第1章 第4节 不等式及其性质-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式及其性质”专题，依据新课标核心素养要求，覆盖比较实数大小、不等式性质及应用等高考核心考点，结合考情分析明确以选择题为主的考查形式，高频考点如比较大小、充要条件问题占比突出，系统梳理作差法、性质推论等方法，构建完整解题体系。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，如通过典例用“作差法”比较代数式大小、“整体代换”求取值范围，强化逻辑推理和数学运算素养，设置易错点诊断（如不等式乘除符号判断），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准把握考点权重，提升复习效率。

第4节 不等式及其性质 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用 1.用不等式(组)表示不等关系，达成数学建模素养 2．比较两个数(式)的大小，发展逻辑推理和数学运算素养 3．不等式的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，高考中常以不等式、不等关系为载体考查充要条件问题，有时以新概念(定义)比较两个数的大小，题型多以选择题为主，题目难度不会太大 1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述 如果a－b是正数，那么a　>　b；如果a－b等于零， 那么a　＝　b；如果a－b是负数，那么a　<　b，反过来也对． (2)符号表示 a－b>0⇔a　>　b；a－b＝0⇔a　＝　b；a－b<0⇔a　<　b. 2．不等式的性质 性质1：如果a>b，那么a＋c　>　b＋c. 性质2：如果a>b，c>0，那么ac　>　bc. 性质3：如果a>b，c<0，那么ac　<　bc. 性质4：如果a>b，b>c，那么a　> c．(传递性) 性质5：如果a>b，则b＜a；反之如果b＜a，则a＞b. 推论1：如果a＋b>c，则a　>　c－b.(不等式的移项法则) 推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c　>　b＋d.(同向可加性) 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac　>　bd. 推论4：如果a>b>0，那么an　>　bn(n∈N，n>1)． 推论5：如果a>b>0，那么eq \r(n,a)　>　eq \r(n,b). 不等式的一些常用性质 1．倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)<eq \f(1,b). (2)a<0<b⇒eq \f(1,a)<eq \f(1,b). (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq \f(1,b)<eq \f(1,x)<eq \f(1,a) 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数的性质 eq \f(b,a)<eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)>eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)． (2)假分数的性质 eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)<eq \f(a－m,b－m) (b－m>0)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　 ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　 ) (3)同向不等式具有可加和可乘性．(　　 ) (4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒eq \f(a,d)＞eq \f(b,c).(　　 ) (5)若ab＞0，则a＞b⇔eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　 ) A．M>N　　　　　　　 B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：A　[M－N＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，所以M>N.] 2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　　 ) A．v<40 km/h B．v>40 km/h C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h 解析：D　[由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h.即v≤40 km/h.] 3．(教材改编)已知a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中不一定能成立的是(　　 ) A.eq \f(c,a)<eq \f(b,a) B.eq \f(b－a,c)>0 C.eq \f(b2,c)<eq \f(a2,c) D.eq \f(a－c,ac)<0 解析：C　[因为c<b<a，且ac<0，所以c<0，a>0，所以eq \f(c,a)<eq \f(b,a)，eq \f(b－a,c)>0，eq \f(a－c,ac)<0，但b2与a2的关系不确定，故eq \f(b2,c)<eq \f(a2,c)不一定成立．] 4．(教材改编)若－eq \f(π,2)<α<β<eq \f(π,2)，则α－β的取值范围是　________　. 解析：由－eq \f(π,2)<α<eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)<－β<eq \f(π,2)，α<β，得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 5．已知a>b>0，且c>d>0，则 eq \r(\f(a,d))与 eq \r(\f(b,c))的大小关系是　________　. 解析：∵a>b>0，c>d>0，∴eq \f(a,d)>eq \f(b,c)>0， ∴eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c)). 答案： eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c)) 用不等式(组)表示不等关系(基础点) 1．已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 　　　　食物种类 维生素类型　　　　 甲 乙 维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg) 800 400 设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为　________　. 解析：依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≤100，,600x＋700y≥56 000，,800x＋400y≥62 000，,x≥0，,y≥0，)) 整理化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≤100，,6x＋7y≥560，,2x＋y≥155，,x≥0，y≥0.)) 答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y≤100,6x＋7y≥560,2x＋y≥155,x≥0，y≥0)) 2．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为　________　. 解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少eq \f(x－10,1)×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.即x2－28x＋190≤0，同时10≤x≤20. 答案：x2－28x＋190≤0(10≤x≤20) 用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策略 (1)常见类型 ①常量与常量之间的不等关系； ②变量与常量之间的不等关系； ③函数与函数之间的不等关系； ④一组变量之间的不等关系． (2)解题策略 ①分析题目中有哪些未知量； ②选择其中起关键作用的未知量，设为x，再用x来表示其他未知量； ③根据题目中的不等关系列出不等式(组)． 提醒：(1)在列不等式(组)时要注意变量自身的范围，解题时极易忽略，从而导致错解． (2)将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如表： 文字语言 大于，高 于，超过 小于，低 于，少于 大于等于，至 少，不低于 小于等于，至 多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 比较两个数(式)的大小(重难点) [典例]　(1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　 ) A．M<N　　　　　　　 B．M >N C．M＝N D．不确定 (2)已知a≠1且a∈R，试比较eq \f(1,1－a)与1＋a的大小． [解析]　(1)B　[因为M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又a1，a2∈(0,1)，所以a1－1<0，a2－1<0， 所以(a1－1)(a2－1)>0，所以M ＞N.] (2)解：∵eq \f(1,1－a)－(1＋a)＝eq \f(a2,1－a)， ①当a＝0时，eq \f(a2,1－a)＝0，∴eq \f(1,1－a)＝1＋a. ②当a<1，且a≠0时，eq \f(a2,1－a)>0，∴eq \f(1,1－a)>1＋a. ③当a>1时，eq \f(a2,1－a)<0，∴eq \f(1,1－a)<1＋a. [互动探究] 若将本例(1)中a1，a2∈(0,1)这个条件去掉，又将如何判断M，N的关系？ 解：作差，即M－N＝(a1－1)(a2－1)． ①当a1，a2∈(－∞，1)时，(a1－1)(a2－1)>0， 即M >N； ②当a1，a2∈(1，＋∞)时，(a1－1)(a2－1)>0， 即M >N； ③当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，(a1－1)(a2－1)≤0，即M≤N. 综上，当a1，a2∈(－∞，1)或a1，a2∈(1，＋∞)时，M>N，当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，M≤N. 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 已知实数a、b、c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是(　　 ) A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：A　[∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， ∴c≥b.∵(b＋c)－(c－b)＝2a2＋2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＞0，∴b＞a.] 不等式的性质及应用 ◆[命题角度1]　判断或证明不等式是否成立(基础点)　 1．(2022·上海卷)若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋d＞b＋c B．a＋c＞b＋d C．ac＞bd D．ad＞bc 解析：B　[对于A，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但a＋d＝b＋c，故A错误； 对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a＋c＞b＋d，故B正确； 对于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误； 对于D，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．] 2．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc； ②eq \f(a,d)＋eq \f(b,c)＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　 ) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0， ∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0.∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴eq \f(a,d)＋eq \f(b,c)＝eq \f(ac＋bd,cd)＜0，故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d.∵a＞b， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确． 法二：取特殊值．] (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等． ◆[命题角度2]　求某些代数式的取值范围(综合点)　 [典例]　设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是　________　. [破题关键点]　一是将f(－2)用f(－1)和f(1)表示出来；二是求f(－2)＝4a－2b在eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1≤f－1≤2，,2≤f1≤4，))即在eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4))条件下的最值． [解析]　法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1) (m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋n＝4,n－m＝－2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝1))， ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法二：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f－1＝a－b,f1＝a＋b))， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1],b＝\f(1,2)[f1－f－1]))， ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. [答案]　[5,10] 　利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是　________　，3x＋2y的取值范围是　________　. 解析：∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2， ∴－4<x－y<2. 由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12 4<2y<6， ∴1<3x＋2y<18. 答案：(－4,2)　(1,18) $