精品解析：黑龙江省大庆实验中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

大庆实验中学2023级高二下学期期末考试 数学学科试题 说明： 1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合后可求它们的交集. 【详解】，，故， 故选：C. 2. 方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【详解】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 3. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，再结合基本不等式即可求出. 【详解】因，则， 因x，y为正数，则，得，等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 4. 夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（ ） （参考数据：） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件得出，再利用对数的运算法则解不等式即可. 【详解】由题意可知，， 解，即， 得 ， 该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为. 故选：C 5. 定义一种运算则函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】记，利用函数单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数，进而化简函数的解析式，结合一次函数的单调性和指数函数的单调性可得出函数的最大值. 【详解】记， 由为定义域上的单调递增函数，为定义域上单调递减函数， 由单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数， 又，故由可得，解得； 由可得，解得. 所以. 当时，； 当时，则，. 综上所述，当时函数取到最大值为. 故选：A 6. 某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.08 C. 0.1 D. 0.15 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式，即可求解. 【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件， 则，， 且，， 则 . 故选：C 7. 设则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导分析单调性，再结合和对数的性质比较可得. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 又，即，可得， ，所以， 综上. 故选：B. 8. 已知对于，，，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【详解】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质通过作差法，及幂函数的单调性逐个判断即可. 【详解】因为，则，A错误； 因为，所以，又因为，所以，故B正确. 因为， 所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC 10. （多选）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二次函数图象性质数形结合即可分析求解. 【详解】函数的图象如图，， 因为函数的定义域为，值域为， 所以实数的取值范围是. 故选：ABC． 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合的单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对于A，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增. 若存在，使不等式成立， 等价于存在，成立，也即成立， 由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增， 故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确； 对于C，由可得， 因函数存在两个极值等价于有2个变号零点， 由，可得， 设，则， 则当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 故，且当，当， 则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点， 即得，也即，故没有最大值，即C错误； 对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数， 因，且，则， 由可得，即， 因是上的增函数，故， 又由，故， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布且，则____________. 【答案】0.25## 【解析】 【分析】先求出，由对称性可得. 【详解】已知，因此， 根据对称性可得：. 故答案为：0.25 13. 已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件构造函数，再由函数的导数倒推函数的解析式，再求解不等式. 【详解】令，， 则，又，∴， ∴， 所以，即， 解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和-16，数形结合三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，得到答案. 【详解】画出的图象，如下： 令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 根据对勾函数性质得，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，其在定义域内单调递减， 令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和-16， 由图象可知，三个整数根中，必有一个小于2， 显然只有满足要求，此时，故， 令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为， 所以最大整数解和最小整数解之积为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积； （2）求在上的单调性与最值． 【答案】（1）4 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意求得，进一步得切线方程即可求解； （2）直接求导得函数单调性，进一步得函数最值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 解得，而， 所以曲线在处的切线为， 令，解得，令，解得， 故所求为； 【小问2详解】 由（1）可知，设， 求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 注意到， 所以在上的最小值为，最大值为. 16. 甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． （1）在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； （2）记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 数学期望为1.9【解析】 【分析】（1）求出甲、乙、丙三人共投中2次的概率，再求出在此条件下有1次是甲投中的概率； （2）写出的所有可能取值，求出对应概率，列出分布列，求出数学期望 【小问1详解】 记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件，“甲投中”为事件． ， ． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 17. 设函数. （1）讨论的单调性； （2）若，为的两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分，，讨论导数的正负，得解； （2）由（1）以及有两个极值点，可得，且，代入并化简，结合基本不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 令，由， 当时，，由，得， 令，得， 令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 当时，，则，所以在R上单调递减； 当时，，则，故，所以在R上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在和上单调递减. 当时，所以在R上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，当时，有两个极值点，且满足，不妨设， 则， 因为，且，所以， 所以， 所以的取值范围为. 18. 已知函数与，若存在，使得，则称点为与的一个“关键点”． （1）请写出函数与的一个“关键点”的坐标（不需要证明）． （2）判断函数与是否存在“关键点”．若存在，求出该“关键点”的坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知函数和的一个“关键点”的坐标是，且，证明：． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 由题意得的值域为，的定义域为， ． 令，则，所以在上单调递增． 因为， 所以在上存在唯一零点，且． 当时，，在上单调递减，当时，， 在上单调递增，所以， 由，得，得，即， 所以，得． 又，所以不存在，使得，故与不存在“关键点”； （3） 设，则，得①，②， ①②得，①②得， 由，得，则， 得． 设，则， 设，则． 令函数，因为，所以在上单调递增． 由，得，得在上单调递增， 由，得在上单调递增， 所以，则． 故． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，找出符合要求的一个点即可得； （2）借助导数与零点的存在性定理可得的单调性，从而可得其最小值，结合的值域即可判断； （3）由题意可得，，化简计算有，再构造函数，结合导数研究其单调性即可得解. 【小问1详解】 设，则有， 故满足由的点都是与的一个“关键点”， 对，有，故点符合要求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． （1）求、； （2）求； （3）证明：是等比数列． 【答案】（1）； （2） （3） 记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为， 由题，可得， 而， ， ， 于是，， 也即， 首项为， 因此是首项为，公比为等比数列. 【解析】 【分析】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，结合古典概型的概率公式可求得、的值； （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，求出的值，分析可知的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列，由此可得出的值； （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，可得，推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率， 由题可知：，. 【小问2详解】 记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得， 由题易得的所有可能取值为、、、， 且， ， ， ， 所以的分布列为： 数学期望为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2023级高二下学期期末考试 数学学科试题 说明： 1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（ ） （参考数据：） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 定义一种运算则函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 6. 某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.08 C. 0.1 D. 0.15 7. 设则（ ） A. B. C. D. 8. 已知对于，，，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布且，则____________. 13. 已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集是________． 14. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积； （2）求在上的单调性与最值． 16. 甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． （1）在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； （2）记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 17. 设函数. （1）讨论的单调性； （2）若，为的两个极值点，求的取值范围. 18. 已知函数与，若存在，使得，则称点为与的一个“关键点”． （1）请写出函数与的一个“关键点”的坐标（不需要证明）． （2）判断函数与是否存在“关键点”．若存在，求出该“关键点”的坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知函数和的一个“关键点”的坐标是，且，证明：． 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． （1）求、； （2）求； （3）证明：是等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $