精品解析：宁夏回族自治区银川市湖畔中学2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

银川市湖畔中学2025-2026学年第二学期期末考试 七年级数学试卷 （时间120分钟，总分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分、每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂除法，合并同类项，积的乘方，平方差公式逐一判断选项． 【详解】A：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，A错误； B：∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变， ∴，B错误； C：∵积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，C错误； D：根据平方差公式可得，D正确． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件 B. “将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件 C. “画一个三角形，其内角和一定等于”是必然事件 D. “随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A．“短跑运动员1秒跑完100米”一定不会发生，是不可能事件，A错误； B．“将油滴入水中，油会浮在水面”一定会发生，是必然事件，B错误； C．“画一个三角形，其内角和一定等于”一定会发生，是必然事件，C正确； D．“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”可能发生也可能不发生，是随机事件，D错误． 4. 如图，中，，点B在直线b上．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查的是平行线的性质，三角形外角性质，先根据平行线的性质得出，再由三角形外角即可得出结论． 【详解】解：延长交直线b于， ∵，， ∴， ∵中，， ∴， 故选：A． 5. 水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 3 6 9 下列说法中，不正确的是（ ） A. 上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B. 时间每增加，容器中水的高度增加 C. 当容器中水的高度为时，对应的时间为 D. 当经过的时间为时，容器中水的高度是 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格表示的变量间关系，从表格中准确提取对应信息，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，该选项正确，不符合题意； B、由表格数据可得，，，以此类推，可知时间每增加，容器中水的高度增加，该选项正确，不符合题意； C、由表格可知，当容器中水的高度为时，对应的时间为，不是，该选项错误，符合题意； D、由表格可知，当经过的时间为时，容器中水的高度是，该选项正确，不符合题意； 6. 如图，已知，点在上，与交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，，，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质推出，再根据平角的定义求解即可．掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 7. 如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作，垂足分别为M，P，利用角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积得出的长，结合“垂线段最短”即可获得答案． 【详解】解：过点D作，垂足分别为M，P， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 选项中只有2不在这一范围内， 故选：D 8. 如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 石墨烯是一种以杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状的晶格结构的材料，现已初步应用于生物医学、移动设备、航空航天、新能源电池等诸多领域，而中国自主研发的新型石墨烯加热材料，是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为，则n的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为负整数时，的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数）． 根据科学记数法表示小于1的正数的形式，确定后，数出原数0.00000000034中左起第一个非零数字（3）前的0的个数，即可得到的值． 【详解】解：，所以的值为． 故答案为：． 10. 若，则的值为__． 【答案】8 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：∵，， ∴=． 故答案为8． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆运算；熟练掌握运算法则是解题关键． 11. 如图，已知，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线判定：同位角相等两直线平行，得到，再根据平行线性质：两直线平行同位角相等，得到，从而得到答案． 【详解】解：如图所示： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，数形结合，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． 12. 要使的结果中不含项，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键． 先计算多项式乘多项式，再使项系数为即可． 【详解】解：原式， ∵不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 小颖准备乘出租车到距家超过的科技馆参观，出租车的收费标准如下 里程数 收费/元 以内（含） 8.00 以外每增加 1.80 则小颖应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出函数关系式，解题关键是理解题意，找到x，y的等量关系．根据题中等量关系求函数关系式． 【详解】解：当时，由题意得：． 故答案为：． 14. 如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用三角形的中线的性质求面积，几何概率的含义，设，根据三角形的中线的性质求解，，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设， ∵，分别为，的中点， ∴，，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为， 故答案为： 15. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 16. 如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断①正确；由，，可得，从而得出，判断①正确；先证明，再证明，得出，判断④正确与否． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵是等腰直角三角形，∴，不能证明，故③不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算零次幂，负指数幂和乘方运算，再进行加减运算； （2）先计算幂的运算，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点。的三个顶点都是格点，其中．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画的中线； （2）在图2中，画的高线； （3）在图3中，M在格线上且是边上一点，画点M关于直线的对称点N． 【答案】（1） 如图所示，即为所作的线段； （2） 如图所示，即为所作的线段； （3） 如图所示，点即为所作的点 【解析】 【分析】（1）利用矩形对角线找中点：以为对角线，作格点矩形（四个顶点都在格点上），矩形两条对角线的交点就是的中点，连接，即为所求中线； （2）将向右平移3个单位，得到，根据正方形的邻边是互相垂直的，且是网格的对角线，找到以点为顶点的网格的另一条对角线即可； （3）在点的右侧数3个格，格点为，连接,过作水平的直线，交于，交于即可． 【小问1详解】 解：所在的网格是的，找到网格构成矩形的点，连接， 矩形的对角线交于， ∵矩形对角线互相平分， ∴为的中点， ∴为的中线； 【小问2详解】 解：将向右平移3个单位，得到 ∴， 根据正方形的邻边是互相垂直的，找到以点为顶点的网格的对角线，交于，过作交的延长线于， ∴，， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所作的线段； 【小问3详解】 解：在点的右侧数3个格，格点为，连接, ∴垂直平分， ∴， ∴ 过作水平的直线，交于，交于，即， ∴， 在和中， ∴, ∴， ∴也垂直平分， ∴点即为点M关于直线的对称点． 20. 如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等边对等角，平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，则可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； （3）若袋中有12个白球，估计袋中一共有多少个球； （4）在（3）条件下，小明说：取出4个白球（其他颜色球的数量没有改变），此时从盒子里随机摸出一个球是白球的概率为．判断小明的说法对吗，并说出你的理由． 【答案】（1）0.59，116 （2）0.6 （3）20个 （4）不对，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率和根据概率公式计算概率等知识． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）用除以摸到白球的概率即可得出袋中一共有多少个球． （4）取出4个白球后，盒子中白球剩8个，总球数剩16个，然后根据概率计算概率即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：0.59，116； 【小问2详解】 解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近， 故“摸到白球”的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； 【小问3详解】 解：（个）， 答：估计袋中一共有20个球； 【小问4详解】 解：不对； 理由：取出4个白球后，盒子中白球剩8个，总球数剩16个， 从盒子里随机摸出一个球是白球的概率为． 22. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， ∴______（ ）． ∵， ∴．即． ∴． ∵， ∴______（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【解析】 【详解】略 23. 周末，小明坐公交车到览山公园游玩，他从家出发0.8小时后到达新华书店，看书一段时间后继续坐公交车到览山公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往览山公园；如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是______，因变量是______； （2）小明家到览山公园的路程为______，小明在新华书店看书的时间为______； （3）小明从新华书店到览山公园的平均速度为______，小明爸爸驾车的平均速度为______； （4）求爸爸驾车经过多长时间追上小明． 【答案】（1） （2）30， （3）12，30 （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义，路程随小明离家时间的变化而变化，因此自变量是小明离家时间，因变量是离家路程； （2）结合题意读图即可知小明最终到达览山公园的路程为；再根据小明到达新华书店，才离开计算时间即可； （3）读图根据速度路程时间计算即可； （4）本题考查追及问题，根据追上时两人路程相等列方程即可求解． 【小问1详解】 ∵路程随小明离家时间的变化而变化， ∴自变量是小明离家时间，因变量是离家路程； 【小问2详解】 由图可知，小明最终到达览山公园的路程为； ∵小明到达新华书店，才离开， ∴看书时间为； 【小问3详解】 小明从新华书店到览山公园的路程，时间， ∴平均速度； 小明爸爸的路程为，时间， ∴平均速度； 【小问4详解】 设爸爸驾车经过小时追上小明， ∵ 追上时两人路程相等，爸爸路程为，小明路程为新华书店停留后剩余路程， ∴ ，  解得 答：爸爸驾车经过小时追上小明． 24. 阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中， 因为，，， 所以．所以． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是_________； （2）请你根据小亮的思路求出边的长度：_________（写出一个即可）； （3）迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为_________°． 【答案】（1）边角边（或） （2）1（或3） （3）88 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； 【小问3详解】 解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 25. 我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”．数形结合是数学研究的重要手段． （1）问题一： 当，，则________． （2）问题二：如图1所示，，，垂足为，垂足为，，，，，求：． （3）问题三：如图2所示，数轴上有A，B，C三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积． 【答案】（1） （2）29 （3） 【解析】 【分析】（1）结合，以及，，则，再解出，即可作答． （2）证明，可得，，可得，结合进一步即可作答． （3）先得出，结合题意得，长方形的面积，令，则，长方形的面积，，把数值代入，得，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 则； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：∵数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11． ∴ ∵分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点， ∴正方形的面积为正方形的面积为 ∵两正方形面积和为13， ∴， 依题意，长方形的面积， 令， ∴，长方形的面积，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长方形的面积， 26. 如图，长方形 中，，动点 P 从点 A 出发，以秒的速度沿长方形的边返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t秒． （1）当时，求的长； （2）连接，当中有任意两边相等时，求t 的值； （3）Q为边上的一点，且，直接写出当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等． 