第2章 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦幂函数、反函数及指数对数函数关系等高考核心考点，按定义-图像-性质-应用逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习，帮助学生系统掌握性质应用与大小比较等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以直观想象和数学抽象为核心，创新采用图像特征总结（如“指大图低”规律）、方程根转化为函数图像交点等策略，设置思考辨析与梯度练习，助力学生高效突破图像对称及性质综合应用，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第6节　指数函数、对数函数的关系与幂函数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图像，掌握它们的性质． 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 4．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系． 5．利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题 1.幂函数的图像与性质，提升数学抽象和直观想象的核心素养． 2．了解反函数的概念，达成数学抽象的核心素养． 3．利用指数、对数函数的图像与性质解决简单问题可提高直观想象，逻辑推理的核心素养 　　幂函数，反函数，指数函数与对数函数的关系是高考的常考内容，高考一般不单独命题，通常与其它知识相结合命题，属于低中档题，考查函数与方程及数形结合的数学思想 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如　y＝xα　的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图像 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R 　[0，＋∞)　 {x|x≠0} 值域 R 　[0，＋∞)　 R [0，＋∞) 　{y|y≠0}　 奇偶性 　奇　 偶 　奇　 非奇非偶 奇 单调性 在R上 单调 递增 　在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增　 　在R上单调递增　 　在[0，＋∞)上单调递增　 　在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减　 公共点 　(1,1)　 2.反函数的概念 (1)一般地，如果在函数 y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的　反函数　. (2)一般地，函数y＝f(x)的反函数记作　y＝f－1(x)　. y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的　值域　相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的　定义域　相同， y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线　y＝x　对称． (3)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数一定　存在　.如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是　增函数　；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是　减函数　. 1．有关幂函数的几个结论 对于形如f(x)＝ (其中m∈N＋，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图像关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图像关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图像只在第一象限(或第一象限及原点处)． 2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2 是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)函数y＝x的反函数是y＝logx.(　　) (5)函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　) (6)函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于直线y＝x对称．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．(2024·济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝(　　 ) A.　　 B．1　　　 C.　　 D．2 解析：C　[由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.] 2．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　 ) 解析：B　[图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.] 3．若函数f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B. C．x D．2x－2 解析：A　[y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.] 4．已知y＝的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－，则x0＝ (　　) A．－2 B．－1 C．2 D． 5．若幂函数y＝(m2－3m＋3) 的图像不经过原点，则实数m的值为　________　. 解析：由，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合． 答案：1或2 　幂函数的图像与性质(基础点) 1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图像是(　　 ) 解析：C　[令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝.] 2．若，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a<b<c　　　　　 B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　 ) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析：B　[∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) 在(0，＋∞)上是减函数， ∴∴n＝1， 又n＝1时，f(x)＝x－2的图像关于y轴对称，故n＝1.] 4．若，则实数a的取值范围是　__________　. 解析：不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 答案：(－∞，－1)∪ 1．幂函数的解析式：y＝xα(α∈R)，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．幂函数的图像特征：①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．②曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸． 3．幂函数的性质： (1)若α为偶数，则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数；若α为奇数，则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数．反之，不成立．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 4．幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 　反函数的概念与性质 ◆[命题角度1]　求反函数　 [典例1]　写出下列函数的反函数： (1)y＝lg x；(2)y＝5x＋1；(3)y＝()x； (4)y＝x2(x≤0)． [解]　(1)y＝lg x的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x. (2)由y＝5x＋1，得x＝，所以反函数为y＝(x∈R)． (3)y＝()x的底数为，它的反函数为对数函数y＝x(x＞0)． (4)由y＝x2，得x＝±. 因为x≤0，所以x＝－.所以反函数为y＝－(x≥0)． ◆[命题角度2]　反函数的图像及性质　 [典例2]　(1)如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是(　　) [解析] C　[由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图像为C.] (2)已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值． [解]　因为y＝ax＋b的图像过点(1,4)，所以a＋b＝4.① 又因为y＝ax＋b的反函数图像过点(2,0)， 所以点(0,2)在原函数y＝ax＋b的图像上．所以a0＋b＝2.② 联立①②得a＝3，b＝1. 　　 1．求反函数的一般步骤 (1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围． (2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个． (3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域． 2．互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上． 1．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是(　　) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1) 解析：D　[∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.] 2．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点　________　. 解析：∵y＝f(x)的图像过点(0,1)， ∴f(4－x)的图像过点(4,1)，∴g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点(1,4)． 答案：(1,4) 　　　　　指数、对数函数图像与性质的应用 [典例]　(1)设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值． [解]　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3. 如图可知， a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标． 由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称， 由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称， 于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．而A、B都在直线y＝－x＋3上， 所以b＝－a＋3(A点坐标代入)， 或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3. (2)已知函数f(x)＝log2(1－2x)． ①求函数f(x)的定义域和值域； ②求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称． [解]　①要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义， 则1－2x>0， 即2x<1.故x<0，此时0<1－2x<1，∴f(x)＝log2(1－2x)<0， 故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)． ②证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称． 　　 形如ax＋kx＝b(a＞0且a≠0)或logax＋kx＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题. 学科网（北京）股份有限公司 $