暑假自测卷03 解直角三角形-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

暑假自测卷03 解直角三角形 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1．如图，在中，，，，的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 3．已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，某山坡的截面图近似为等腰，，现测得斜坡与地面的夹角为，山顶距离地面5米，则下列说法正确的是（    ） A．斜坡的坡度是 B．斜坡的坡度是 C．米 D．米 5．定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 6．如图，在中，，是边上的高线，设，则（   ） A． B． C． D． 7．在锐角中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点D在上，过点D作交于点E，交于点F，若，则长为（   ）    A． B．3 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．在中，，为边上的高线，且，则 ． 12．如图，在矩形中，，点 E在边上，将矩形沿折叠，点 A 恰好落在边上的点处，则的正切值是 ． 13．如图，在菱形中，、分别是边，上的动点，连接，，点、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 14．如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，，则旗杆的高度为 ． 15．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到高度为60米的处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为 米(结果保留根号)． 16．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形'与正方形的面积之比为，，则n的值为 ． 三、解答题（共7小题，共66分） 17．计算：． 18．如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果保留根号）． 19．2025年2月7日，第九届亚洲冬季运动会将在美丽的冰城哈尔滨举行．冰城哈尔滨掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离的长为，． (1)求此滑雪运动员的小腿的长度是多少m； (2)求此运动员的身高大约是多少m．（提示：运动员的身高，参考数据：，，） 20．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港、乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．    (1)求，两港之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 21．如图，在 中，，． (1)如图1，点在边 上，，求 的值； (2)如图2，点在的延长线上，点在上，连接，且 ，求证： ． 22．已知，如图，二次函数的图像与轴交于、两点． (1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）； (2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，的正弦值为，求的值． 23．抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假自测卷03 解直角三角形 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1．如图，在中，，，，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，勾股定理求得，然后根据余弦的定义即可求解． 熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，取格点，连接，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正切函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，取格点，连接， ∴根据格点可得， ， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，，， ， 故选：A． 3．已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊三角函数值、实数的大小比较，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B ． 4．如图，某山坡的截面图近似为等腰，，现测得斜坡与地面的夹角为，山顶距离地面5米，则下列说法正确的是（    ） A．斜坡的坡度是 B．斜坡的坡度是 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据坡度的概念，正切和正弦的定义计算，判断即可． 【详解】解：A，斜坡的坡角是，而不是坡度是，本选项说法错误，不符合题意； B，∵， ∴， ∴斜坡的坡度是，本选项说法正确，符合题意； C，过点作于， ∵， ∴， 在中，， ∴，本选项说法错误，不符合题意； D，，本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 6．如图，在中，，是边上的高线，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是解题关键．先利用三角函数表示出、，再表示出、，即可求解． 【详解】解：，在中，，， ， 在中，，， 是边上的高线， ， ， 在中，，A选项正确、B选项错误； 在中，，C、D选项错误； 故选：A． 7．在锐角中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，，然后根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 故选：C． 8．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到是解决本题的关键． 如图：由题意得，，从而得出，设，则，由勾股定理得出，最后代入计算即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 设，则， ， ∵在中，， ∴． 故选：A． 9．如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，垂线段最短，掌握转化思想是解题的关键． 作于，于，由得，继而通过解直角三角形将转化为，而，即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于． ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当点共线，且点与点重合时，取得最小值， ∴ 故选：A． 10．如图，在中，，点D在上，过点D作交于点E，交于点F，若，则长为（   ）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，根据，设，证明，列出比例式，求出，根据，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．在中，，为边上的高线，且，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识．分两种情况画出图形进行解答即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， 当在的内部时，如图1，作于H， 在中，， ∴， ∴； 当在的外部时，如图2， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：3或． 12．如图，在矩形中，，点 E在边上，将矩形沿折叠，点 A 恰好落在边上的点处，则的正切值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理、相似三角形的判定和性质、求正切，先根据矩形和折叠的性质求出长，即可求出长，然后推理得到，求出的值得到正切值即可． 【详解】解：设，则， ∵是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在菱形中，、分别是边，上的动点，连接，，点、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，结合垂线段最短及锐角三角函数求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，，， 又∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，最小，得到最小值， 此时在中，，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数的定义，垂线段最短等知识点．确定的最小值是解题的关键． 14．如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，，则旗杆的高度为 ． 【答案】11米 【分析】本题考查了相似三角形的应用、解直角三角形的应用．延长交于点，过点作于点，解直角三角形求出的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出的长，然后根据可知，根据相似三角形的对应边成比例即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， ∵，米，， ∴米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴，解得（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度为11米． 故答案为：11米． 15．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到高度为60米的处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为 米(结果保留根号)． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的应用；由题意得米，米，过点作于点，过点作于点，则，，四边形和四边形均为矩形，，得出米，，，，推出，再由锐角三角函数的定义求出米，易证是等腰直角三角形，得出米，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：米，米， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴，，四边形和四边形均为矩形，， 米，，，， 为的中点， ， ， 在中，（米）， （米）， 米， ，， 是等腰直角三角形， 米， （米）， 故答案为：． 16．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形'与正方形的面积之比为，，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、赵爽“弦图”等知识，设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故答案为：3． 三、解答题（共7小题，共66分） 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，化简绝对值，计算零次幂，再计算乘法，最后合并即可． 【详解】解： ； 18．如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果保留根号）． 【答案】塔高的高度为，塔之间的距离为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意得：，，设塔高的高度为，则有，然后根据三角函数可得方程，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 设塔高的高度为，则有， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 答：塔高的高度为，塔之间的距离为． 19．2025年2月7日，第九届亚洲冬季运动会将在美丽的冰城哈尔滨举行．冰城哈尔滨掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离的长为，． (1)求此滑雪运动员的小腿的长度是多少m； (2)求此运动员的身高大约是多少m．（提示：运动员的身高，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键： （1）解，即可得出结果； （2）解，求出的长，再根据运动员的身高计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 答：此滑雪运动员的小腿的长度是； （2）∵，，G、E、D三点共线， ∴， ∵，由（1）知：， ∴， 在中，， ∴， ∴运动员的身高； 答：此运动员的身高大约是． 20．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港、乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．    (1)求，两港之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)，两港之间的距离海里； (2)甲货轮先到达港． 【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出的长，进而求出的长即可求解； （）甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，解直角三角形分别求出的长即可得到结论； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作于点，      ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴海里， 海里， ∴海里， ∴海里， ∴，两港之间的距离海里； （2）解：    由（）得：，，海里，海里， ∴海里； 由题意得：，，， ∴， ∴海里，海里， ∴甲行驶路程为：海里， 乙行驶路程为：海里， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 21．如图，在 中，，． (1)如图1，点在边 上，，求 的值； (2)如图2，点在的延长线上，点在上，连接，且 ，求证： ． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，正弦的计算，相似三角形的判定和性质的综合运用，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意，设，则，在中，运用勾股定理可得，根据正弦的计算方法即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，且，可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 设，则， 在中，， ∴； （2）证明：∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．已知，如图，二次函数的图像与轴交于、两点． (1)求、两点的坐标（可用含字母的代数式表示）； (2)第一象限内的点在二次函数的图像上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，的正弦值为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的综合题，解直角三角形，注意掌握二次函数与一元二次方程的关系．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）令，利用因式分解法解关于x的一元二次方程即可； （2）过点作轴，垂足为，由正弦的定义得到，设，，求出，根据，求出，得到点C的坐标，再结合点C的坐标横坐标与纵坐标之积为9，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得， ，， ， ，； （2）解：过点作轴，垂足为， ， 设，， ， ， ， ． 点的横坐标与纵坐标之积为9， ， （不合题意，舍去）， 点在二次函数的图象上， ， ． 23．抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点Q的横坐标为或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； （2）解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴点Q的横坐标为或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， 点Q的横坐标为或； 综上：点Q的横坐标为或或或． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$