黑龙江大庆铁人中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 以直播带货、围棋比赛等真实情境为载体，通过函数性质、统计案例等综合题考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、充分条件、相关系数、排列组合等|结合电商好评率考全概率公式，体现应用意识| |多选题|3/18|函数性质、不等式、概率|围棋比赛胜负概率分析，考查逻辑推理| |填空题|3/15|函数求值、二项式系数、奇函数性质|分段函数与奇函数结合，强化抽象能力| |解答题|5/77|集合运算、概率分布列、线性回归与独立性检验、导数综合|直播带货数据考线性回归与独立性检验，培养数据意识；导数题论证极值点与零点，突出数学思维|

大庆铁人中学2024级高二年级下学期期末考试 数 学 2026.07 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 2．“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（    ） A． B． C． D． 4．8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人都不相邻的排法种数是（　　） A． B． C． D． 5．某电商平台的消费者中，男性用户占，其对某商品的好评率为；女性用户占，其对该商品的好评率为．若随机选择一名用户，则该用户对该商品给予好评的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象是中心对称图形 D．在上单调递减，则 10．已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 11．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（     ） A．若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为的可能性最大 B．若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为和的可能性相等 C．若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利 D．若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过的可能性获得冠军 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，则______． 13．展开式中的系数为________． 14．已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分)已知全集为，集合，. (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 16．(本小题15分)口袋中有个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X.若，求： (1)n的值; (2)X的分布列. 17．(本小题15分)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2026年前5个月的带货金额： 月份x 1 2 3 4 5 带货金额y/万元 350 440 580 700 880 (1)求y关于x的线性回归方程，并据此预测2026年7月份该公司的直播带货金额; (2)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 30 35 男性 10 总计 请填写上表，并判断是否有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考数据：，，，． 参考公式：，； ，其中． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 18．(本小题17分)已知函数，. (1)当时，求关于不等式的解集; (2)当时，若对任意1，不等式恒成立，求实数k的取值范围; (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围. 19．(本小题17分)已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值; (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点; (3)求函数的零点个数. 大庆铁人中学2024级高二年级下学期期末考试 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆铁人中学2024级高二年级下学期期末考试数学试题 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B A A B B D B ABC ABD BD 12．3 13．11 14． 15．(13分) （1）当时，， ， 又， （2）， 当，即，即时，成立； 当时，要使，则解得 综上，实数的取值范围为 16．(15分) （1）由题意可知，口袋中共有个球， 其中白球个， 红球3个， 第一次取到红球的概率为，此时还剩个球，其中白球仍为n个， 故第二次取到白球的概率为， 则， 化简得， 解得或，因为，则 （2）由（1）可知，袋中共有7个白球，3个红球，总数为10个， 所以随机变量的所有可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 17．(15分) （1）因为，， ，， 所以，， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，（万元）， 所以预测2026年7月份该公司的直播带货金额为1118万元； （2）补全完整的列联表如下： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 30 5 35 男性 10 10 20 总计 40 15 55 零假设为:参加直播带货与性别无关， 根据以上数据，经计算得到． 因为，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关． 18．(17分) （1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，，已知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立，即，解得. 19．(17分) （1）由，可得， ，则， 因曲线在 处的切线方程为，则. (2)证明：由（1）得，求导得， 设，则， 当时，，，则，故函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，存在唯一的，使得. 当时，，即，则函数在上单调递增； 当时，，即，即函数在上单调递减. 故为函数在区间上的唯一极大值点； （3）函数的定义域为，则， ①当时，由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，即当时，，即， 故函数在上单调递减，故函数在上仅有零点； ②当时，因，由（2）当时，单调递增， 故，即在上单调递增， 当时，单调递减，因， 则在后面一段区间必有,单调递减,在上先增后减， 又，则当时，，即函数无零点； ③当时，若，则，则函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，函数存在唯一的零点； 若，则，而，则恒成立，故函数在上无零点.综上，函数共有与两个零点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $