第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） >(） 所以g(t)在(0,1)上单调递增，所以 √n+n g(t)<g(1)=0, 即lnt-2(t1) <0, t+1 即n1<2(11少 t+1 =ln(n+1), 所以)>2a一子 即1 1 x1一x2 干 W22+2 4.解：1)g(x)=x+g≥2E=2c 1一>1n(n十1)，证华. √n+n (>0),当且仅当x=兰时取等号， 3.解：(1)当a=-1时，f(x)=lnx 当x=e时，g(x)有最小值2e 3 要使g(x)=m有零点，只需m ≥2e. ·f(x)=1-1,1 -2x-2 即当m∈[2e,十o∞)时，g(x)=m有 零点 x2十x-2 (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异 2x 实根，则函数g(x)与f(x)的图像有 (x+2)(x-1) 两个不同的交点. 2x 如图，作出函数 .当x>1时，'(x)<0;当0<x<1 gx 时，f(x)>0, g(x)=x+g（x> x 函数f(x)在(0,1)上单调递增，在 0)的大致图像。 f八x (1,十o)上单调递减. :f(x)=-x2十 (2)证明：因为f(x)=lnx十 2ex-m-1 1 3 =-(x-e)2+m-1+e2, 2x+z∈(0，+o∞)， ∴.其对称轴为x=e, 所以(x)=1十 1 f(x)max=m-1十e2. x 2 ax- 若函数f(x)与g(x)的图像有两个 =a.z2-x+2 交点，则m-1十e>2e,即当m> 2x -e十2e十1时，g(x)一f(x)=0有 因为f(x)存在两个极值点，所以a.x 两个相异实根.∴m的取值范围是 x十2=0在(0，十∞)有两根， (-e2十2e十1，十∞). 所以∫a>0, 第三章 第1节 1△=1-8a>0, 1 夯实·必备知识必备知识 所以0<a<8,且西十= a 1.(1)端点(2)正角负角零角 象限角轴线角2.(1)半径长 x1x2= 2 因为x）-f() 2()。r号a7品正弦 x1-x2 余弦4.(1)x2十y=1单位圆 (2)横坐标纵坐标5.(1)正数负 nm4-hz)片4aa-龙)-2a一西） 数(2)x=1 一 思考辨析(1)×(2)×(3)× In z-In z 1 (4)×(5)/(6)/(7)/(8) x1一x2 4 小题查验 要拉fu)f>2a-子，只常 1 1.C2.B3.D4.-15.1或4 x1一x2 跃升·关键能力考点1 证n-ln4>2a= 2 x1一x2 x1十x2 [典例][解析](1)：0=6x+2k 7 又：x1<x2工一x2<0, E号-+答e7.辰题 3 即证ln x1 十1 意0≤5+2<2x→ 3 ≤k< 7 T2 令互=t,则0<K1, 号ez k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与 六只需证n21-1」 t+1, 号相月的角为号贾票。 令gt)=lnt 2(t-1) t+1,t(0,1), (2)由a是第三象限的角得π十2kπ< 所以g()=1-4 (t-1)2 a受+2， t (t+1)=t+1) .-3-2km<-a<-元-2km, ≥0， ·428· 即受十2kx<-a<元十2kπ(k∈Z), .角一《的终边在第二象限 由x+2r<a<受+2k,得2x十kr< 2a<3π十4kπ(k∈Z), .角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴. [答案](1)2红，20x,34红(2)第二 7’2121 象限第一、二象限及y轴的非负 半轴 互动探究 解析：因为元十2kx<a<受十2kx( ,所以晋+<号<受+ 3 3 3 (k∈Z). 当k=3n(n∈Z)时，号十2nx<号< 受+2mmn∈Z; 当=3n+1(n∈)时，x十2nx<号 <7匹+2mx(n∈Z0; 6 当k=3m十2n∈刀时，号+2x<号< 昔+2amae. 综上，号的终边在第一、三、四象限。 答案：第一、三、四象限 跟踪训练 1.A 2.{a90°十n·180°a135°十n· 180°，n∈Z} 考点2 [典例们[解]设圆心角是，半径是 r,则2r十8=40. 1 又S=29r=2r(40-2r)=r(20 r)=-(r-10)2+100100.当且仅 当r=10时，Smx=100,此时2×10 十108=40,0=2.所以当x=10,0=2 时，扇形的面积最大 互动探究 解：设半径为r则由=sin60°， 六r=4,l=a·r=83n 3元. 跟踪训练3 5 考点3 [母题][解析]第一步：利用两，点间 的距离公式求出，点P到坐标原，点的 距离r 设P与原，点的距离为r, :P(-4a,3a),a<0, ∴.r=√（-4a)+(3a)=5a =-5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义 式求出sina的值. sina=39=- 3 -5a [答案]一 3 [子题1]解析：当a<0时，sina= 子：当a>0时=a,血a= 3 答案：-是或号 [子题2]解：设α终边上任一点为 P(-4a,3a), 当a>0时，r=5a,sina= 5:cos a= 5 ,tan a=- 3 9 当a<0时，r=-5a,sina=一 3 5,cos a =号am=- 3 「子题3]解：由题设知x=一√3，y =71, r2=0P2=(-√5)2+m(0为 原点)，r=√3十m. ∴sina==2m=m r42√2 .r=√3+m=22, 即3十m2=8,解得m=士√5. 当m=√5时，r=2√2，x=-√5， y=W5, .'cos a= 2√2 41 tan a= 压， 3 当m=-√5时，r=2√2，x=-√5， y=-√5， 'cos a= 3 =- 2√2 4 tan a √5 3 考点4命题角度1 1.D2.D 命题角度2 3.D 4.解：如图所 示，画出2 P 与的正放 P2 M2M 线、余弦线、 正切线，由 图观察可 得，的正 弦线为MP1 ,4π的正弦线为M,P2: 5 二的正切线为A,号的正切线为 3 AT:要的余弦线为O,悟的余弦 线为OM;又|MPI>|MP2, -AT1<-AT2|<0,0> -OM>-1OM,1,所以 (1)sin>sin 31 (2)tan 5 2r∠tan 号：(3cas号>os号 .4π 参考答案 跟踪训练 (2)sin'a 2sin acos a- sin'a+2sin acos a 1.C2.二 sin a cos a 第2节 16_8 8 夯实·必备知识必备知识 -tan'a+2tan a-9 3 1+tan'a 251 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a sin a [子题3] 解：由如a+3cs0=5,得 tan a -tan a -tan a 3cos a-sin a 思考辨析(1)×(2)× (3)× tama+3=5,即ana=2, (4)/(5)× 3-tan a 小题查验 考点2 1.A2.B3.号 4.25.-1 (1)一3 2w53)-是 跃升·关键能力考点1 考点3 [母题][解](1)联立方程 [典例门 [解析])：(+a)十 1 sina+cosa=5，① (-a）=x, (sina十cos2a=1, ② 1 由①得c0sa= 一sina,将其代入 tam(答+a）-a[x-(骨-a] ②，整理得 m(借-） 25sin'a-5sin a-12=0. (2)因为日是第四象限角， ,a是三角形内角， 4 sin a= 且血(+)是 4 .tana= cos a=-3 3 所以叶平是第一象限角， 1 (2) =sin'a+cos'a 所以cos(0+平)=手 cos'a-sin'a cos'a-sin'a sin2a土cosa 所以m(9-至) cosa tan a-l cos'a-sin'a 1-tan'a' -sm[-受+(+)] cos a sim[受-(+)] .tan a= 3 tana1 =o(+)=-台 cos'a-sin'a 1-tana (0)-or[受+(-)] o[登-(+)] 1-(号) =血(+）=寻， [子题1] 解：由tana= 1 sm(9平) = 3cos a, 所以(-) eo(0-) 将其代入sina十cos2a=1, 得号cos时a=1. 3 ∴.c0s2a= 0,易知c0sa<0, [答案](1)- ③ (2)- 跟踪训练 2.A .'cos a= 3√10 10 sin a= y10 10 √10 第3节 故sina十cosa= 5 夯实·必备知识必备知识 [子题2] 解：由母题可知：tana= 2.2π 4 「2x-号2+受] [2k元-元，2kπ] (1)sin a-4cos a 2k+，2km+ 2 tan a-4 5sin a+2cos a 5tan a+2 [2k元，2k元十元] (kπ，0) -4 (x+受，0) x=kπ 3 5×()+2 7 思考辨析(1)√(2)√ (3)× (4)×(5)× 429第三章 三角函数、解三角形 第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数 ★[课程标准]1.了解任意角的概念和孤度制的概念，体会引入孤度制的必要性.2.能进行孤度与角度 的互化.3.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 3.任意角的三角函数 1.角的概念的推广 如图，设&是一个任意角，P(x,y)是 (1)定义：角可以看成是一条射线绕着它的 a终边上异于原点的任意一点，， 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. =√x2+y2 前提 按旋转方向不同分为 P(xy) (2)分类 按终边位置不同分为 和 y a Ox M (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角组成 一个集合，这个集合可记为S={B引B=a十k· y称为a的正弦，记作sina, 360°，k∈Z}. 正弦 2.弧度制的定义和公式 即sina=y (1)定义：把长度等于 的弧所对的圆心角 叫做l弧度的角，弧度记作rad. 工称为a的余弦，记作cosa, 余弦 (2)公式 即c0sa=兰 角α的弧度数公式 a=L(弧长用1表示) 定 义 义称为a的正切，记作tana, 正切 ①1-&orad 即tana= x 角度与弧度的换算 ②1rad= 对于每一个角α，都有唯一确定的 三角 与之对应：当公≠受十x 弧长公式 弧长1= 函数 ∈Z)时，有唯一的正切与之对应.角 a的正弦、余弦与正切，都称为α的三 扇形面积公式 1 S- 2,Ir= 角函数 ·79· 高考总复习人教数学B版（新教材） 4.单位圆的相关概念 终边落在x轴上的角 ]{aa=kπ，k∈Z} (1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足 的点组成的集合称为 终边落在y轴上的角 {ala=罗tkπ，k∈Z (2)a的坐标：如果角α的终边与单位圆的交点为 P,则P的坐标为(cosa,sina).这就是说，角a 集 终边落在坐标轴上的角 aa=5m,kEZ 的余弦和正弦分别等于角：终边与单位圆交点 的 和 自主诊断 5.三角函数线 (1)正弦线和余弦线的概念： ya的终边 ◆[思考辨析] /P 如图所示，如果过角α终边与 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 单位圆的交点P作x轴的垂 里打“/”，错误的打“×”. 线，垂足为M,则OM可以直观 B的终边 (1)小于90°的角是锐角. 地表示cosa:OM的方向与x轴的正方向相同 (2)锐角是第一象限角，反之亦然 ) 时，表示cosa是 ,且cosa=|OMl: OM的方向与x轴的正方向相反时，表示cosa (3)三角形的内角必是第一、第二象限角.( 是 ,且cos&=-|OM1.习惯上，称 (4)不相等的角终边一定不相同. ) OM为角a的余弦线.类似地，图中的MP可以 (5)终边相同的角的同一三角函数值相等.( 直观的表示sin&,因此称MP为角a的正弦线， (6)点P(tana,cosa)在第三象限，则角a终边在 (2)正切线的概念： 经的 第二象限 如图所示，设角α的终边与直 线 交于点T,则可以 (7)ae（0,受)则tan。>a>sine ( 直观地表示tana,因此AT称为 角a的正切线 (8)a为第一象限角，则sina十cosa>1.( 重要结论 ◆[小题查验] 1.三角函数值的符号规律 1.(教材改编)一870°角的终边在第几象限( 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、 A.- B.二 C.三 D.四 三正切、四余弦 2.若a分别为、Ⅱ、Ⅲ、N象限角，则号所在象限如图 2.(2024·湖北新高考联考协作体联考)已知sin(π -0)>0,c0s0<0,则0是 () A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.(教材改编)已知角α的终边上一点P的坐标为 Sin 5x 6.cos ,则角a的最小正值为() 3.若a∈0，)，则ana>a>sina A c D. 第一象限角{a2km<a<2km+5,keZ 4.已知角a的终边在直线y=一x上，且cosa<0, 第二象限角{a2km+∑<a<2km+m,kEZ 则tana= 的 第三象限角 a2hm+m<a<2km+3Tk∈Z 合 5.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形 第四象限角 a2kT+3T <a<2kr+2m,k∈Z 的圆心角的弧度数是 ·80· 第三章三角函数、解三角形 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1)角的集合表示及象限角的判定（应用点） 春点2)扇形的弧长及面积公式（应用点） [典例] (1)若角0的终边与产角的终边相同，则 [典例]已知扇形周长为40，当它的半径和圆心 角分别取何值时，扇形的面积最大？ 在[0,2)内终边与号角的终边相同的角为 汇关键突破点]建立扇形的面积S与其半径r 的函数关系式求解 (2)如果a是第三象限的角，则角一a的终边所在 [尝试解答] 位置是 ,角2a的终边所在位置是 [尝试解答 (1) (2) O[互动探究] 在本例(2)的条件下，角号终边所在的位置是 解题指导 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件 的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所 有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值 。