第28章 相似三角形（暑假单元自测）新九年级数学新教材沪教版五四制

**基本信息** 沪教版新教材相似三角形单元卷，90分钟100分，24题覆盖位似、比例线段等核心知识，通过旗杆测量等生活情境与函数综合题，考查数学眼光、思维与语言，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6题18分|位似中心、比例性质|基础概念辨析，如位似比计算| |填空|11题22分|黄金分割、位似坐标|结合矩形直尺、场地扩建等情境| |解答|7题60分|相似判定、测量实践、函数综合|含镜子/标杆测高（模型意识）、二次函数动点（推理能力）|

第28章 相似三角形 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为点O，， ∴，且相似比为， ∴； 2．如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得； 3．若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设参数法，将，用含同一参数的式子表示，再代入各选项验证即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于，根据比例的基本性质，由可得，故错误； 对于，，仅满足比例关系，具体值不固定，因此不一定等于，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 4．如图，点D、E分别在 ，上，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据，可得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则． 故选：C． 5．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 6．如图，相交于点E，且，点C，F，B在同一条直线上．已知，，．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明和，可得，，进而得出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 由上述可知， 即， ∴. 所以只有淇淇正确. 故选：B. 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 8．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 9．已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或或或 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换以原点为位似中心时，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，进行计算． 【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，位似比为， 当以原点为位似中心将缩小时，点的对应点的坐标为或，整理得或； 当以原点为位似中心将扩大时，点的对应点的坐标为或，整理得或． 10．如图，与位似，点O为位似中心，若，则_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．与位似，则，先证明，进一步可求，据此可得答案． 【详解】解：∵与位似， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 11．如图，在直角三角形中，，矩形直尺的一边与重合，另一边与分别交于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为，，，．若矩形直尺的宽为，则边的长为______． 【答案】4 【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入得到，进一步即可得到答案 【详解】解：∵点，，，处的读数分别为，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形直尺的宽为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 12．如图，是一块矩形场地，宽米，长米．若在其对角线的延长线上取点，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了米，上、下各增加了x米，则x的值为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可证明即推出，再由题意即得，解出x即可． 【详解】解：∵一块矩形场地，在其对角线的延长线上取点， ∴， ∴ ， ∴， ∴，即，解得：， 经检验是原方程的根． 13．如图，要在底边，高的铁皮余料上，截取一个面积为的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的长为_______cm．      【答案】90或30 【分析】证明，相似三角形对应边、高的比等于相似比，得出EH的长度 【详解】设， ∵矩形EFGH的面积为，∴. ∵，∴． 又∵AM，AD分别为与的高，∴， 即，解得，， ∴EH的长为90cm或30cm． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边、高的比等于相似比是解题的关键 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边和分别在轴和轴上，反比例函数的图象与矩形的对角线交于点，且，若矩形的面积为．则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式．设点的坐标为，根据矩形的面积是，可得：，过点作，可得，根据相似三角形的性质可知点的坐标为，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，即可得到． 【详解】解：设点的坐标为， 则有，， 矩形的面积为， ， ， ， 如下图所示，过点作， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 整理可得：， ． 【点睛】 15．如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【答案】一、三、四 【分析】先根据相似三角形的性质得出，然后根据一次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，其相似比为k， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的图象必定经过一、三、四象限． 16．如图，在边长为的菱形中，，过点A作于点E ，现将沿直线翻折至的位置，与交于点G，则等于_______． 【答案】/ 【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，进而求出，再证，由对应边成比例得，由此可解． 【详解】解：，，， ， ， ，， ， 设，则， 菱形中，， ， ，， ， ，即， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，证明是解题的关键． 17．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形中，， ．点E、F分别是边、的中点，如果是凸四边形的相似对角线，那么 _______． 【答案】 【分析】根据相似对角线的定义得到 ，利用相似三角形的性质求出 的长，再由角相等得到 ，利用等腰三角形三线合一的性质得到 ， ，求出 和的长度，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：如下图： 是凸四边形的相似对角线， ， ，， ，即 ，且 , ， , , , ，是 的中点 , ， , ，即 , 是的中点 , , 在 中，由勾股定理得 ， 在 中，由勾股定理得 . 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则．...................................6分 19．（本题6分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，， 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【详解】（1）如图，即为所求． ...................................3分 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，．...................................6分 20．（本题6分）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ．...................................3分 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ．...................................6分 21．（本题8分）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． (1)证明：∵AE2=AF⋅AC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．...................................4分 (2)证明：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．...................................8分 22．（本题8分）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米．...................................3分 （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米．...................................8分 23．（本题12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有符合条件的点P坐标． 【答案】(1)，； (2)①8；②符合条件的点P坐标是和． 【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k； （2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为．...................................3分 （2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．...................................6分 ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴．...................................9分 ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和．...................................12分 24．（本题14分）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，且． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图，是此二次函数图象上第四象限内一动点，是直线上一动点，且，记直线，当为何值时，有最大值？并求此时点的坐标； (3)依据（2）中结论，点是第四象限内二次函数图象对称轴上一动点，过点作，交二次函数图象于点，若，试求点到对称轴的距离． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）易得顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，进而表示出点的坐标，将点、的坐标代入直线可表示出，根据二次函数的性质即可确定最值； （3）过作轴，轴，与交于点，设抛物线的对称轴为直线，过作于点，证明，可得出，，进而表示出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，将两点坐标代入得： ，解得， 此二次函数的表达式是．...................................3分 （2）解：， ， 设直线的表达式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的表达式为， ， ， ， ， 是此二次函数图象上第四象限内一动点， ，，，解得， ， 将点，代入直线得： ， 解得， ，， 当时，有最大值，此时，即．...................................8分 （3）解：由（2）得，设，则， 如图，过作轴，轴，与交于点，设抛物线的对称轴为直线，过作于点， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， ，， 或，即或， 把代入，得， 解得，与均不符，舍去， 把代入，得， 解得， ， ， 此时，点的横坐标为， 点到对称轴的距离是．...................................14分 试卷第1页，共3页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 相似三角形 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 3．若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点D、E分别在 ，上，，，（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，相交于点E，且，点C，F，B在同一条直线上．已知，，．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．已知，则的值是____________． 8．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 9．已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 10．如图，与位似，点O为位似中心，若，则_______． 11．如图，在直角三角形中，，矩形直尺的一边与重合，另一边与分别交于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为，，，．若矩形直尺的宽为，则边的长为______． 12．如图，是一块矩形场地，宽米，长米．若在其对角线的延长线上取点，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了米，上、下各增加了x米，则x的值为___________． 13．如图，要在底边，高的铁皮余料上，截取一个面积为的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的长为_______cm．      14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边和分别在轴和轴上，反比例函数的图象与矩形的对角线交于点，且，若矩形的面积为．则的值为______． 15．如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 16．如图，在边长为的菱形中，，过点A作于点E ，现将沿直线翻折至的位置，与交于点G，则等于_______． 17．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形中，， ．点E、F分别是边、的中点，如果是凸四边形的相似对角线，那么 _______． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）已知a、b、c满足．求的值． 19．（本题6分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 20．（本题6分）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 21．（本题8分）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 22．（本题8分）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 23．（本题12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有符合条件的点P坐标． 24．（本题14分）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，且． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图，是此二次函数图象上第四象限内一动点，是直线上一动点，且，记直线，当为何值时，有最大值？并求此时点的坐标； (3)依据（2）中结论，点是第四象限内二次函数图象对称轴上一动点，过点作，交二次函数图象于点，若，试求点到对称轴的距离． 试卷第1页，共3页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $