带错（如x2-(m+1)x+m = (x-1)(x-m)，忘了负号）； ②讨论整数根时漏掉参数的“0”或“负值”。 典｜例｜精｜析 1．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 【答案】2 【详解】解：把代入，得 ， 整理得，因式分解得 ， 解得，， 原方程为一元二次方程， 二次项系数 ，即， ． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 题型06 解分式方程（化为一元二次方程） · 方法：去分母（各项乘以最简公分母）→化为整式方程（一元二次）→解出根→必须验根（代回最简公分母看是否为0）。 · 难点突破：最简公分母复杂时，先因式分解再找；若解出的根使分母为0，直接舍去（增根）。 ①验根是必拿分点也是必丢分点，很多同学解完直接写答案，忘记代回检验； ②去分母时常数项漏乘最简公分母。 典｜例｜精｜析 1．解方程：． 【答案】 【难度】0.65 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 变｜式｜巩｜固 1．解分式方程∶ (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 检验：是原方程的解． 原方程的解为． （2）解： 方程两边同时乘以，得 整理，得∶ 化简得 解这个整式方程得： ， 经检验，是原方程的根． 原方程的解为，． 2．解方程：. 【答案】 【详解】解：等式两边同乘得：， 整理得：， ，， 经检验：是原方程的解；是增根， 原方程的根为； 题型07 运用整体思想和换元法求一元二次方程的根 ·整体换元：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． ·思路：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． · 方法：发现式中有重复出现的部分，设其为 t。原方程变为关于t的简单方程，解出t后，再代回原式解出x。 ①换元后注意隐含范围（例如 t = x2 ＞ 0，t = ≠0），可用来排除不合题的t值，减少计算量。 ②解出t后忘了回代求x（以为t就是最终答案）； ③解出t值回代时忽略t的取值范围导致多写增根。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【难度】0.55 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 2．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1)，，，； (2)，； (3)，． 【难度】0.65 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 题型08 新定义问题与代数式的构造转化 · 方法：严格翻译。把题目里稀奇古怪的符号代入给定式子，转化为常规的一元二次方程或代数式，再按照一元二次方程的常规解法处理。 ①新定义里常有括号嵌套，按运算优先级逐层拆解，先算内层，再算外层。 ②代入时抄错数（把定义里的a,b与题目里的数字搞反， 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 变｜式｜巩｜固 1．若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 知识点一 直接开平方法 ·概念：形如 或 的一元二次方程可采用 的方法解方程 ①如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x ； ②如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么 ． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 即学即练 1．一元二次方程的根是（    ） A．5 B． C． D．25 2．方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 4．方程 的解是______． 知识点二 配方法解一元二次方程 ·概念：将一元二次方程配成 的形式，再利用 求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ·步骤： ①化一般式：把原方程化为 的形式； ②二次项系数化1：方程两边 ，使二次项系数为 ，并把 移到方程右边； 公式： ③凑完全平方公式：方程两边同时 ； 公式：x2+x+x＝（a≠0） ④配方：把左边配成一个 ，右边化为一个常数； 公式：（） ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过 来求出它的解，如果右边是一个负数，则 ． 即学即练 1．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 2．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 3．解方程：． 4．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 知识点三 公式法解一元二次方程 根据配方法可得一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有解，则其解为： ·求根公式： （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ·根的判别式： ． ·公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ·公式法解一元二次方程的一般步骤为： （1）把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； （2）求出b2﹣4ac的值： ①若b2﹣4ac＜0，方程无实数根； ②若b2﹣4ac=0，方程有两个相等的实数根，把a、b、c的值代入公式，x1=x2= ； ③若b2﹣4ac=0，方程有两个相等的实数根，把a、b、c的值代入公式，x1= 、x2= ； 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 即学即练 1．