黑龙江大庆铁人中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 以文化传承（田忌赛马）与科技情境（数据传输）为载体，分层设计考查高一数学核心模块，通过复数运算、立体几何翻折、概率统计等问题，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、空间直线位置关系、概率事件关系|定义新运算（第1题）结合复数几何意义，考查抽象能力| |多选题|3/18|概率独立对立、解三角形、平行六面体性质|结合方差变换（第9题C项）考查数据意识，体现数学语言表达| |填空题|3/15|统计方差、选科概率、解三角形最值|以高考选科为背景（第13题），考查模型观念与应用意识| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明与线面角、翻折二面角、数据传输概率|翻折问题（第18题）考查空间观念，数据传输模型（第19题）体现逻辑推理与创新意识|

大庆铁人中学2025级高一下学期期末数学试题答案 大庆铁人中学2025级高一年级下学期期末数学试题答案 一、 二选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B D c A A B ABC BCD BC 三.填空题 12.9或-7 13. 5 3+1 14. 6 四.解答题 15.（1）由题意a6=问co号=2x1x =1, 因为a+b=(a+b)=a2+2a.b+6=4+2x1+1=7,所以a+=V万. (2)由(ka+b)(a+2b)>0→ka2+(2k+1)a.b+2b2>0, 所以4+(2k+)+2>0,解得k>-】 由(ka+b)11(a+25)→2k-1=0→k=} 综上，当(》小行+切时，向量后+5与石+25的夹角为锐角 16.(1).PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,.PA⊥BC. :AB是圆O的直径，C为圆上一点，BC⊥AC. 又.PA∩AC=A,且PA,ACC平面PAC,.BC⊥平面PAC. .BCc平面PBC,.平面PAC⊥平面PBC. D (2)如图所示，过点A作AD⊥PC于点D, ,BC⊥平面PAC,ADC平面PAC,.BC⊥AD, 又PCOBC=C,PC,BCC平面PBC,.AD⊥平面PBC. :.∠ACD即为直线AC与平面PBC所成角. 第1页 考试时间：2026年7月 :PA=AB=2,AC=√2，可得PC=V6. sin∠ACD= PA 6 PC 3 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 3 17.(1)bcosC+ccosB-0,.bcosC+ccoB=a 2cosA 2cosA 由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sinA 2cosA sin(B+C)=sinA ,∴.sinA= sinA 2cosA 2cosA 又sinA>0.1=_1 1 ,即c0sA= 2cosA 2 A∈(0，D,A=? 2》）由g意可得：5am-oin4e9-2,所以c=8及 2 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-2bc】-b+c2-bc≥2bc-bc=bc=8, 2 当且仅当b=c=22时等号成立，：a≥2√2，即a的最小值为2√2. 18.(1)设AD=1,所以AB=3,CD=2,因为F为CD中点，所以DF=1,因为EF/1AD, AB//CD,所以AEFD是平行四边形，所以AE//DF,所以AE//D'F, 因为D'FC平面CD'F,A'EI平面CD'F,所以AE//平面CDF, 因为FC//EB,FCc平面CD'F,EB丈平面CDF,所以EB//平面CDF, 又EB∩A'E=E,EB,A'EC平面AEB,所以平面A'EBII平 面CD'F, 又A'BC平面A'EB,所以A'B//平面CD'F. (2)因为∠DAB=90°，所以AD L AB,又因为 AB//FC,EF/IAD,所以EF⊥FC,延长EF,BC交于点N, 连接D'N,则D'N为平面BCD'与平面EFD'A'的交线. 共2页 大庆铁人中学2025级高一下学期期末数学试题答案 考试时间：2026年7月 由EF⊥A'E,EF⊥EB得∠A'EB为平面EFDA'与平面EFCB所成的二面角，即∠AEB=6O°； 所以P(n(X)=3)=p(1-p2)',由2P(n(X)=2)=13P(n(X)=3)得： 设AE=AD=1,则BE=2,EN=2,在△M'BE中，由余弦定理得A'B=√3，得BA'⊥A'E, 2[2n,-p)+(1-n)0-P)]=13p-n),化简得19pP2+2-15p,-2n,=0, 1 又由EF⊥平面A'BE得EF⊥A'B,EFOA'E=E,得BA'⊥平面EFD'A',在平面EFDA'内， 又：A×B:2A-2,上式可化为：4p-23n:+15=0仍-或=5（合去）： 过点A'作A'H⊥DN,交D'N于点H,连接BH,由NH⊥A'H,NH⊥A'B,A'HOA'B=A (ⅱ)当发送的数据为“0101”，事件n(X)=2包含以下三种情况： 得NH⊥BH,所以∠BHA'为平面BCD与平面EFD'A'所成二面角的平面角， ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为n} 在RTAM4D'H内，由AD=h∠ADH=45得AH=5 ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 2 其概率为2p(1-p)×2p2(1-P2)=4pP2(1-卫，-P2+pD2)=3-2(p+P2), 在RT△BA'H内， m∠BHH'=B-5-N6 A'H√2 ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为 2 .2 3 19.(1)记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A,由己知P=凸=4： -a---A-A+an-[-(a+n) 事件A包含两种情况： P(x)=2-+3-2+[-a+ 第种数字0接收正确数字1特民、率加号-》 12)x3 令x=n+P,则mxn=2PhF20,又0<A<1且0<P<1,“2n<1, 第二种数字0接收错误数字1正确概率为：1)产 2,3.,2)35 所以P(A)=2×1- +1- 34气3412 =n+n=*3aE引Pa(X)-2-32a*nr}-a*n (2)(i)由发送的数据为"011“可知，事件n(X)=2表示接收到的数据中含两个0， =a+p-5a+ar号-[a+a)- 包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误， ②数学0错误，数字1都错误， -}巨引由=次数的性可知，心)在巨引单调运 所以P(n(X)=2）=2pP2(1-p2)+(1-乃)1-p2)', f()得最大值为f()--55,即P(X)=2到的最大值为55. 事件n(X)=3表示接收到的数据中含三个0， 只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误， 第2页共2页 大庆铁人中学2025级高一年级下学期期末考试 数 学 2026.7 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若空间中四条不同的直线，，，，满足 ， 则下面结论正确的是 A． B． C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定 3．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 A．A与B对立 B．B与C互斥 C．A与C互斥 D．B与C不对立 4．正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 5．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，那么在上的投影向量为 A． B． C． D． 6．某市有5个旅游景点，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万人，标准差为，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万人，被误统计为15万人，乙景点实际为18万人，被误统计成23万人；更正后重新计算得到标准差为，则与的大小关系为 A． B． C． D．不能确定 7．三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 8．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐 王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方 约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马仅赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为 A． B． C． D． 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．给出下列命题，其中正确的是 A．若事件与事件是相互独立事件，则有 B．若事件与事件是对立事件，则有 C．若一组数据的方差为2，则的方差为 D．给定五个数据，则这组数据的分位数是 10．在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 A．若，，，则 B．，则 C．若，，有两解，则 D． 11．已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是 A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12．已知样本数据、、、、的方差，则样本数据、、、、的平均数为_________． 13．我省高考实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生需在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均相等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为_________． 14．在中，内角，，的对边分别为，，，其中，， 若，，则的最小值为_________． 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本小题13分）已知向量与的夹角为，，． (1)求和的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16.（本小题15分）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17. （本小题15分）在中，角A，B，C的对边分别为，，．已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的最小值． 18.（本小题17分）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成二面角的正切值． 19.（本小题17分）数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字时，收到的数字是的概率为，收到的数字是的概率为；发送数字时，收到的数字是的概率为，收到的数字是的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． (1)若发送的数据为“”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用表示收到的数字串，将中数字的个数记为，如“”，则，对应的概率记为． （ⅰ）若发送的数据为“”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“”，求的最大值． 大庆铁人中学2025级高一年级下学期期末考试数学试题 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $