第1章 第1节 集合-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦集合与常用逻辑用语核心考点，依据新课标要求梳理元素性质、集合关系、交并补运算等考查要点，对接高考评价体系分析集合运算、参数求解等高频考点权重，归纳选择填空典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于高考真题驱动与应试技巧指导，如结合2023新课标卷真题解析集合交集运算，通过数轴法突破子集关系参数范围问题，培养学生数学思维与数学抽象素养。特设易错点警示（如空集忽略）和解题模板，助力学生掌握逻辑推理方法，教师可据此精准定位学情，提升复习效率。

第1节 集 合 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． 2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 1.集合的基本概念，形成直观想象和提升数学运算的素养． 2．集合间的基本关系，提升逻辑推理和数学运算的素养． 3．集合的基本运算，形成直观想象，提升逻辑推理和发展数学运算的素养 　　集合的概念及运算的考查以集合的运算为主，其中交、并、补集的运算以及两集合包含关系的考查是高考的热点；题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不大，属低档题型，通常与函数、方程、不等式等知识结合，也常出现新情景设置题，考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用以及对新情景设置题的阅读理解能力 1．集合的基本概念 (1)集合元素的性质：　确定性　、　无序性　、　互异性　. (2)元素与集合的关系 ①属于，记为　∈　；②不属于，记为　∉　. (3)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N (N＋或N*) Z Q R (4)集合的表示方法：①　列举法　；②　描述法　；③　图示法　. 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 维恩图 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 　A⊆B(或B⊇A)　 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 　AB(或BA)　 集合相等 一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等 　A＝B　 3.集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 符号表示 A∪B 　A∩B　 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 数学语言 {x|　x∈A或x∈ } {x| x∈A且x∈B } {x|x∈U且x∉A}　 运算性质 A∪∅＝　A　； A∪A＝　A　； A∪B＝B∪A. A∩∅＝　∅　； A∩A＝　A　； A∩B＝B∩A. A∪(∁UA)＝　U　；A∩ (∁UA)＝　∅　； ∁U(∁UA)＝　A　. 1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B. 2．若集合A(A≠∅)中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)∅＝{0}．(　　) (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．(　　) (3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.(　　) (4)N⊆N＋⊆Z.(　　) (5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(10)}，a＝2eq \r(2)，则下列结论正确的是(　　 ) A．{a}⊆A　　　　　　　　 B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 解析：D　[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq \r(2)，知a∉A.] 2．(2023·北京卷，1)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1＜0}．则M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x＜1}　　 B．{x|－2＜x≤1} C．{x|x≥－2} D．{x|x＜1} 解析：A　[由题意，M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，N＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}， 根据交集的运算可知，M∩N＝{x|－2≤x＜1}．] 3．(教材改编)设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝　__________　，∁U(A∩B)＝　________　. 答案：{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3} 4．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是　________　. 解析：∵1∉{x|x2－2x＋a>0}， ∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}， 即1－2＋a≤0，∴a≤1. 答案：(－∞，1] 5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为　________　. 解析：法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数． 答案：9 集合的基本概念(基础点) 1．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N＋，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．6 解析：C　[点(4,4)，(3,5)，(2,6)，(1,7)符合题意．] 2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　 ) A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,8) C．0 D．0或eq \f(9,8) 解析：D　[若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a＝0时，x＝eq \f(2,3)，符合题意； 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq \f(9,8)， 所以a的取值为0或eq \f(9,8).] 3．a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝　______　. [解析]　由已知得a≠0，则eq \f(b,a)＝0，所以b＝0， 于是a2＝1，即a＝1或a＝－1， 又由集合中元素的互异性知a＝1应舍去，故a＝－1，所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1. [答案]　1 4．