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）解方程： (1) (2) 知识点四 因式分解法解一元二次方程 ·概念：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． ·方法：通过因式分解化为 的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解.（本质是降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题，体现数学转化思想） ·一般步骤：①移项，使方程的右边 ；②将方程的左边分解为 ；③令每个因式 ，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 即学即练 1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则的值为________． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 题型01 选择合适的方法解一元二次方程 · 方法（优先级排序）：观察法优先。①缺一次项（ax2+c=0）用直接开平方；②二次项系数为1且一次项系数为偶数，用配方法最快；③容易十字相乘的，用因式分解法（最省事）；④以上都不行，果断上公式法（万能兜底）。 见到分数或小数，先化整再选法；十字相乘时别只盯常数项，注意拆一次项系数。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期末）解方程： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 题型02 判断一元二次方程根的情况 · 方法：先化一般形式 ax2+bx+c=0，精准找出a、b、c，计算 b2-4ac。 ①b2-4ac>0→两个不等实根；②b2-4ac=0 →两个相等实根；③b2-4ac<0 →无实根。 若方程含参且未化简，必须先展开合并再找系数，否则b2-4ac算出来全是错的。 典｜例｜精｜析 1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南漯河·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 题型03 根据一元二次方程根的情况求参数 · 方法：根据题意列不等式/等式。关键用判别式△。注意题干字眼陷阱： · “有实数根” / “有两个实数根”→ 0（且 a ≠0）。 · “有实根”或未指明是二次方程： 必须分a=0（一次方程）和a ≠0（二次方程）讨论。 ①题目若说“方程”而非“一元二次方程”，优先考虑a=0的情况； ②漏掉b2-4ac≥0中的等号（把“有实根”当成“>0”直接扣分）； ③求出参数范围后忘了验证二次项系数不为0。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 2．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 3．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 题型04 根据配方法求最值 · 方法：配方为 a(x-h)2 + k 的形式： ①若 a>0，开口向上，最小值为k（当x=h时）；②若 a<0，开口向下，最大值为k。 ①若二次项系数不为1，先提取系数（只提前两项），括号内配一次项系数一半的平方，注意括号外常数项的加减抵消。 ②配方法时常数项处理出错（如2x2-4x+3 = 2(x-1)2+1，很多同学算成+2或-1）； ③忘记利用平方的非负性判断最大还是最小。 典｜例｜精｜析 1．已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 变｜式｜巩｜固 1．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 题型05 含参问题——因式分解求一元二次方程的根/参数 ·因式分解法（十字相乘或提公因式）： 若参数在系数中，常规做法是求出两个根（用参数表示），再代入题目给定条件（如整数根、相反数根）。 ·分离常数法： 若要求“整数根”，需让含参的根表达式为整数，通常用整除性质（分母整除分子常数）或分离常数法。 ①因式分解时参数的正负号带错（如x2-(m+1)x+m = (x-1)(x-m)，忘了负号）； ②讨论整数根时漏掉参数的“0”或“负值”。 典｜例｜精｜析 1．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 题型06 解分式方程（化为一元二次方程） · 方法：去分母（各项乘以最简公分母）→化为整式方程（一元二次）→解出根→必须验根（代回最简公分母看是否为0）。 · 难点突破：最简公分母复杂时，先因式分解再找；若解出的根使分母为0，直接舍去（增根）。 ①验根是必拿分点也是必丢分点，很多同学解完直接写答案，忘记代回检验； ②去分母时常数项漏乘最简公分母。 典｜例｜精｜析 1．解方程：． 变｜式｜巩｜固 1．解分式方程∶ (1) (2) 2．解方程：. 题型07 运用整体思想和换元法求一元二次方程的根 ·整体换元：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． ·思路：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． · 方法：发现式中有重复出现的部分，设其为 t。原方程变为关于t的简单方程，解出t后，再代回原式解出x。 ①换元后注意隐含范围（例如 t = x2 ＞ 0，t = ≠0），可用来排除不合题的t值，减少计算量。 ②解出t后忘了回代求x（以为t就是最终答案）； ③解出t值回代时忽略t的取值范围导致多写增根。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 2．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 题型08 新定义问题与代数式的构造转化 · 方法：严格翻译。把题目里稀奇古怪的符号代入给定式子，转化为常规的一元二次方程或代数式，再按照一元二次方程的常规解法处理。 ①新定义里常有括号嵌套，按运算优先级逐层拆解，先算内层，再算外层。 ②代入时抄错数（把定义里的a,b与题目里的数字搞反， 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 变｜式｜巩｜固 1．若，其中为实数且，，则____________． 2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $