第2章 第10节 导数的概念与计算（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学高考复习讲义围绕导数的概念与计算，涵盖导数定义、几何意义、基本公式、四则运算及复合函数求导等核心考点，按“概念—公式—应用”逻辑层次展开。通过考点梳理、方法指导（如导数定义三步法）、真题训练（含2023全国甲卷等典型题）等环节，帮助学生突破切线方程、参数求解等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出分层教学与素养导向，如在导数几何意义教学中，设计“判断切线类型—设切点坐标—列方程求解”三步策略，结合思考辨析和小题查验，培养学生逻辑推理和数学运算素养。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合易错警示（如“在”与“过”切线区别），确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第10节　导数的概念与计算 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想． 2．通过函数图像直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数 1.导数的概念，发展逻辑推理和数学运算素养． 2．导数的计算，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．导数的几何意义及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点，导数的运算一般不单独命题，常融合在与导数有关的其他题目中；而导数的几何意义是一个高频考点，常与函数、解析几何放在一起综合考查，有时还作为解答题的一部分呈现． 本节内容主要以选择题、填空题或解答题中第一问的形式出现，属于中低档题 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率　＝. 无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．此时，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k. (2)几何意义：f′(x)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的　切线的斜率　.相应地，切线方程为　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　. 2．函数y＝f(x)的导函数 一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导，此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数． 记作f′(x)(或y′，y′x)，即f′(x)＝y′＝y′x＝，导函数通常也简称为导数． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　0　 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cos_x　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sin_x　 f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝　axln_a　 f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若如果f(x)，g(x)都可导．则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； (2)[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 (1)复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． (2)复合函数的导数 一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝ [f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)． 这一结论也可以表示为y′x＝　y′uu′x　. 1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　 ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　 ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　 ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　 ) (5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(　　 ) 答案：(1) √　(2)×　(3)√　(4)×　(5) √ ◆[小题查验] 1．(教材改编)函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　 ) A．xsin x　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：B　[y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．] 2．函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f′(x)的图像可能是(　　 ) 解析：D　[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，故选D.] 3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)(　　) A．既是周期函数，又是奇函数 B．既是周期函数，又是偶函数 C．不是周期函数，但是奇函数 D．不是周期函数，但是偶函数 解析：B　[因为y＝f(x)是周期函数， 所以有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导， 得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)， 即f′(x＋T)＝f′(x)， 所以导函数为周期函数．又y＝f(x)是奇函数．所以f′(x)为偶函数] 4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝　________　m/s，加速度a＝　________　m/s2. 解析：v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案：(－9.8t＋6.5)　－9.8 5．(教材改编)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为　________　. 解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)，y＝ln x＋x＋1求导得y′＝＋1，依题有＋1＝2得x0＝1， 所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案：2x－y＝0 　导数的概念(基础点) 1．设f(x)是可导函数，且满足 ＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为　________　. 解析：令2x＝Δx，由x→0，得Δx→0， 则有 ＝－1，即f′(1)＝－1， 由导数的几何意义知，y＝f(x)在(1，f(1))处切线斜率为－1. 答案：－1 2．用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数． 解：设f(x)＝， 则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1 ＝＝ ＝， ＝－， ∴ ＝ ＝－. ∴y′|x＝1＝－. 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)计算导数f′(x0)＝ . 　导数的计算(基础点) 1．(多选)(2024·安徽宿州校考)下列函数求导运算正确的是(　　 ) A.′＝1＋ B．(tan x)′＝ C.′＝ex－ D．(x2cos x)′＝－2xsin x 解析：BC　[A.′＝1－，故A错误；B.(tan x)′＝′＝＝，故B正确；C.(ex－)′＝ex－′＝ex－＝ex－，故C正确；D.(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D错误．] 2．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f′＝(　　) A．－2　　 B．2　　　 C.　　 D．－ 解析：A　[由题意，f′(x)＝2cos 2x－2sin 2x， 所以f′＝2cos π －2sin π＝－2.] 3．函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f＝　________　. 解析：f′(x)＝2x＋f′cos x，∴f′＝＋f′，∴f′＝，∴f＝＋. 答案：＋ 4．已知f(x)＝ln，则f′(x)＝　________　. 解析：f′(x)＝′＝′＝· ＝. 答案： 　　 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)含参函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 　导数的几何意义及应用(重难点) ◆[命题角度1]　求切线方程　 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　 ) A．y＝x　　　　 B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析：C　[设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝， 所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以y－＝(x－1)， 所以曲线y＝在点处的切线方程为 y＝x＋.] 2．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为　________________　. 解析：y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)． ∴斜率k＝e0×3＝3， ∴切线方程为y＝3x. 答案：y＝3x 3．(2022·新高考Ⅱ卷，14)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　________　，　________　. 解析：当x＞0时，点(x1，ln x1)(x1＞0)上的切线为y－ln x1＝(x－x1)，若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝. 当x<0时，点(x2，ln(－x2))(x2<0)上的切线为y－ln(－x2)＝(x－x2)．若该切线经过原点， 则ln(－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. 答案：y＝　y＝－ 　　 1．已知切点A(x0，f(x0))，求切线方程的步骤 (1)求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 易错警示：求切线方程的“在”“过”两重天 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解． (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标． ◆[命题角度2]　求切点坐标　 4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝　________　. 解析：y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)． ∴ 解得∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2 　　 求切点坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． ◆[命题角度3]　求参数的值　 5．(2024·深圳光明区一调)已知函数f(x)＝x2ex－2ex，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线2x－ay＋3＝0垂直，则a＝(　　 ) A．－2e　 B．－　　 C.　 D．2e 解析：A　[f′(x)＝(x2＋2x)·ex－2e，f′(1)＝3e－2e＝e，由于曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线2x－ay＋3＝0垂直，所以·e＝－1⇒a＝－2e.] 6．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝　________　. 解析：因为y′＝1＋，所以y′|x＝1＝2，故切线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 联立，由Δ＝0，得a＝8. 答案：8 　　 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． ◆[命题角度4]　切线斜率相等问题　 7．(多选)(2024·山东省高三模拟)已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值(　　) A.　　 B．3　　　 C.　　　 D. 解析：AC　[由题可知，f(x)＝x3－x2＋ax－1，则f′(x)＝2x2－2x＋a. 令切点的横坐标为m，且m＞0，可得切线斜率k＝2m2－2m＋a＝3. 由题意，可得关于m的方程2m2－2m＋a－3＝0有两个不等的正根，且可知m1＋m2＝1＞0， 则，即，解得3＜a＜，∴a的取值可能为，.] 8．(多选)已知函数f(x)＝－ln x，若f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处切线平行，则(　　) A.＋＝ B．x1x2＜128 C．x1＋x2＜32 D．x＋x＞512 解析：AD　[由题意知f′(x)＝－(x＞0)，因为f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处切线平行，所以f′(x1)＝f′(x2)，即－＝－，化简得＋＝，A正确；由基本不等式及x1≠x2，可得＝＋＞2，即x1x2＞256，B错误；x1＋x2＞2＞32，C错误；x＋x＞2x1x2＞512，D正确．] 　　 求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 学科网（北京）股份有限公司 $