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为　________　. 解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去； 当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq \f(3,2)或m＝1(舍去)， 此时当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)≠3符合题意． 所以m＝－eq \f(3,2). 答案：－eq \f(3,2) 解决集合概念问题的一般思路 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． (2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 集合间的基本关系(重难点) [典例]　(1)已知集合A＝{x|ax＝1}, B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是(　　) A．{－1}　　　　　　　　 B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是___________． [解析]　(1)由题意，得B＝{－1,1}， 因为A⊆B，所以当A＝∅时，a＝0； 当A＝{－1}时，a＝－1；当A＝{1}时，a＝1. 又A中至多有一个元素， 所以a的取值构成的集合是{－1,0,1}． (2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2,2m－1≤7,m＋1<2m－1))，解得2<m≤4. 综上，实数m的取值范围为m≤4. [答案]　(1)D　(2){m|m≤4} [互动探究] 本例(1)中若A＝{x|ax>1(a≠0)}，B＝{x|x2－1>0}，其他条件不变，则a的取值范围是　________　. 解析：由题意，得B＝{x|x>1，或x<－1}， 对于集合A，①当a>0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>\f(1,a))))). 因为A⊆B，所以eq \f(1,a)≥1.又a>0，所以0<a≤1. ②当a<0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a))))). 因为A⊆B，所以eq \f(1,a)≤－1，又a<0，所以－1≤a<0，综上所述，0<a≤1，或－1≤a<0. 答案：[－1,0)∪(0,1] 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、维恩图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍． 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． 1．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　 B．1　　　 C.eq \f(2,3)　　 D．－1 解析：B　[若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足题意．] 2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为　________　. 解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2. ②若1∈B，则12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0， 解得m＝－eq \f(5,2)，此时B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合题意． 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2) 集合的基本运算 ◆[命题角度1]　求交集、并集　 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1,0,1}　　　　 B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} [解析]　C　[方法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}． 方法二：因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1,0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．] 2．(2022·全国甲卷，3)设全集U＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1,3}　 B．{0,3}　 C．{－2,1}　 D．{－2,0} 解析：D　[由B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}，A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．] ◆[命题角度2]　集合的交、并、补的综合运算(基础点)　 1．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N)　　　　　 B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析：A　[由题意可得M∪N＝{x|x＜2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x＞－1}，选项B错误；M∩N＝{x|－1＜x＜1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，选项C错误；∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x＜1或x≥2}，选项D错误．] [考题解读]　本题考查集合的交、并、补集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．集合是高考每年必考知识点，一般以容易题目呈现，位于选择题的前3题的位置上，所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定． 2．(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩(∁RB)＝{x|2＜x≤3} 解析：BD　[∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}， ∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2} ＝{x|－1＜x≤2}，故A不正确； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2} ＝{x|－2≤x≤3}，故B正确； ∵(∁RB)＝{x|x＜－2或x＞2}， ∴A∪∁RB＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，故C不正确； A∩(∁RB)＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确．] ◆[命题角度3]　利用集合的基本运算求参数的取值(范围)(重难点)　 [典例]　(1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　) A．