第2章 第8节 函数与方程、不等式之间的关系（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦函数与方程、不等式关系，整合零点定义、存在定理、二分法及二次函数应用等高考核心考点，按“概念-定理-应用”逻辑构建知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破零点判断、个数确定等难点，体现复习系统性与针对性。 资料以直观想象和逻辑推理素养为导向，创新采用“母题-子题”迁移训练，如零点应用中通过分离参数结合图像分析参数范围。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第8节　函数与方程、不等式之间的关系 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性 1.判断函数零点的个数，发展直观想象素养． 2．确定函数零点所在的区间，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．函数零点的应用，提升直观想象和逻辑推理素养 　　由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间，求方程的根，函数的零点个数，基本初等函数的图像是高考的热点．以函数的零点，方程的根及函数图像的交点之间的等价转化为桥梁，考查转化与化归思想，考查函数与方程思想，数形结合等思想．本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查的居多，在解答题中也有所体现，难度较大 1．函数的零点 (1)零点的定义 一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的函数值等于零，即f(a)＝0，则称a为函数y＝f(x)的零点． (2)方程的根与函数零点的关系 2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅　 　∅　 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示： 所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．若函数f(x)在(a，b)上单调，且f(x)的图像是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　) (2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　 ) (3) 函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　 ) (4) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　 ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　 ) 解析：C　[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．] 2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　 ) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析：B　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．] 3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为　________　. 解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2,1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. 答案：1.56 4．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图像如图所示． 直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图像有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，且a＋2a<2，即<a<. 答案： 　确定函数零点所在的区间(基础点) 1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　 ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：A　[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．] 2．(2024·山西忻州河曲县中学校考)用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0,1)　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：B　[令f(x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－＜0，f(2)＝log42－＝－＝＞0，所以函数f(x)＝log4x－在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2)．] 3．(2024·大理州模拟)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－1，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　 ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 解析：D　[令f(x)＝2x＋x＝0，解得x＜0，令g(x)＝x－1＝0，解得x＝1，由h(x)＝log3x＋x，令h＝－1＋＜0，h(1)＝1＞0，又函数h(x)是增函数，因此h(x)的零点x0∈.则b＞c＞a.] 　　 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 　判断函数零点的个数(重难点) [典例]　已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是　________　. 核心素养 数学抽象、直观想象——确定函数零点个数的核心素养 信息提取 信息解读 数学抽象、直观想象 f(x)＝ 当x>0时，y＝|lg x|的图像是函数y＝lg x的图像在x轴上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称到x轴上方 在同一坐标系中画出函数y＝|lg x|在x>0时的图像和函数y＝2|x|在x≤0时的图像 当x≤0时，y＝2|x|＝2－x＝x的图像就是y＝x的图像在y轴左侧的部分 函数y＝2f 2(x) －3f(x)＋1的零点 函数的零点就是方程的根 函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点，即方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的根 函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点，也就是方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的根，把f(x)看成一个整体，本方程就是关于f(x)的一元二次方程，通过解方程可以得出f(x)＝1或 解方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或 解方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的根，是解适合此方程的x的值，也就是方程f(x)＝或f(x)＝1对应的x的值 结合函数f(x)的图像，观察y＝和y＝1与y＝f(x)的图像交点个数 零点个数 函数的零点个数就是对应方程的根的个数，即方程f(x)＝或f(x)＝1对应的x的值的个数，转化为y＝和y＝1与y＝f(x)的图像交点个数，借助图像利用数形结合求解 y＝和y＝1与函数y＝f(x)的图像交点个数之和即为本题的零点个数 [解析]　第一步 作函数y＝f(x)的图像 作出函数y＝f(x)的图像，如图． 第二步　解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1 第三步　观察y＝和y＝1与y＝f(x)的图像交点个数 由图像知y＝与y＝f(x)的图像有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图像有3个交点． 第四步　得出函数的零点个数 因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个． [答案]　5 　　 判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法：令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数． (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．(画出两个函数的图像，其交点的个数就是函数零点的个数) 1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点个数是(　　 ) A．0　　　 B．1 　　　 C．2　　　 D．3 解析：C　[f(x)＝0时，得或解得x＝－1或x＝1.] 2.函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是　________　. 解析：函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图像的交点个数． 在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图像，如图， 由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2. 答案：2 　函数零点的应用(迁移点) [母题]　若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为　________　. [解析]　令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<；令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x>，所以，当0<x<时，函数g(x)单调递减；当x>时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－<a<0. [答案]　 [子题1]　若母题中f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是　______　. 解析：由母题解析知a＝－或a≥0. 答案：[0，＋∞)∪ [子题2]　若函数变为f(x)＝ln x－x－a，其他条件不变，则a的取值范围是　______　. 解析：函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即为关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，所以关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) [子题3]　若函数变为f(x)＝ 若函数y＝f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是　______　. 解析：令g(x)＝h(x)＝a，则问题转化为g(x)与h(x)的图像有三个交点，g(x)图像如图．由图像知－＜a＜1. 答案： 　　 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离得a＝f(x)，再转化成求函数f(x)值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． (多选)设函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b可取的值可能是(　　) A．0 B. C．1 D．2 解析：BC　[由题意，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则函数g(x)＝f(x)－b＝0， 即f(x)＝b有三个根． 当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)． 由f′(x)＜0得x＋2＜0，即x＜－2，此时f(x)为减函数； 由f′(x)＞0得x＋2＞0，即－2＜x≤0，此时f(x)为增函数， 即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－，作出f(x)的图像如图： 要使f(x)＝b有三个根，则0＜b≤1，则实数b可取的值可能是，1.] 学科网（北京）股份有限公司 $