第29章 三角函数 （暑假单元自测）新九年级数学新教材沪教版五四制

**基本信息** 沪教版初中数学三角函数单元卷，90分钟100分，24题覆盖定义、计算及旅行箱拉杆、热气球测高等真实情境应用，适配暑假复习，提升数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6题18分|三角函数定义、直角三角形性质|如第3题结合图形解直角三角形，夯实基础| |填空|11题22分|坡度坡角、俯角应用|如11题飞机俯角求距离，体现几何直观| |解答|7题60分|综合计算与实际问题|22题平板支架高度计算、24题函数与三角函数综合，凸显运算能力与应用意识|

第29章 三角函数 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 2．中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据锐角三角函数的定义计算各选项的值，即可得到正确结论． 【详解】∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据锐角三角函数定义判断： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 3．如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算特殊角的三角函数值得到点的坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征求解，即可得到正确选项. 【详解】解：∵， ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴点关于轴对称的点的坐标为. 5．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 6．拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 【答案】 【分析】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键． 作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解． 【详解】解：作轴于点B，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 9．如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理、正方形的性质，根据正方形的性质求出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理求出的长度，根据正弦和余弦的定义分别求出和，即可得到结果． 【详解】解：如下图所示， 小正方形面积为，大正方形面积为， 小正方形的边长是，大正方形的边长是， 在中，， 即， 整理得，， 解得：，（舍去）， ， ，， ． 故答案为：． 10．如图，点、、均在的方格纸的格点上，那么的值为____________． 【答案】 【分析】连接 ，利用网格结构及勾股定理分别求出 、、 的长度，再利用勾股定理逆定理判定 为直角三角形，最后根据正切函数的定义求解． 【详解】解：设方格纸中小正方形的边长为，连接 ． 由勾股定理得：．．． ∴， ， ∴． ∴ 是直角三角形，且． 在 中， ． 11．如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据题意作出俯视角，利用平行线的性质和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 12．已知斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的正弦值为______． 【答案】/ 【分析】根据坡度的定义得到坡角的正切值，即可求解坡角的度数，即可求解坡角的正弦值． 【详解】解：∵斜坡的坡度 ∴， ∴， ∴ ∴该斜坡的坡角的正弦值为． 13．在中，若，则是________． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 14．对于锐角，已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【详解】解：由互余两角三角函数的关系可得，，而且， 所以．即， 故答案为：． 15．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 16．一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 【答案】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，根据方位角得到直角三角形的内角，利用锐角三角函数求出的总长度，再根据平均速度公式计算结果． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，， 海里， 在中， ， ， 在 中， ， ， ∵航行时间为小时， ∴平均速度为（海里/小时）． 17．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）计算：． 【答案】6 【详解】解：原式．............6分 19．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】先进行括号内分式的减法与括号外分式的化简，再进行分式的加法计算，继而求出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，......................3分 ∵ ， ∴原式．................................6分 20．（本题6分）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1)至少需要小于米 (2) 【详解】（1）解：由题可知，当米时，，解得， ∴至少需要小于米；.............................3分 （2）解：如图所示，过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，， 在中，，， ∴，， ∴．..................................6分 21．（本题8分）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长． 【答案】(1)8； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴∠E=∠C，∠EDA=∠B， ∴△DEA∽△BCA， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴．.................................3分 （2）解：∵， ∴△DEA∽△BCA， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为点， ∴． 在中，， 即， ∴．.................................8分 22．（本题8分）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm． 【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴，......................3分 在中， ， ∴， ∴，..............................8分 答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为． 23．（本题12分）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析. (2) (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．..........................3分 （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴．..................................7分 （3）解：如图，连接交于点O， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．..............................12分 24．（本题14分）如图，反比例函数图像经过和点，平行四边形的顶点、分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，对角线交于点，二次函数的图像经过点、、. (1)求点、、的坐标； (2)求抛物线的解析式： (3)如果点在第四象限的二次函数图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是； (2)； (3)． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式是， 把点代入， 可得：， 反比例函数的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， 四边形是平行四边形， 可得：， 解得：， 点的坐标是，点的坐标是；........................3分 （2）解：设抛物线的解析式是 ， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是；.............................8分 （3）解：如下图所示，过点作轴，过点作轴， 点的坐标是，点的坐标是； ， ， 点的坐标是， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，..............................10分 设，则，， 点的坐标是， ， 解得：(不符合题意，舍去)，， ，， 点的坐标是........................14分 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章 三角函数 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 4．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 6．拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____ 8．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 9．如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则_______ 10．如图，点、、均在的方格纸的格点上，那么的值为____________． 11．如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 12．已知斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的正弦值为______． 13．在中，若，则是________． 14．对于锐角，已知，则______． 15．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 16．一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 17．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）计算：． 19．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 20．（本题6分）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 21．（本题8分）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长． 22．（本题8分）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 23．（本题12分）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 24．（本题14分）如图，反比例函数图像经过和点，平行四边形的顶点、分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，对角线交于点，二次函数的图像经过点、、. (1)求点、、的坐标； (2)求抛物线的解析式： (3)如果点在第四象限的二次函数图像上，且，求点的坐标． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $