第2章 第1节 函数及其表示方法-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 所以a十方-口的最大值为1： 它的面积y=x(l-3x), b 由x>0,且l-3x>0,可得函数的定 义城为(@，言) 。2+2a+1=1 2a≤1+2a (2)y=x(l-3x)= 1 a2+1 3 X3x(1-3x) =2,当且仅当a=1时取等号，此 3x十-3z 时-2≤a中1≤； 2 2,当x b 所以a十龙一a的最大值为反. 台时，这块长方形场地的面积最大， b 这时的长为1一3x= 之，最大面积 综上，a十方Q的最大值为2. [答案]√2 为2 考点3 命题角度4 [解析] 由a>b>0,得a [典例][解析](1)m>n>0,,∴.m [典例4们 b0, 十n>2√mm,mtn>√nmn, (+a-b 2 ∴.b(a-b)≤ 2 4 a=√em+n=e>em,又b .a2 a-≥a+ 1 a 号e+e>Fe-a>a> (2)对任意x∈N,f(x)≥3恒成立， 即+ax十山>≥3恒成立， x十1 ,即a 当且仅当b=a-b且a?=4 即知a≥- (+)十8. E6号对取学号. 设g()=1十8. EN: 1 a2+6a—万的最小值为4 [答案]4 到2=6，g43)=号：x2>3. 跟踪训练 1.C2.3+22 3.7+4√5 8 2 a≥-号故的取值范国 考点2 [典例][解](1)由tan9=AB BP t,得 BP=t(0≤t≤1)， [答案]1A2)[-号+） 可得CP=1-t. 跟踪训练1.D2.A ∠DAQ=45°-8， DQ-an(45-0-}号 第二章 第1节 夯实·必备知识必备知识 CQ=1- 1-t2t 1.唯一确定y=f(x),x∈A自变量 1+t1+t1 因变量定义域{y∈By=f(x), x∈A}2.定义域对应关系4.不 ∴.PQ=√Cp+CQ 同的对应方式6.只有一个 -P+() 思考辨析(1)/(2)×(3)/ (4)×(5)×(6)× =1+ 小题查验 1十t1 1.B2.B3.C ∴.△CPQ的周长l=CP+CQ+PQ 4.[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U 2t1+t =1一计1t 1+t =2为定值 (4,5] 7 (2)S=SE芳形ABCD -SAABP -S△ADQ 5.2 3+3 跃升·关键能力考点1 =1 t1×1-t 2 2X1+ 1.B 2.BC 3.AD =2- （+1+名)2 考点2 [典例][解析](1)法一：设t=√ 2 当且仅当t十1=千，即t=-1 十1，则x=(t-1),t≥1，代入原式 时等号成立 有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=2-2t ,探照灯照射在正方形ABCD内部 十1十2t-2=t一1.故f(x)=x2 1,x1. 区域的面积S最大为(2一√2)平方 百米. 法二：，x十2√Z=(WE)2+2√Z+1-1 跟踪训练 =(WE+1)2-1, 解：(1)设场地面积为y,垂直于墙的 .fG+1)=(WE+1)2-1,WE+1≥ 边长为x, 1,即f(x)=x2-1,x≥1. ·414· (2)法一（利用一般式）： 设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0). 「4a十2b十c=-1, 由题意得 a-b+c=-1, 4ac-62 =8, Aa 1a=-4, 解得b=4, c=7. 所求二次函数的解析式为f(x)= -4x2十4x十7. 法二（利用顶点式）： 婆+ ,抛物线的对称轴为 x-21 2 m=之，又根据题意函数有最大值 8,.n=8. ∴y=fx)=a(-)+8 :f(2)=-1, a(2-立) 1 +8=-1, 解得a=一4， f(x)=-4(x-2) 1)+8=-4x2 +4x+7. 法三（利用零，点式）： 由已知f(x)十1=0两根为x1=2, x2=-1, 故可设f(x)十1=a(x-2)(x十1)， 即f(x)=ax2-a.x-2a-1. 又函数有最大值ymx=8, 即4a(-2a-1)-a=8. Aa 解得a=-4或a=0(舍). .所求函数的解析式为f(x)= -4x2+4x+7. (3)当x∈(-1,1)时， 有2f(x)-f(-x)=lg(x十1).① 以-x代替x得，2f(-x)-f(x)= 1g(-x十1). ② 由①②消去f(一x)得， fx)=号gx+1D+号1g1-)7 ∈(-1,1). [答案](1)x2-1(x≥1) (2)f(x)=-4x2十4x+7 (3)f(x)= 号1gx+1)+吉g1- x),x∈(-1,1) 跟踪训练 2 1.2x+72.f(x)=lgxx>1) 3号+号 考点3命题角度1 1.(-∞，0)U(0,1] 2.{x-3<x<2且x≠1} 命题角度2 [典例1]B[由函数f(x)的定义域 为（一1,0），则使函数f(2x十1)有意 义，需满足-1<2x十1<0，解得-1 <I<- ，即所求函数的定义城 1 为(1，-)门 跟踪训练 1.(-1,1)2.[2,4] 命题角度3 [典例2][解析]因为函数f(x)的 定义域为R,所以2+2m-“-1≥0对 x∈R恒成立，则x2十2ax-a≥0恒 成立.因此有△=(2a)2+4a≤0，解 得一1a0. [答案][-1,0] 命题角度4 [典例3]D[函数y= x寸4mr十3的定义拔为R, mx-1 .m.x2十4m.x十3≠0， ∴m=0或{m≠0， {△=16m2-12m<0, 即m=0或0<m<年， “实数m的取值范周是[0，子）门 考点4命题角度1 1.C2.[-4,6] 命题角度2 [典例1][解析]，函数f(x)= fe十1，x<0, 12,x≥0， 方程f1十x)=f(2x), .当x<0时，2=e2x十1，解得x=0, 不成立； 当x≥0时，f(1十x2)=f(2x)=2, 成立. .方程f(1十x2)=f(2x)的解集是 {xx≥0}. [答案]{xx≥0} 跟踪训练1.号2 命题角度3 [典例2][解析]第一步解当x> 时)+(-)>1这-不 等式 由题意得，当x>是时，f(x)十 (-合)=2+2>1恒成立， 即x>立 第二步解当0<x≤3时，)十 f(-)>1这一不等式 当0<x≤合时，f(x)+f(x-）) =2十x- 十1>1恒成立，即0< 1 x≤2； 第三步 解x≤0时，f(x)十 f(-号)>1这一不等式 -之十1>1，解 当x≤0时x十1十x一之 得x> -<x<0 第四步取并集计算x的取值范围 综上x的取值范国是（，十○) [答案] 参考答案 跟踪训练2.（一∞，8] 当√a≤x1<x2时，x1x2>a,x1一x2 第2节 <0, 夯实·必备知识必备知识 所以f(x1)一f(x2)0, 1.(1)f(x1)<f(x2)单调递增 即f(x1)<f(x), (2)f(x1)>f(x,)单调递减 单调 所以函数f(x)在[Va,十o∞)上是增 区间单调递增区间单调递减区间 函数. 4.(1)f(x)≤f(x)最大值点 (2)f(x)≥f(x)最小值点 综上可知，函数f()=x十是(a>0) 5,最大最小最大值最小值 在(0，√a上是减函数，在[√a,十o∞) 思考辨析(1)×(2)×(3)× 上是增函数. (4)×(5)/(6)/ 考点2 小题查验 [典例] 1.A2.B3C4号1 [解析](1)由于y= x2+2x十1，x≥0， 5.>(-1,0)U(0,1) {-x2-2x+1,x<0, 跃升·关键能力考点1 即y= 命题角度1C ∫-(x-1)2+2,x≥0， 命题角度2 {-(x+1)2+2,x<0. [典例][证明]第一步，取值、作差、 画出函数图像如图所示，单调递增区 变形：设-1<x1<x2<1,f(x)= 间为(-∞，一1]和[0,1]，单调递减 (中()》 区间为[-1,0]和[1，十∞). (2)由题图可知f(x)在(-∞，0]和 则fa)-,)=a(+) ,十∞）上单调递减，而在 r 1 -+）F a(x2-x1) [0,]上单调递增，又0<a<1时， 第二步，判号、定论：由于一1<x1< y=l0gx为(0，十∞)上的减函数，所 x21, 以要使g(x)=f(logx)单调递减， 所以x2-x1>0,x1-1<0,2-1 <0, 秀要ogxe[0,号]即0≤1ogx≤ 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), 之，解得x∈[，. 函数f(x)在（一1,1）上单调递减； [答案](1)(-∞，-1]和[0,1] 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,即 [-1,0]和[1，十o)(2)B f(x1)f(x2), 互动探究 函数f(x)在（一1,1）上单调递增 1.解：函数y=-x 互动探究 十2x十1的图像如 证明：设-1<x1<x2<1, 图所示， 12011w2 则f(x)-f(x,)=a ax? 由图像可知，函数y xi-1x号-1 =一x2十2x十1的单调递增区间为 =a西x-ax1ax2x十azg (1一√2,1)和(1十√2，十∞)；单调递 (x-1)(x-1) 减区间为（一∞，1-√2）和(1,1十√2). Q(x2-x1)(x1x2十1) 2.解：由例(2)解析知，需l0g。x≤0或 (x-1)(x2-1) -1<x1<x2<1, 10gx≥号，解得x<1或≥6，又z .x2-1>0,x1x2十1>0， >0,所以单调递减区间为(0,1]，[√a, (x-1)(x号-1)>0. 十0). 因此当a>0时，f(x1)一f(x,)>0, 跟踪训练 1.B2.D 即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在 考点3 (一1,1)上为减函数」 [典例][解析](1)因为函数f(x) 跟踪训练 解：设x1,x2是定义域(0，十∞)上的 在区问[宁2]上是增画数，值境为 任意两个实数，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2) [22]所以（合）=2=2 -(a+4)(+) =二(x1x-a). 一2立解得a=号 11 X1T2 a2=2, 当0x1x2√a时， 0<x1x2<a,x1-x2<0, e当 所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), =x-1)P+2(x-1)+9=(x-1) x-1 所以函数f(x)在(0，√a上是减 9 函数； +2≥2-0·+2 ·415·第二章 函数、导数及其应用 第1节函数及其表示方法 ★[课程标准]1.通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学会用集合与对应 的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数 的定义域和值域.2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.3.通过具 体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 6.常数函数 1.函数的有关概念 值域 元素的函数，通常称为常数函数。 一般地，给定两个非空实数集A与B,以及对应 重要结论 关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,按 1.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域 照对应关系f,在集合B中都有 的实数 y=f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的 和对应关系完全一致 一个函数，记作 ,其中x称为 2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并 y称为 ,自变量取值的范围（即数集A)》 集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函 称为这个函数的 ,所有函数值组成的集 数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 合 ,称为函数的值域 自主诊断 2.同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数 相同， ◆[思考辨析] 也相同（即对自变量的每一个值，两个函 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数 里打“√”，错误的打“×” 表达式表示的就是同一个函数. (1)函数是建立在其定义域到值域的映射.() 3.函数的表示法 (2)函数y=f(x)的图像与直线x=a最多有2 个交点 () 函 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 数 (3)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一 的 <图像法 用图像表示两个变量之间的对应关系】 函数 () 表 (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个 法 <列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 函数是相等函数 ) 4.分段函数 (5)f(.x)= l与g(x) 1(x0), -1(x<0) 表示同一 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不 同取值区间，有 ,则称其为分 函数 段函数 (6)若A=R,B={xlx>0},f:x→y=1x|,其对 5.分段函数的图像 应是从A到B的映射： ( 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成 ◆[小题查验] 在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表 达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空 1.函数y=√ln(1-x)的定义域为 心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函 A.(0,1) B.[0,1) 数的图像」 C.(0,1] D.[0,1] ·24 第二章函数、导数及其应用 l0g2x,x>0, 4.函数y=f(x)的图像如图所 2.(教材改编)已知函数f(x)= 则 3,x≤0， 示，那么f(x)的定义域是 )的值是 ( ;值域是 A.9 B号 其中只与x的一个值对应 的y值的范围是 C.-9 5.(2022·浙江卷，14)已知函数f(x)= 3.下列图像可以表示以M={x0≤x≤1}为定义域， -x2+2,x≤1， 以N={y0≤y≤1}为值域的函数的是 ( +-11.则】 若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的最大 1x0 值是 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1) 函数的概念（基础点） 题后反思 1.下列所给图像是函数图像的个数为 函数的三要素 y y 定义域、值域、对应法则.这三要素不是独立的， 值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当且 ① ② ③ 仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一 A.1 B.2 C.3 D.4 函数.特别值得说明的是，对应法则是就效果而 2.(多选)(2024·锦州月考)有以下判断，其中判断 言的（判断两个函数的对应法则是否相同，只要 正确的有 看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量 1,x≥0， A.f(x)= x -与g(x) 表示同一 的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相 1,x<0 函数 同)不是指形式上的.即对应法则是否相同，不能 B.函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点最多 只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看 有1个 化简后的形式才能正确判断. C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=2-2t+1是同一 考点2 求函数的解析式（重难点） 函数 D.若)=l-川-，则ff(2】=0 [典例](1)已知f(√x+1)-x+2√(，则f(x) 3.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义 域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y (2)已知二次函数f(x)满足f(2)=一1，f(一1) =x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈[-2，-1]即为 =一1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式 “同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构 为 造“同值函数”的是 () (3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x) A.y=[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如 [0.1]=0) f(一x)=lg(x+1),则函数f(x)的解析式为 B.y=x+vx+1 C.y=1-logsx [尝试解答](1) (2) D.y+i (3) ·25· 高考总复习人教数学B版（新教材） 方法指导 ◆[命题角度2]求抽象函数的定义域（应用点） 函数解析式的求法 [典例1]已知函数f(x)的定义域为(-1,0)，则 (1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将 函数f(2x+1)的定义域为 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x),便得f(x)的解析式； A.(-1,1) (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函 数、二次函数)，可用待定系数法； C.(-1,0) ( (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可 [尝试解答] 用换元法，此时要注意新元的取值范围； ①跟踪训练 (4)消去法：已知关于f)与f)或f(-) 1.已知函数f(2x+1)的定义域是（一1,0），则f(x) 的表达式，可根据已知条件再构造出另外 的定义域为 个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 2.已知f(2x)的定义域是[-1,1]，则f(1og2x)的 定义域为 :跟踪训练 ◆[命题角度3]已知定义域确定参数问题 1.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)一2f(x [典例2](2024·合肥模拟)若函数f(x)= -1)=2x+17,则f(x)= 2已知f(径+)-1gx,则f(x)的解析式为 +2ax-a一1的定义域为R,则a的取值范围为 [尝试解答] 3.已知函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，且f(x)= 方法指导 2月)-1.则) 求抽象函数定义域的方法 考点3 函数的定义域 已知函数f(x)的定义域为 已知复合函数f[g(x)]的 [a,b],求复合函数f儿g(x] 定义域为[a,b],求函数 [命题角度1] 求给定函数解析式的定义域（基 的定义域 f(x)的定义域 础点) 由不等式a≤g(x)≤b解 求出y=g(x)(xe[a,b]) 1.(2022·北京卷，11)函数f(x)=1十√-x的定 得x,则x的取值范围即 的值域，即为y=f(x)的 为所求定义域 定义域 义域是 [口诀助读 2.