第2章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦利用导数研究函数极值、最值核心考点，依据新课标要求构建知识体系，从极值概念、导数关系到最值求法、优化问题层层递进。通过概念梳理、易错辨析、分命题角度讲解（判断极值、求解极值、已知极值求参数）及真题训练，帮助学生突破分类讨论等难点，体现复习系统性与针对性。 资料特色在于按高考命题角度分层设计，如结合2023全国乙卷极值点问题案例，通过导数符号分析培养逻辑推理素养，设置基础小题到综合应用的分层练习提升数学运算能力。方法总结与即时反馈保障复习效果，为教师提供清晰教学路径，助力学生高效掌握考点，提升应考能力。

第12节　利用导数研究函数的极值、最值 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.借助函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) . 3．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系 1.利用导数研究函数的极值，达成数学抽象和数学运算素养． 2．利用导数研究函数的最值，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．利用导数研究生活中的优化问题，发展数学建模和数学运算素养 　　函数的极值与最值是高考的热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及到方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是考查的热点内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大 1．函数极值的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x都有 (1)f(x)＜f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； (2)f(x)＞f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值． 2．可导函数的极值与导数之间的关系 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 3．函数的最值 (1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)在(a，b)内可导且存在最值，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点． (2)求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　. ②将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的　函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 4．利用导数求解实际问题中的优化问题 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案． 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可． (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质． (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 3．若函数f(x)在闭区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图像连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　 ) (2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　 ) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　 ) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　 ) (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　 ) (6)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× ◆[小题查验] 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　 ) A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．] 2．(教材改编)函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　 ) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 解析：A　[∵f′(x)＝3ax2＋b， ∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得经检验符合题意．] 3．函数y＝xex的最小值是(　　 ) A．－1 B．－e C．－ D．不存在 解析：C　[y′＝ex＋x·ex， 令y′＝0，则x＝－1， ∵x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0， ∴x＝－1是函数的唯一极小值点，即为最小值点， ∴x＝－1时，ymin＝－.] 4．(教材改编)函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是　________　. 解析：∵y′＝1－2sin x，∴当x∈时，y′>0； 当x∈时，y′<0. ∴当x＝时，ymax＝＋. 答案：＋ 5．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为　________　 cm3. 解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm. 则y＝(10－2x)(16－2x)x ＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)， ∴y′＝12x2－104x＋160. 令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)， ∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)． 答案： 144 　利用导数研究函数的极值 ◆[命题角度1]　由函数图像判断其极值情况(基础点)　 1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　 ) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析：D　[由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．] ◆[命题角度2]　利用导数求函数的极值(重难点)　 2．设a>0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)． (1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． 解：(1)由已知，得x>0，f′(x)＝x－(a＋1)＋， y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1， 所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋＝1， 所以a＝0，此时f(2)＝2－2＝0， 故所求的切线方程为y＝x－2. (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ ＝＝. ①当0<a<1时，若x∈(0，a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 若x∈(a,1)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 若x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－a2＋aln a， 极小值是f(1)＝－. ②当a＝1时，f′(x)＝>0， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增， 此时f(x)没有极值点，故无极值． ③当a>1时，若x∈(0,1)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 若x∈(1，a)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 若x∈(a，＋∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－，极小值是f(a)＝－a2＋aln a．综上，当0<a<1时，f(x)的极大值是－a2＋aln a，极小值是－； 当a＝1时，f(x)没有极值； 当a>1时，f(x)的极大值是－，极小值是－a2＋aln a. 　　 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤 (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点． 易错警示：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． ◆[命题角度3]　已知极值(点)，求参数的取值(重难点)　 3．(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)　　　 B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3,0) 解析：B　[f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a， 若f(x)存在3个零点，则f(x)存在极大值和极小值，则a＜0，令f′(x)＝3x2＋a＝0， 解得x＝－或 ， 且当x∈∪时， f′(x)＞0， 当x∈，f′(x)＜0， 故f(x)的极大值为f，极小值为f，若f(x)要存在3个零点，则即解得a＜－3.] 4．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0 解析：BCD　[由题可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－＝，由函数f(x)既有极大值也有极小值知f′(x)在(0，＋∞)上有两个不等实根，令h(x)＝ax2－bx－2c，则h(x)在(0，＋∞)上有两个不等实根，所以即所以 所以b与a同号，c与a异号，故bc＜0，所以A错误，B、C、D正确．] 利用导数研究函数的最值(重难点) [典例]　已知函数f(x)＝x2eax，其中a≤0，e为自然对数的底数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值． [解]　(1)f′(x)＝2xeax＋x2aeax＝x(ax＋2)eax. ①当a＝0时，由f′(x)>0，得x>0，由f′(x)<0，得x<0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减； ②当a<0时，由f′(x)>0，得0<x<－， 由f′(x)<0，得x<0或x>－. 故函数f(x)在上单调递增， 在(－∞，0)与上单调递减． (2)①当a＝0时，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值为f(1)＝1； ②当－2<a<0时，－>1，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值是f(1)＝ea； ③当a≤－2时，0<－≤1，x＝－是函数f(x)在区间[0,1]上唯一的极大值点，也就是最大值点， 此时函数f(x)最大值是f＝. 综上得当－2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大值是ea； 当a≤－2时，f(x)在[0,1]上的最大值为. 　　 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，首先可判断函数在[a，b]上的单调性，若函数在[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值．若函数在[a，b]上不单调，一般先求[a，b]上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值． 易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 已知函数f(x)＝(x－k)ex， (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  －ek－1  所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k.当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增． 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1. 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时， f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e. 利用导数研究生活中的优化问题(应用点) [典例]　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元． (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. [思维导引]　(1)建造费用＝表面积×单价，用r把l表示出来，再由l≥2r得到r的取值范围，即函数y的定义域；(2)利用导数求该容器的建造费用最小时的r. [解]　(1)设容器的容积为V，由题意知 V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝.由于l≥2r，因此≥2r， 整理得≥5r，故0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c. 因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2. (2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝ ，0<r≤2.由于c>3， 所以c－2>0， 当r3－＝0时，r＝ . 令 ＝m，则m>0， 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当0<m<2，即c>时，当r＝m时，y′＝0； 当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0. 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点． ②当m≥2，即3<c≤时， 当r∈(0,2]时，y′<0，函数单调递减， 所以r＝2是函数y的最小值点． 综上所述，当3<c≤，建造费用最小时r＝2； 当c>，建造费用最小时r＝ . 　　 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)． (2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点． (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． (2024·绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，即a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4时，函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 　　 　利用导数求解函数极值和最值的综 合问题(重难点) 1．(多选)(2024·山东省高三模拟)关于函数f(x)＝aln x＋，下列判断正确的是(　　) A．函数f(x)的图像在点x＝1处的切线方程为(a－2)x－y－a＋4＝0 B．x＝是函数f(x)的一个极值点 C．当a＝1时，f(x)≥ln 2＋1 D．当a＝－1时，不等式f(2x－1)－f(x)＞0的解集为 解析：ACD　[因为f(x)＝aln x＋，所以f(1)＝2，f′(x)＝－，所以f′(1)＝a－2， 因此函数f(x)的图像在点x＝1处的切线方程为y－2＝(a－2)(x－1)， 即(a－2)x－y－a＋4＝0，故A正确； 当a＜0时，f′(x)＝－＜0在x∈(0，＋∞)上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点，故B错； 当a＝1时，f′(x)＝－＝，由f′(x)＞0得x＞2；由f′(x)＜0得0＜x＜2， 所以函数f(x)＝ln x＋在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增； 因此f(x)min＝ln 2＋＝ln 2＋1，即f(x)≥ln 2＋1；故C正确； 当a＝－1时，f′(x)＝－－＜0在x∈(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 由f(2x－1)－f(x)＞0可得，解得＜x＜1，故D正确．] 2．(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)存在两个不同的零点 B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C．当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2 解析：ABC　[A.f(x)＝0⇒x2＋x－1＝0，解得x＝，所以A正确； B．f′(x)＝－＝－， 当f′(x)＞0时，－1＜x＜2，当f′(x)＜0时，x＜－1或x＞2， (－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1,2)是函数的单调递增区间， 所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确． C．当x→＋∞时，y→0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，所以C正确；D.由图像可知，t的最大值是2，所以不正确．] 　　 解决函数极值、最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，思维要规范，含参数时，要讨论参数的大小． (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． 学科网（北京）股份有限公司 $