【答案】（1） （2）或4或13 （3）4或6或11或13 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，灵活运用分类讨论思想是解题关键． （1）根据题中条件求出的长即可求解； （2）分三种情况讨论：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时； （3）连接，要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于，分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵长方形 中，， ∴， 当时，则， ∴此时，点P在上， ∴； 【小问2详解】 解：当点在上时，是等腰三角形，如图， ∵， ∴， 根据题意得： ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点P在上时，是等腰三角形，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点P在上时，是等腰三角形．如图所示， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，或4或时，是等腰三角形，即中有任意两边相等； 【小问3详解】 解：根据题意，如图，连接， ∵， ∴， ∴要使一个三角形与全等，则以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形的直角边长分别为， 如图，当时， 此时， ∴（秒）； 如图，当时， 此时，则， ∴（秒）； 如图，当时， 此时， ∴（秒）； 当点重合时，， 此时，（秒）； 综上，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等时，t 的值为4或6或11或13． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市湖畔中学2025-2026学年第二学期期末考试 七年级数学试卷 （时间120分钟，总分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分、每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件 B. “将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件 C. “画一个三角形，其内角和一定等于”是必然事件 D. “随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件 4. 如图，中，，点B在直线b上．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 3 6 9 下列说法中，不正确的是（ ） A. 上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B. 时间每增加，容器中水的高度增加 C. 当容器中水的高度为时，对应的时间为 D. 当经过的时间为时，容器中水的高度是 6. 如图，已知，点在上，与交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 石墨烯是一种以杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状的晶格结构的材料，现已初步应用于生物医学、移动设备、航空航天、新能源电池等诸多领域，而中国自主研发的新型石墨烯加热材料，是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为，则n的值为________． 10. 若，则的值为__． 11. 如图，已知，，则__． 12. 要使的结果中不含项，则为______. 13. 小颖准备乘出租车到距家超过的科技馆参观，出租车的收费标准如下 里程数 收费/元 以内（含） 8.00 以外每增加 1.80 则小颖应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为____． 14. 如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_____． 15. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 16. 如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为______． 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点。的三个顶点都是格点，其中．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画的中线； （2）在图2中，画的高线； （3）在图3中，M在格线上且是边上一点，画点M关于直线的对称点N． 20. 如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：． 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； （3）若袋中有12个白球，估计袋中一共有多少个球； （4）在（3）条件下，小明说：取出4个白球（其他颜色球的数量没有改变），此时从盒子里随机摸出一个球是白球的概率为．判断小明的说法对吗，并说出你的理由． 22. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， ∴______（ ）． ∵， ∴．即． ∴． ∵， ∴______（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． 23. 周末，小明坐公交车到览山公园游玩，他从家出发0.8小时后到达新华书店，看书一段时间后继续坐公交车到览山公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往览山公园；如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是______，因变量是______； （2）小明家到览山公园的路程为______，小明在新华书店看书的时间为______； （3）小明从新华书店到览山公园的平均速度为______，小明爸爸驾车的平均速度为______； （4）求爸爸驾车经过多长时间追上小明． 24. 阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中， 因为，，， 所以．所以． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是_________； （2）请你根据小亮的思路求出边的长度：_________（写出一个即可）； （3）迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为_________°． 25. 我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”．数形结合是数学研究的重要手段． （1）问题一： 当，，则________． （2）问题二：如图1所示，，，垂足为，垂足为，，，，，求：． （3）问题三：如图2所示，数轴上有A，B，C三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积． 26. 如图，长方形 中，，动点 P 从点 A 出发，以秒的速度沿长方形的边返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t秒． （1）当时，求的长； （2）连接，当中有任意两边相等时，求t 的值； （3）Q为边上的一点，且，直接写出当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $