第2章 第5节 对数与对数函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，按概念、运算性质、图像及性质的逻辑层次梳理知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建从基础运算到复合函数应用的完整知识体系，突破单调性、图像应用等难点。 资料采用母题迁移与分层训练策略，如通过构造函数图像解决对数不等式问题，培养学生直观想象和数学运算素养。设置基础查验、典型例题、方法总结三级练习，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第5节　对数与对数函数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 1.对数的基本运算，发展数学运算素养． 2．对数函数的图像及应用，提升直观想象和数学运算素养． 3．对数函数的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　对数及对数的运算性质，以对数函数为载体的对数型函数的图像和性质，考查函数值的大小比较及单调性的应用，尤其是有关对数函数的复合函数是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 1．对数的概念 (1)在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． (2)当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，由此可知，只有N>0时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数． 2．常用对数和自然对数 (1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log ”写成“lg ”，即把log10N简写为lg N. (2)以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为ln N. 3．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③alogaN＝　N　；④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)． (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N>0，那么 ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②loga＝　logaM－logaN　； ③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)； ④＝logaM(m，n∈R，且m≠0)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：　logbN＝　(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝　logad　. 4．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)称为对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图像与性质 底数 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：　R　 当x＝1时，y＝0，即过定点　(1,0)　 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0　 当x>1时，　y<0　； 当0<x<1时，　y>0　 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 　对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　 ) (2)log2x2＝2log2x.(　　 ) (3)当x>1时，logax>0.(　　 ) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像只在第一、四象限．(　　 ) (5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(2022·浙江卷，7)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25　　 B．5　　　 C.　　　 . 解析：C　[将log83＝b转化为指数，得到8b＝3.再结合指数的运算性质，8b＝(23)b＝23b＝3，因此2a－3b＝＝，所以4a－3b＝，故本题选C.] 2．(2024·凯里市模拟)已知a，b，c均为正实数，若2a＝log2a－1,2－b＝ b，c＝log2c，则(　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 解析：C　[2a＝a，b＝b，c＝log2c，利用函数y＝2x，y＝x， y＝x，y＝log2x，如图所示，由图像可得a＜b＜c.] 3．设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 解析：D　[函数f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，则f(x)为奇函数，x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，单调递增；x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ ln，单调递减．] 4．(教材改编)函数y＝的定义域为　________　. 解析：由，解得x∈. 答案： 5．(教材改编)函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图像须过点　________　. 答案：(3,2) 　对数的基本运算(基础点) 1．(多选)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　 D．2 解析：AD　[令t＝logab，则t＋＝，∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0， ∴t＝或t＝2，∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b. ∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4，∴＝2.或＝.] 2．(2024·广州质检)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝　________　. 解析：根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7. 答案：－7 3.＝　________　. 解析：原式＝ ＝＝－. 答案：－ 4．若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝　________　. 解析：∵14b＝5，∴log145＝b，又log147＝a， ∴log3528＝＝＝. 答案： 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 　对数函数的图像及应用(迁移点) [母题]　当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．(1，) D．(，2) [破题关键点]　方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图像的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法． [解析]　B　[法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图像，可知，f<g，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为. 法二：∵0<x≤，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1， ∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝，x＝， 则有＝2，＝1，显然4x<logax不成立，排除选项A.] [子题1]　将母题变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由x2－logax<0，得x2<logax， 设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax， 要使x∈时，不等式x2<logax恒成立， 只需f1(x)＝x2在上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当a>1时，显然不成立； 当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2， 所以有2≤loga，解得a≥，∴≤a<1. 即实数a的取值范围是. 答案： [子题2]　将母题变为：当0<x≤时，<logax，则实数a的取值范围是　________　. 解析：若<logax在x∈成立，则0<a<1，且y＝的图像在y＝logax图像的下方，如图所示， 由图像知<loga， ∴解得<a<1. 即实数a的取值范围是. 答案： [子题3]　将母题变为：已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是　_______　. 解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点． 答案：a>1 　　 应用对数型函数的图像可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 　对数函数的性质及应用(重难点) ◆[命题角度1]　比较对数值的大小　 1．已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c　　　　　　 B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：A　[易知a，b，c∈(0,1) 由＝＝log53·log58<＝<＝1，所以a<b， 因为b＝log85，c＝log138，所以8b＝5,13c＝8， 即85b＝55,134c＝84.又因为55<84,134<85， 所以134c＝84>55＝85b>134b，即b<c. 综上所述：a<b<c.] 2．若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 解析：B　[由指数与对数运算可得：2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，又因为22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，即2a＋log2a<22b＋log22b，令f(x)＝2x＋log2x，由指，对函数单调性可得f(x)在(0，＋∞)内单调递增，由f(a)<f(2b)可得：a<2b，所以选B.] ◆[命题角度2]　解简单的对数不等式　 3．已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围为　________　. 解析：∵f(x)＝logax， 则y＝|f(x)|的图像如图． 由图知，要使x∈时恒有|f(x)|≤1，只需≤1， 即－1≤loga≤1，即logaa－1≤loga≤logaa. 当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3； 当0<a<1时得a－1≥≥a，得0<a≤. 综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)． 答案：∪[3，＋∞) ◆[命题角度3]　与对数有关的复合函数问题　 4．若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为　________　. 解析：由－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f(x)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需解得≤m<2. 答案： ◆[命题角度4]　利用对数函数的性质求参数　 5．已知函数f(x)＝ (x2－ax－a)对任意两个不相等的实数x1，x2∈，都满足不等式＞0，则实数a的取值范围为　________　. 解析：由于f(x)满足：对任意两个不相等的实数x1，x2∈，都满足不等式＞0，所以f(x)在区间上单调递增． y＝x在(0，＋∞)上递减； g(x)＝x2－ax－a的开口向上，对称轴为x＝， 所以 解得－1≤a≤，所以a的取值范围是. 答案： 　　 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较． (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 学科网（北京）股份有限公司 $