[互动探究] 来求得所需角. 本例题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长 (2)表示区间角的三个步骤 为AB=12”,试求弧长1. ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止 边界. ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应 的一360°~360°范围内的角a和B,写出最简 区间. ③起始、终止边界对应角α，3再加上360°的 整数倍，即得区间角集合 (3)已知角a终边所在的象限，求2a、号r一a等 角的终边所在象限问题，可由条件先写出Q 的范围，解不等式得出角2，受x一。等的范 围，再根据范围确定象限， 方法指导 跟踪训练 应用弧度制解决问题的方法 1.若a=k·180°+45(k∈Z),则a在 ( (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意 A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 角的单位必须是弧度. C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次 2.已知角α的终边落在阴影所表示的范围内（包括 函数的最值问题，利用配方法使问题得到 边界)，则角α的集合为 解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理 地利用圆心角所在的三角形 跟踪训练 扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆 半径的子，面积等于圆面积的7，则扇形的弧长 与圆周长之比为 ·81 高考总复习人教数学B版（新教材） 专点3 三角函数的定义（迁移点） 专点4三角函数值的符号与三角函数线（重难点） [母题]设角a终边上一点P(一4a,3a)(a<0), ◆[命题角度1]三角函数值的符号 则sina的值为 1.下列各选项中正确的是 核心素养 A.sin300>0 B.c0s(-305°)<0 数学运算- 三角函数定义应用中的核心素养 C.tan 小 D.sin 10<0 信息提取 信息解读 数学运算 2.若α为第四象限角，则 角a的顶点在 A.cos 2a>0 B.cos 2a<0 已知角α终边 坐标原点，始 C.sin 2a0 D.sin 2a<0 题后反思 上一点P的 边为x轴的非 先求点P到坐 熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函数值在 坐标（一4a, 负半轴，终边 可以由点P 标原点的距离 各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正 3a)(a<0) r,再利用sinc 切、四余弦. 的坐标确定 =y,求sina ◆[命题角度2]三角函数线 可以利用任意 r 3.已知cosa>cosB,那么下列结论成立的是( 角的三角函数 的值 A.若a,3是第一象限角，则sina>sinB 求sina的值 定义，求sina B.若a,B是第二象限角，则tana>tanB 的值 C.若a,3是第三象限角，则sina>sinB D.若a,3是第四象限角，则tana>tan3 [尝试解答」 4.利用三角函数线比较下列各组数的大小： [子题1] 若母题中“a<0”,改为“a≠0”，则sina sin管与sn栏：(21an号与tam号。 3 的值为 4π [子题2]已知角a的终边在直线3x+4y=0上， (3)co 2π与c05 求sina,cosa,tana的值. [子题3]已知角的终边上一点P(-√3，m)(m 题后反思 2m求cosa,tana的值 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 ≠0)，且sina 在单位圆中作出所要比较的角的三角 关键 函数线 比较大小，既要注意三角函数线的长 注意点 短，又要注意方向 !跟踪训练 规律总结 1.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有 用定义法求三角函数值的两种情况 A.a<b<c B.b<a<c (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出 C.c<a<b D.a<c<b 点P到原点的距离r,然后用三角函数的定 2.若点(sin0cos0,2cos0)位于第三象限，则角0是 义求解； 第 象限的角。 (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设 C温馨提 出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距 学习至此，请完成配套训练 课时冲关24 离，然后用三角函数的定义来求解. 82