函数y= 1g(2-x) 十(x一1)°的定义域是 √12+x-x2 定义域，是何意，自变量，有意义； 分式分母不为零，对数真数只取正； 题后反思 偶次根式要非负，三者结合生万物； 常见函数定义域的类型 和差积商定义域，不等式组求交集； 抽象函数定义域，对应法则内相同. 分式型f要满足fx)≠0： ◆[命题角度4]已知函数的定义域求参数的 2 值（范围）（应用点） 根式型fx)(neN)要满足fx)≥0： 3 [典例3] 若函数y m.x-1 的定义域为 [f(x)]°要满足f(x)+0: m.x2+4m.x+3 R,则实数m的取值范围是 ) 对数型loga f(x)(a>0,且a≠1)要满足fx)>0: 5 正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠罗+kn,keZ A(o】 提醒：(1)已知函数的解析式求定义域，构建使 c[,] 解析式有意义的不等式（组）求解.如果所给解 [尝试解答] 析式较复杂，切记不要化简后再求定义域. (2)所求定义域须用集合或区间表示 解题技法 (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意 已知函数的定义域求参数的值或范围，可将问题 义，又要考虑实际问题的要求 转化成含参数的不等式或方程，然后求解. ·26· 第二章函数、导数及其应用 春点4 分段函数及应用 核心素养 ◆[命题角度1] 求函数值、值域（最值）（基础点） 数学运算—解与分段函数有关的不等式 1+log2(2-x),x<1, 信息提取 信息解读 数学运算 1.设函数f(x) 2x-1,x≥1， 运算1：x>号时，f(x) 则f(-2)+f(log212)= A.3 B.6 C.9 D.12 +f(2)=公+ 2.定义新运算“①”：当a≥b时，a①b=a;当a<b 函数f(x)是分段函数， 2-+>1 时，a④b=.设函数f(x)=(1④x)x一(2①x), f()也是分段 着眼点：直接根据不等 函数 式解x的范围不易解， x∈[一2,2]，则函数f(x)的值域为 可考虑在x的范围x 题后反思 之的条件下，2,2+ 分段函数“两种”题型的求解策略 的范围 (1)根据分段函数解析式求函数值 f(x)= 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选 (x+1,x≤0， 2r,x>0, 题干已给出f(x)的解 定相应的解析式代入求解。 析式，可根据解析式的 运算2：0<1≤号时 (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或 求法求出f(-合) f+f(e-)）=2 范围 1 的解析式，即x一 +x-2+1>1. 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验 着眼点：解此不等式，可 所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变 时，f(x)= 考虑函数y=2r十x十 量的取值范围. +1 >0时， 1 合在区间(0，)上的 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分 f(e)=2+ 弹调性，借助函数的最 类讨论。 小值求解 ◆[命题角度2]解方程问题（重难点） 运算3：x≤0时，f(x)十 [典例1](2024·凉山模拟)已知函数f(x) e+1,x<0, 根据f(x)和 f(合)=+1+ 则方程f(1+x2)=f(2x)的解集是 2,x≥0， f(x)的解析式 +1>1 f(x)+ 着眼点：直接解不等式 写出f(x)+f 尝试解答 即可，注意不等式的解 （之)的解析式， 与条件x≤0取交集 方法指导 再根据x的范围分类 运算4：并集运算 讨论 分段函数与方程问题的求解思路 着眼点：最后x的取值范 围是前3段求解结果并 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验 起来 所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取 [尝试解答] 值范围. 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分 方法总结 类讨论. 分段函数与不等式问题的求解思路：依据分段函 数的解析式，对不同范围的不同段分类讨论求 跟踪训练 解，最后将各段结果取并集.注意每段不等式结 2x+1,x<1, 果与本段自变量的范围取交集得本段的最后 1.已知函数f(x) 且f[f(0)] x2+a.x,x≥1， 结果 4a,则f(-2)= ,实数a 跟踪训练 ◆[命题角度3]解不等式问题（重难点） x<1, (x+1x≤0， 2.设函数f(x)= x,x1, 则使得f(x)≤2成 [典例2]设函数f(x)= 则满足 2,x>0, 立的x的取值范围是 )十f(e-)>1的x的取值范国是 @温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关8 27