第1章 第6节 一元二次不等式的解法（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦一元二次不等式解法核心考点，涵盖不含参数与含参数不等式解法、分式不等式等价转化、恒成立问题及实际应用，按概念-解法-应用逻辑架构知识体系。通过思考辨析夯实基础，小题查验诊断学情，典例精讲（如含参数不等式分类讨论）提炼方法，真题训练突破难点，构建系统性复习流程。 资料突出直观想象与数学运算素养培养，创新采用口诀助解（如“小于中间大于侧”）和分层策略，例如解恒成立问题时用分离参数法转化为求函数最值，培养数学思维。设置基础巩固与能力提升练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供清晰指导。

第6节　一元二次不等式的解法 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 1.一元二次不等式的解法，达成直观想象和数学运算素养． 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题，提升直观想象和数学运算素养． 3．一元二次不等式的实际应用，增强数学建模和数学运算素养 　　一元二次不等式、分式不等式的解法，及一元二次不等式的恒成立问题是高考的热点，常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合考查．题型多样，选择题或填空题考查解法及恒成立问题，难度不大，属于低中档题，解答题与导数结合，考查函数的单调性，难度中等及以上，属于中高档题 1．一元二次不等式的概念 一般地，形如　ax2＋bx＋c>0　的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 2．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是　(x1，x2)　，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是　(－∞，x1)∪(x2，＋∞)　. 3．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为　(x－h)2>k　或　(x－h)2<k　的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 　 简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 1.＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. 2.＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. 3.≥0等价于 4.≤0等价于 [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　 ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　 ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　 ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　 ) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．函数f(x)＝的定义域是(　　 ) A．(－∞，1)∪(3，＋∞)　　 B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 解析：D　[由题意知即 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．] 2．(教材改编)不等式≤0的解集是(　　 ) A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2] 解析：D　[≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]．] 3．(教材改编)若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab等于(　　 ) A．－28 B．－26 C．28 D．26 解析：C　[由已知得， ∴a＝4，b＝7，∴ab＝28.] 4．不等式(x＋3)(1－x)≥0的解集为　________　. 解析：(x＋3)(1－x)≥0⇔(x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}． 答案：{x|－3≤x≤1} 5．(教材改编)已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为　________　. 解析：由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0， 即k2>2，∴k>或k<－. 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 　一元二次不等式的解法 ◆[命题角度1]　不含参数的一元二次不等式的解法(基础点)　 [典例1]　解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔ ⇔⇔ 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为. 解一元二次不等式的4个步骤 [口诀助解] 求解不含参数的一元二次不等式口诀 函数方程不等式，图像交点是标志； 首项系数先化正，判别式，符号定； 若为正，记口诀，小于中间大于侧； 或为负，或为零，配方观察解自明． ◆[命题角度2]　含参数的一元二次不等式(应用点)　 [典例2]　解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0， ∴①当a＝0时，可解得x>1， ②当a>0时，不等式可化为(x－1)<0， ∴当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为∅； 当0<a<1时，>1，不等式的解集为； 当a>1时，<1，不等式的解集为； 当a<0时，不等式可化为(x－1)>0， ∴不等式的解集为 综上，可知，当a<0时， 不等式的解集为； 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 　　 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． [口诀助读] 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 含参二次不等式，有无实根判别式； 或为负，或为零，配方法，解自明； 若为正，求两根，两种题型要区分； 首项系数无参数，根的大小定胜负； 首项系数含参数，先论系数零正负； 系数化一是旨要，负数变换不等号． 求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，不等式的解集为∪； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为∪. 　　　　与一元二次不等式有关的恒成立问题 ◆[命题角度1]　在实数R上的恒成立(基础点)　 [典例1]　若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　 ) A．(－3,0]　　　　　　　　 B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0) [解析]　D　[2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立， 因为2kx2＋kx－＜0是一元二次不等式，所以k≠0. 则必有 解得－3＜k＜0.] ◆[命题角度2]　在给定区间上的恒成立问题(重难点)　 [典例2]　设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是　________　. [破题关键点]　函数f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．方法一：构造函数g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]，分m＞0与m＜0两种情况判断g(x)在[1,3]上单调性，由g(x)max＜0求出m的取值范围； 方法二：由于x2－x＋1＝2＋＞0，所以将参数m分离出来，即m＜， 转化为求函数y＝在[1,3]上的最小值． [解析]　要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立， 则mx2－mx＋m－6＜0， 即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 所以m＜，则0＜m＜. 当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m的取值范围是. 法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜. 因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可． 因为m≠0，所以m的取值范围是 . [答案]　 ◆[命题角度3]　给定参数范围的恒成立问题(基础点)　 [典例3]　已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　 ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) 解析：C　[把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立， 所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组得x＜1或x＞3.] 　　 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ解题，一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般不能用判别式Δ处理，而应用分离参数求最值或分类讨论求解． 若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 解析：A　[法一：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3. 法二：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3.] 　　　　　一元二次不等式的实际应用(应用点) [典例]　某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [关键突破点]　(1)由年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量，建立年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不等式组求x的取值范围． [解]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x) (0<x<1)，整理得y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0<x<1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 即解得0<x<， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 　　 求解不等式应用题的四个步骤 (2024·安徽工业大学附属中学校考)为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一．湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备．生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x台(x∈N＋)需要另投入成本a(x)(万元)，当年产量x不足45台时，a(x)＝x2＋30x－300万元，当年产量x不少于45台时，a(x)＝61x＋－900万元．若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完． (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 解：(1)当x＜45，x∈N＋时， y＝x－200－a(x)＝60x＋100－200－＝－x2＋30x＋200； 当x≥45，x∈N＋时， y＝x－200－a(x)＝60x＋100－200－＝－x－＋800； 综上所述，y＝(x∈N＋)． (2)当x＜45，x∈N＋时，y＝－x2＋30x＋200＝－(x－30)2＋650，则当x＝30时，y的最大值为650； 当x≥45，x∈N＋时， y＝－x－＋800＝－＋801≤－2＋801＝701(当且仅当x＋1＝，即x＝49时等号成立)． ∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利最大，最大利润是701万元． 学科网（北京）股份有限公司 $