第2章 第9节 函数模型及应用（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦函数模型及应用高考核心考点，涵盖一次、二次、指数、对数等函数模型，按“基础模型—增长差异—解题步骤—题型突破”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习，帮助学生系统掌握图像刻画、模型应用与构建等难点。 资料以数学建模和直观想象素养为导向，创新采用“模型对比+真题溯源”教学法，如通过验证法判断函数图像，分二次、指数、分段函数构建模型实例。设置基础到综合分层练习，配合即时反馈，高效提升学生运算与建模能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第9节　函数模型及应用 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义 1.用函数图像刻画实际问题中两变量的变化过程，达成直观想象素养． 2．应用所给函数模型解决实际问题，发展数学建模和数学运算素养． 3．构建函数模型解决实际问题，提升数学建模和数学运算素养 　　函数模型的实际应用主要考查利用函数图像刻画实际问题，以选择题的形式出现；以解答题出现的是构建函数模型解决实际问题，综合考查导数、二次函数的图像与性质、基本不等式等，多是解决实际问题中的最值问题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与性质 　　函数 性质　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 　单调递增　 　单调递增　 　单调递增　 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与　y轴　平行 随x的增大逐渐表现为与　x轴　平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 3.解决应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； (2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题； (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案． 　形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－)和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2，当x＜0时，x＝－时取最大值－2. [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　 ) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　 ) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　 ) (4)幂函数增长比直线增长更快．(　　 ) (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．(　　 ) 答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是(　　 ) 解析：C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.] 2．(教材改编)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是　________　万元． 解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝－10Q－2 000＝－ (Q－300)2＋2 500， 所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元)． 答案：2 500 3．(教材改编)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为　________　(m)． 解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大． 答案：20 4．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝　________　，经过5小时，1个病毒能繁殖为　________　个． 答案：2ln 2　1 024 　　　用函数图像刻画实际问题中两变量的变化过程(基础点) 1．(2024·云南师大附中校考期末)如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是(　　) A．y＝mx＋n(m＞0) B．y＝m＋n(m＞0) C．y＝max＋n(m＞0，a＞1) D．y＝mlog4x＋n(m＞0，a＞1) 解析：B　[A选项，由题中散点图知身高y随时间x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图像不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义．] 2．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图像可能是图中的　________　. 解析：当h＝0时，V＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h大于时，增加越来越慢． 答案：② 3．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是　________　. 解析：－表示区间端点连线斜率的负数，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确． 甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力强，④错误． 答案：①②③ 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 　　　应用所给函数模型解决实际问题(重难点) [典例]　(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　　　　　 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 [解析]　ACD　[∵Lp1－Lp2＝20×lg－20×lg＝20×lg≥0，∴≥1，∴p1≥p2，所以A正确； ∵Lp2－Lp3＝20×lg＞10，∴lg＞，∴＞10，所以B错误； ∵Lp3＝20×lg＝40，∴＝100，所以C正确； ∵Lp1－Lp2＝20×lg≤90－50＝40，∴lg≤2， ∴≤100，所以D正确．] [追踪教材]　本题以噪声污染为背景与物理知识交汇，定义声压级，考查对数函数的实际运用，参照人教B版《必修第二册》第44页例4命制． 　　 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围． (2024·河北高三校联考)昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足ln y＝－ln t－x2＋a，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝(　　) A．3　　 B．4　　 C．5　　 D．6 解析：B　[由题意ln m＝－4k＋a，ln＝－ln 4－b2＋a，所以ln m－ln＝－4k＋a－，即－4k＋b2＝0.又k≠0，所以b2＝16.因为b＞0，所以b＝4.] 构建函数模型解决实际问题(应用点) ◆[命题角度1]　构建二次函数模型　 1．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)． (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式． (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． (ⅰ)若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ (ⅱ)问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 解：(1)设A，B两种产品分别投资x万元，x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元． 由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2. 根据图像可解得f(x)＝0.25x(x≥0)． g(x)＝2(x≥0)． (2)(ⅰ)由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6. 所以总利润y＝8.25 万元． (ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元． 则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18. 令＝t，t∈[0,3 ]， 则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋. 所以当t＝4时，ymax＝＝8.5， 此时x＝16,18－x＝2. 所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元． 　　 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得． ◆[命题角度2]　构建指数函数模型　 2．已知某物体的温度v(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是v＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)． (1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围． 解：(1)若m＝2，则v＝2·2t＋21－t＝2， 当v＝5时，2t＋＝， 令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，即2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1. 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即v≥2恒成立， 亦m·2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立． 令＝y，则0<y≤1，∴m≥2(y－y2)恒成立， 由于y－y2≤，∴m≥. 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是. 　　 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． ◆[命题角度3]　构建分段函数模型　 3．已知华为公司生产某款华为手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设华为公司一年内共生产该款华为手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款华为手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 核心素养 数学建模——在分段函数中应用的核心素养 信息提取 信息解读 数学建模 年固定成本为40万美元 固定成本，与产量、销量无关 模型1：求利润最大模型 着眼点：利润＝销售收入－成本．成本包含固定成本、变动成本等所有题干涉及的成本 模型2：分段函数模型 着眼点：分段函数的最值是其每个区间段上的最值中的最大者或最小者，应分别求解后进行比较． 注意：实际问题中，x的取值不仅要使函数有意义，也要有实际意义 每生产1万只还需另投入16万美元 变动成本，与产量正相关，每生产x万只手机增加成本16x万美元 每万只的销售收入为R(x)万美元 年利润＝年销售总收入－固定成本－变动成本，则W＝xR(x)－(16x＋40) 注意： R(x)为每万只的销售收入，年销售总收入应该为xR(x)，x为年产量(万只) 年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式 所获得的利润最大时的年产量 固定成本，与产量、销量无关 解：(1)第一步　分别列出0＜x≤40和x＞40时对应的利润W.当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360. 第二步　列出利润W的分段函数 所以W＝ (2)第三步　计算0＜x≤40时的利润W的最大值 ①当0＜x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104. 所以Wmax＝W(32)＝6 104； 第四步 计算x＞40时的利润W的最大值 ②当x＞40时，W＝－－16x＋7 360， 由于＋16x≥2＝1 600， 当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5 760. 第五步　得出本题的利润W的最大值 综合①②，当x＝32时，W取最大值为6 104万元． 　　 1．本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于自变量在不同范围内，对应的函数解析式不同，因此，此类问题最值的求解是必须先求出函数在每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值． 2．解函数应用题的一般程序 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． “硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿．最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为x百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1 500万元，最多能够生产80百台，每生产一百台高级设备需要另投成本G(x)万元，且G(x)＝每台高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出． (1)求企业获得年利润P(x)(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 解析：(1)∵G(x)＝ ∴当0≤x≤40时， P(x)＝200x－(3x2＋20x)－1 500＝－3x2＋180x－1 500. 当40<x≤80时， P(x)＝200x－205x－＋3 350－1 500 ＝－5x－＋1 850. 综上所述，P(x)＝ (2)由(1)得 P(x)＝ ∴当0≤x≤40时，P(x)＝－3x2＋180x－1 500＝－3(x－30)2＋1 200， ∴当x＝30时，P(x)max＝1 200(万元)； 当40<x≤80时， P(x)＝－5x－＋1 850 ＝1 850－5 ≤1 850－5×2 ＝1 250(万元)， 当且仅当x＝，即x＝60时等号成立． 又1 250>1 200. 故当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1 250万元． 　　　　新高考题型—函数新结构、新定义问题 [典例]　(2024·河南·统考模拟预测)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X＝{1,2，…，p－1}，若u，ν∈X，m∈N，记u⊗ν为uν除以p的余数，um，⊗为um除以p的余数；设a∈X,1，a，a2，⊗，…，ap－2，⊗，两两不同，若an，⊗＝b(n∈{0,1，…，p－2})，则称n是以a为底b的离散对数，记为n＝log(p)ab. (1)若p＝11，a＝2，求ap－1，⊗； (2)对m1，m2∈{0,1，…，p－2}，记m1⊕m2为m1＋m2除以p－1的余数(当m1＋m2能被p－1整除时，m1⊕m2＝0)．证明：log(p)a(b⊗c)＝ log(p)ab⊕log(p)ac，其中b，c∈X； (3)已知n＝log(p)ab.对x∈X，k∈{1,2，…，p－2}，令y1＝ak，⊗，y2＝x⊗bk，⊗.证明：x＝y2⊗y. 法2：由题设和(2)的法2的证明知： 由(2)法2的证明知ap－1，⊗＝1，所以y2⊗y＝x. 　　 本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解． 　(2024·浙江宁波效实中学校考期中)黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，R(x)＝ . (1)请用描述法写出满足方程R(x)＝x(x≠0)的解集；(直接写出答案即可) (2)解不等式R(x)＞x＋； (3)探究是否存在非零实数k，b，使得y＝R(kx＋b)为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意，x≠0， 当x＝1时，R(x)＝0，则方程R(x)＝x无解，当x为(0,1)内的无理数时，R(x)＝0，则方程R(x)＝x无解， 当x＝(p，q∈N＋，为既约真分数)时，则R(x)＝，q为大于1的正整数，则由方程R(x)＝x，解得x＝，q为大于1的正整数， 综上，方程R(x)＝x(x≠0)的解集为{x|x＝，q为大于1的正整数}． (2)若x＝0或x＝1或x为(0,1)内无理数时，R(x)＝0，而x＋＞0，此时R(x)＜x＋， 若x＝(p，q∈N＋，为既约真分数)，则R(x)＝，q为大于1的正整数，由R(x)＞x＋，得＞×＋，解得p＋q＜5，又因为x＝(p，q∈N＋，为既约真分数)，所以x＝，，综上，不等式R(x)＞x＋的解为. (3)存在非零实数k＝1，b＝，使得y＝R(kx＋b)为偶函数，即y＝R为偶函数，证明如下： 当x＝0或x＝1时，有R(0)＝R(1)＝0成立，满足R(x)＝R(1－x)， 当x为(0,1)内的无理数时，1－x也为(0,1)内的无理数，所以R(x)＝R(1－x)＝0，满足R(x)＝R(1－x)，当x＝(p，q∈N＋，为既约真分数)，则1－x＝1－＝为既约真分数，所以R(x)＝R(1－x)＝，满足R(x)＝R(1－x)， 综上，对任意x∈[0,1]，都有R(x)＝R(1－x)， 所以R(x)关于x＝对称，即R＝R，则R为偶函数，所以，存在非零实数k＝1，b＝，使得y＝R(kx＋b)为偶函数． 学科网（北京）股份有限公司 $