－4　　 B．－2　　 C．2　　 D．4 [解析]　B　[解一元二次不等式x2－4≤0，可得A＝{x|－2≤x≤2}， 解一元一次不等式2x＋a≤0，可得B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(a,2))). 由于A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故－eq \f(a,2)＝1，解得a＝－2.] (2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是　________　. [解析]　∁RB＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(∁RB)＝R，则a≥2. [答案]　[2，＋∞) 解集合运算问题应注意以下三点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和维恩图． 　提醒：维恩图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 高考新题型—集合的新定义问题(创新点) [典例]　(2024·北京清华附中校考期中)对非空整数集合M及k∈N，定义M⊕k＝{m＋t|m∈M，t＝－k，－k＋1，…，k}，对于非空整数集合A，B，定义d(A，B)＝min{k∈N|A⊆B⊕k，B⊆A⊕k}． (1)设M＝{2,4,6}，请直接写出集合M⊕1； (2)设A＝{1,2,3,4，…，100}，d(A，B)＝1，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若d(A，B)＝4且d(B，C)＝1，求d(A，C)所有可能取值． [解析]　(1)若M＝{2,4,6}， 则由集合新定义可知M⊕1＝{1,3,5}∪{2,4,6}∪{3,5,7}＝{1,2,3,4,5,6,7}． (2)设B有|B|个元素，下证|B|min＝34. 一方面，B＝{2,5,8，…，98,101}，则AB⊕0＝B，所以d(A，B)≠0，即d(A，B)≥1，而B⊆A⊕1＝{0,1,2,3,4，…，101}，A⊆B⊕1＝{1,2,3,4，…，102}，这表明了d(A，B)＝1满足题意，此时|B|＝eq \f(101－2,3)＋1＝34，故|B|min＝34； 另一方面，若|B|＝j≤33，不妨设B＝{b1，b2，…，bj}且b1＜b2＜…＜bj， 由题意可知A⊆B⊕1＝{b1－1，b1，b1＋1}∪{b2－1，b2，b2＋1}∪…∪{bj－1，bj，bj＋1}，而B⊕1最多含有3j≤99个元素，当且仅当{bk－1，bk，bk＋1}(1≤k≤j)两两不同且|B|＝j＝33时，等号成立，但这与A有100个元素矛盾，所以|B|＝j≥34.综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34. (3)一方面：先来证明(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k＋l)，M⊕k＝{m＋t|m∈M，t＝－k，－k＋1，…，k}＝{n∈Z|∃m∈M，|n－m|≤k}，因此只要M1⊆M2，就有M1⊕k⊆M2⊕k，而∀x∈(M⊕k)⊕l，∃p∈M⊕k，|x－p|≤l，所以∃m∈M，|p－m|≤k，所以|x－m|＝|x－p＋p－m|≤|x－p|＋|p－m|≤l＋k，即∀x∈M⊕(k＋l)，从而(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k＋l)． 另一方面：如果d(A，B)＝p，d(B，C)＝q，d(A，C)＝r，那么A⊆B⊕p，B⊆C⊕q，B⊕p⊆(C⊕q)⊕p⊆C⊕(p＋q)，从而A⊆C⊕(p＋q)，同理C⊆A⊕(p＋q)，因此由定义可得d(A，C)＝r≤d(A，B)＋d(B，C)＝p＋q，即d满足距离的三角不等式； 所以在本题中，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)＝4＋1＝5，d(A，C)≥d(A，B)－d(B，C)＝4－1＝3，即d(A，C)∈{3,4,5}，取A＝{0}，B＝{4}，C＝{5}，可知d(A，C)＝5可能成立，取A＝{0}，B＝{4}，C＝{3}，可知d(A，C)＝3可能成立，取A＝{0}，B＝{4}，C＝{3,4}，可知d(A，C)＝4可能成立，综上所述，d(A，C)所有可能取值为3或4或5. 　　 集合新定义问题的方法和技巧： (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题． (2024·北京顺义高三统考期末)给定正整数n≥3，设集合A＝{a1，a2，…，an}．若对任意i，j∈{1,2，…，n}，ai＋aj，ai－aj两数中至少有一个属于A，则称集合A具有性质P. (1)分别判断集合{1,2,3}与{－1,0,1,2}是否具有性质P； (2)若集合A＝{1，a，b}具有性质P，求a＋b的值； (3)若具有性质P的集合B中包含6个元素，且1∈B，求集合B. 解：(1)集合{1,2,3}中的3＋3＝6∉{1,2,3},3－3＝0∉{1,2,3}， 所以集合{1,2,3}不具有性质P， 集合{－1,0,1,2}中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合{－1,0,1,2}，所以集合{－1,0,1,2}具有性质P； (2)若集合A＝{1，a，b}具有性质P，记m＝max{1，a，b}，则m≥1， 令ai＝aj＝m，则2m∉{1，a，b}，从而必有0∈{1，a，b}， 不妨设a＝0，则A＝{1,0，b}，b≠0且b≠1， 令ai＝1，aj＝b，则{1＋b,1－b}∩{1,0，b}≠∅，且{1＋b，b－1}∩{1,0，b}≠∅，b≠0且b≠1， 以下分类讨论： ①当1＋b∈{1,0，b}时，若1＋b＝0⇒b＝－1，此时，A＝{1,0，－1}满足性质P； 若1＋b＝1⇒b＝0，舍；若1＋b＝b，无解； ②当1＋b∉{1,0，b}时，则{1－b，b－1}⊆{1,0，b}，注意b≠0且b≠1，可知b无解； 经检验A＝{1,0，－1}符合题意，综上a＋b＝－1； (3)首先容易知道集合B中有0，有正数也有负数， 不妨设B＝{－bk，－bk－1，…，－b1,0，a1，a2，…，al}，其中k＋l＝5,0＜a1＜…＜al,0＜b1＜…＜bk， 根据题意{a1－al，…，al－1－al}⊆{－bk，－bk－1，…，－b1}，且{bk－b1，bk－1－b1，…，b2－b1}⊆{a1，a2，…，al}，从而(k，l)＝(2,3)或(3,2)， ①当(k，l)＝(3,2)时，{b3－b1，b3－b2}＝{a1，a2}，并且{－b3＋b1，－b3＋b2}＝{－b1，－b2}⇒b3＝b1＋b2，a2－a1∈{a1，a2}⇒a2＝2a1， 由上可得(b2，b1)＝(b3－b1，b3－b2)＝(a2，a1)＝(2a1，a1)，并且b3＝b1＋b2＝3a1， 综上可知B＝{－3a1，－2a1，－a1,0，a1,2a1}； ②当(k，l)＝(2,3)时，同理可得B＝{－2a1，－a1,0，a1,2a1,3a1}， 据此，当B中有包含6个元素，且1∈B时，符合条件的集合B有5个，分别是{－2，－1,0,1,2}， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,3)，0，\f(1,3)，\f(2,3)，1))， {－3，－2，－1,0,1,2}或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1，－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1)). $